1.6微积分基本定理（2）一、【教学目标】重点：使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分.难点：利用微积分基本定理求积分；找到被积函数的原函数．能力点：正确运用基本定理计算简单的定积分.教育点：通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力.自主探究点：通过实例探求微分与定积分间的关系，体会微积分基本定理的重要意义.易错点：准确找到被积函数的原函数，积分上限与下限代人求差注意步骤，以免符号出错.考试点：高考多以填空题出现，以考查定积分的求法和面积的计算为主.二、【知识梳理】1. 定积分定义：如果函数()f x在区间[,]a b上连续，用分点0121-=<<<<<<<=i i na x x x x x x b，将区间[,]a b等分成n个小区间，在每一个小区间1[,]i ix x-上任取一点(1,2,,)ξ=ii n，作和1()()ξξ=-∆=∑ni i iib af x fn，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x在区间[,]a b上的定积分，记作()baf x dx⎰，即1()lim()nba inib af x dx fnξ→∞=-=∑⎰，这里a、b分别叫做积分的下限与上限，区间[,]a b叫做积分区间，函数()f x叫做被积函数，x叫做积分变量，()f x dx叫做被积式.2．定积分的几何意义如果在区间[,]a b上函数连续且恒有()0f x≥，那么定积分()baf x dx⎰表示由直线,x a x b==（a b≠），0y=和曲线()y f x=所围成的曲边梯形的面积.()b aA f x dx =⎰ =-⎰()b aA f x dx 21[()()]baA f x f x dx =-⎰2121=-=-⎰⎰⎰()()[()()]b baabaA f x dx f x dxf x f x dx如果在区间[,]a b 上函数连续且恒有()0f x ≤，那么定积分()baf x dx -⎰表示由直线,x a x b==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积.说明：一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号．3.定积分性质 （1）()()bbaakf x dx k f x dx =⎰⎰；（2）1212[()()]()()b b ba a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰ （3）()()()()c b b ac a f x dx f x dx f x dx a c b +=<<⎰⎰⎰4.微积分基本定理；一般地，如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，并且'()()F x f x =，那么()()()baf x dx F b F a =-⎰.把()()F b F a -记成()ba F x ，即()()()()bba af x dx F x F b F a ==-⎰.微积分基本定理表明，计算定积分()baf x dx ⎰的关键是找到满足'()()F x f x =的函数()F x .通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数四则运算法则从反方向上求出()F x .特别强调：①原函数F （x ）不唯一，它们差一个常数.②微积分基本定理的作用是：建立了积分与导数间的密切联系，并提供了计算定积分的有效方法．5.常见基本函数的定积分:①b ba a(cx)c cdx cx |'=→=⎰ ②bn n 1n n 1ba a1(x )nx x dx x |n 1-+'=→=+⎰ ③bb a a(sin x)cos x cos xdx sin x |'=→=⎰ ④bba a(cos x)sin x sin xdx cos x |'=-→=-⎰⑤b ba a 11(ln x)dx ln x |(x 0)x x '=→=>⎰ ⑥a 1(log x)x ln a'=⑦x(e )'=xe →bxx baae dx e |=⎰⑧x bx xxba aa (a )a ln a a dx |ln a'=→=⎰【设计意图】核心知识网络化，题目千变万化，都围绕这些知识点,知识点为习题作理论指导.三、【范例导航】题型一 直接应用微积分基本定理求定积分值例1. 计算下列定积分（1）320(sin cos )π⎰x x dx （2）ln 2(1)+⎰x xe e dx （3）12121xlgdx 1x-+-⎰ 【分析】(1)（2）是复合函数的积分，先化简，再求积分，准确找到原函数．（3）利用函数性质及定积分的几何意义求积分.【解答】（1）∵431(sin x)sin x cos x 4'=，∴320(sin cos )π⎰x x dx =444201111(sin x)|sin cos x sin 044244ππ=-=.（2）x x x 2x x 2x x 2x 1e (1e )e e ,(e e )e e 2'+=++=+，∴ln 2(1)+⎰x xe e dx =ln 220()+⎰x x e e dx=x2x ln 2ln 22ln 2000111(e e )|e e e e 222+=+--=115241222+⨯--= (3)记1xf (x)lg1x +=-,定义域为（-1，1）， 因为11x 1x f (x)lg lg()f (x)1x 1x--+-===-+-所以f (x)为奇函数,故12121xlgdx 1x-+-⎰=0. 【点评】求定积分应该注意的几点：（1） 对被积函数不易求出F(x)时，要先化简，再求积分.（2） 要注意复合函数求导法则的逆应用，要“见影想形”,由f (x)推测F(x)，再加以验证. （3） 利用函数的奇偶性，奇函数的积分为零，偶函数的定积分是半个区间上的二倍. 变式训练：计算下列定积分（1）20cos 2cos sin xdx x xπ+⎰. （2）3233(9x x )dx --⎰答案：（1）2 (2)92π【设计意图】(1)是让学生学会先化简再积分;（2）是利用定积分的几何意义求积分.题型二 借助函数图象求分段函数的定积分值例2.已知函数()sin ,02()1,221,24x x f x x x x ππ⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-≤≤⎪⎩，，，先画出函数图象,再求这个函数在[]0,4上的定积分.【分析】被积函数是分段函数,依据定积分“对区间的可加性”,分段积分再求和. 【解答】42420222242022()sin 1(1)1(cos )||()|21(2)(40)7.22f x dx xdx dx x dxx x x x ππππππ=++-=-++-=+-+-=-⎰⎰⎰⎰【点评】(1)分段函数在区间[],a b 的定积分可分成n 段定积分和的形式,分段的标准可按照函数的分 段标准进行.(2)带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解.变式训练：1．设(),xf x e =求42()f x dx -⎰. 答案：422e e +-.2.34|2|x dx -+⎰答案：2923．(4|1||3|)-+-⎰x x dx 答案：10【设计意图】求分段函数的定积分时，可利用积分性质将其表示为几段定积分和的形式，若函数解析 式中含有绝对值，应根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝对值符号，化为分段函数后再求积分.题型三 综合应用——利用定积分求参数已知[](]22x 1,x 2,2,f (x)1x ,x 2,4,⎧+∈-⎪=⎨+∈⎪⎩,求使3k 40f (x)dx 3=⎰恒成立的k 值. 【分析】注意隐含条件积分下限小于积分上限，k<3,分类讨论k (2,3)∈时，或k [2,2)∈-问题. 例3.【解答】(1)当k (2,3)∈时,33233k k k1f (x)dx (1x )dx (x x )|3=+=+⎰⎰ =331140(33)(k k )333+⨯-+=∴3k 3k 40++=,解得k=-1,但k (2,3)∈,∴k=-1(舍去). (2) k [2,2)∈-时，3232kk2f (x)dx (2x 1)dx (1x )dx =+++⎰⎰⎰=2233k 21(x x)|(x x )|3+++=223311(22)(k k)(33)(22)33+-+++⨯-+⨯=24040(k k)33-+= ∴2k k 0+=,解得k 0,k 1==-或, 综上所述，k 0,k 1==-或.【点评】利用定积分求参数时，注意方程思想的应用.一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数.当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算；其次要注意积分下限不大于积分上限.【变式训练】已知f (x)是二次函数，其图象过点(1,0),且1f (0)2,f (x)dx 0,f (x)'==⎰求的解析式.【答案】231f (x)x 2x 22=-+- 四、【解法小结】1.求定积分的一些常用技巧：（1）对被积函数，要先化简，再求积分.（2）若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”,分段积分再求和. （3）对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分. (4)利用函数的奇偶性求定积分2. 利用定积分求参数时，注意方程思想的应用． 五、【布置作业】必做题：1.计算下列定积分（1）22x e dx ⎰（2）2sin 2xdx π⎰（3）2212x x 1dx x ++⎰ （4）41(2⎰x dx . 2.计算定积分 （1）20sin x dx π⎰（2）221--⎰x x dx .3.求函数1220()(2)=-⎰f a ax a x dx ，求f (a)的最大值.必做题答案：1.（1）22e -（2）24π- （3）4+ln2 （4）142ln 2- 2.（1）4 （2）1163.29【设计意图】培养学生自觉学习的习惯，检查学习效果，及时反馈，查漏补缺. 选做题：1.求定积分（1）（2）x(sin t cos t sin t)dt,y .+⎰求的最大值2.已知函数()(124)-=+⎰xaf x t a dt ，120()[()3]=+⎰F a f x a dx ，求函数F(a)的最小值.选做题答案：1.（1）2（2）2 2. 1【设计意图】对学有余力的学生留出自我发展的空间，尝试能力，拓展创新.课外探究：计算由曲线22y x,y x ==所围图形的面积；总结解题步骤.【设计意图】让学生养成预习的好习惯.六、【教后反思】1.本教案的亮点是：一是对所学知识的宏观把握；二是例题选择有代表性，分别为分段函数、复合函数求定积分及定积分的综合应用；关注定积分的基础知识和利用定积分求封闭图形面积的一般思路与方法，三是讲解透彻，讲练结合，学生落实较好.最后，在作业的布置上，安排了必做题、选做题充分体现了分层作业，必做题对学生理解、巩固知识能够起到良好的作用.2.本教案的弱项是：对一些具体问题处理的不够细致，例题的选择不够全面.。