微积分基本定理
深大师院二附校唐丽
一、教材分析 ⒈ 地位、作用：
欧洲数学家们冲出了古希腊人“严格证明” 的圣殿，以直观推断的思维方式，创立了被恩 格斯誉为“人类精神的最高胜利”的微积分学， 微积分基本定理正是它的核心！
2．教学重点、难点分析： 重点： 通过探究变速直线运动物体的速
度与位移的关系，发现微积分基本定理的雏 形，进而把结论一般化,是这节课的重点.
li
i
通过讨论发现山高
hi li sini
那么把所有 h i 累加起来
不正好就是山的高度吗？
n
hi
i 1
以研究这小段山高为例： 问题1能否）把一小段的山高近似地看作一个直角三角形呢？ 问题2 假设是直角三角形，那么斜边如何构造呢？ 问题3 在这个直角三角形种哪些量是已知或可求的？
微积分基本定 就是勾股定
的切线，由导数的几何意义可知： AD的斜率就是tan∠DAC，所以
=
hi tanDACt
h i ta n D A C t s'(ti 1 ) t
另一方面曲线S在左端点A处的切线就是s ( t i ，1 )
引进导数．
⒉近似代替：当 t 很小时，我们可以认为 Si hi
教学过程：
⒈引题——追根溯源：
公元3世纪诞生的刘徽著名的“割圆术”
割之弥细，所失越 割之又割少，．以至于 则与圆不周可合割体，而无
所失矣．
教学过程：
⒉情景设置：
①首先让学生回顾计算
1
0
x
3
dx
的过程：
= （分割、近似代替、求和、取极限）
lim 1 x 3 dx
ni f( )x
0
n n i1
⒈分割： a t 0 t 1 t i 1 t i t n b 等分成n个小区间 [ t 0 , t1 ] , [t1,t2], , [ti1,ti], , [tn1,tn ]
可用线段ＡＤ来近似代替曲边 AB，得到直角三角形ACD，AD
正是曲线s s(t) 在左端点A处
nபைடு நூலகம்
和式难求．
=
li m n 1 i n i 1 11
④当被积函数是 1 如何求呢？
x
4
,
x5
,
1 x3
lim(1 )
n 2 3
n
寻求新方法
⒊探究——问题模型：
如图，一个作变速直线运动的物体的运动规律
是= s s(t) 由导数的概念可知，它在任意时刻t的速
度是 v(t)s(t) 。设这个物体在时间段a,b内的位
⒋教学方法和手段： 尽管已是高中学生，但抽象的概念依然
令学生望而生畏，因此着眼于个别实例的研 究，强调来龙去脉，淡化证明过程。学生既 不用面对极限、无穷项求和、导数、积分综 合难题的证明，又不失为良好的推导微积分 基本定理的过程。
二、学情分析：
⒈ 根据函数曲线图学生不难看出位移差
ss(b)s(a)
能力目标： 让学生能够体会微积分运动变化地思维 方式和初等数学中静态的思维方式的区别， 并且培养学生在探索过程中善于变通的思想， 敢于挑战陈规的精神!
情感目标： A 揭示寻求计算定积分新方法的必要性, 激发学生的求知欲。 B 体会“以直代曲”——临渊羡鱼，不如退 而结网的思想。 C 感受用近似无限接近精确的方法。
难点：进一步引导学生应用定积分的基 本思想来探究问题，同时利用导数的意义作 为桥梁来转化被积函数是这节课的难点。
⒊教学目标分析： 知识目标：使学生经历定理的发现过程，直
观了解微积分基本定理的含义和几何意义，并理 解导数与定积分的互逆关系；通过计算两个简单 的定积分，使学生体会微积分基本定理的优越性， 理解微积分在数学史上举足轻重的地位。
s(t)v(t)
n ba
=
slim n i1
n v(ti1)
让学生观察，这不正是速度函数 v ( t ) 的定积分吗？
（引入定积分得到左边雏形）
b
s a v(t)dt.
（建立导数与积分的关系）sa bv(t)d ta bs'(t)d ts(b ) s(a )
归纳小结：③式表明，速度函数v ( t )在区间[a，b] 上的定积分等于位移函数s ( t ) 在区间[a，b]的右端
⒉由于学生刚学习了导数，知道导数的几何 意义即为切线的斜率,路程对时间的导数即为 速度 s(t)v(t)
二、学情分析：
⒊ 上一节中刚学习了“汽车行驶的路程”，学
生明白路程的计算实际上是一个求定积分的过程， 即对 v(t) 的定积分。
⒋ 让学生再一次感受小区间不断细分对近似程度 的影响，如何通过逐步逼近而求出定积分。
移为S，你能分别用 v (t ) ，s (t ) 表示Ｓ吗？
观察图象得到物体的位移s，即
ss(b)s(a)
分析:
下面我们讨论如何用速度函数v(t)来表示位 移s，因为在上一节“汽车行驶的路程”中，学 生知道了位移就是对速度函数v(t)的定积分，在 此学生肯定会联想到只要知道了v(t), 不就解决了 吗？但是题目已知的只是路程函数s(t), 因此接 下来的关键在于建立v(t)与s(t)的关系。下面分8 个步骤来讨论：
n
n
n
⒊求和：
S Si hi s'(ti1)t.
i1
i1
i1
n
⒋取极限：物体的总位移的近似值 s '( ti 1 ) t
i 1
就越接近精确值S． 即
S lit m 0i n 1s'(ti 1) tln i m i n 1b nas'(ti 1),
点处的函数值s(b)与左端点处的函数值s (a)之差． ③式是否具有一般性呢？
⒋ 水到渠成：给出微积分基本定理的一般形式。
连续函数 f(x),若 f(x)F(x)，则abf(x)dxF(b)F(a)
即牛顿——莱布尼兹公式（Newton—Leibniz Formula）
n i 3 1
lim ( )
n n i1
n
lim1(11)2 1 n 4 n 4
教学过程：
②接着动手利用定义计算 2 1 dx
lim 2 1 dx
n f (i )x
1x
n n i1
1x
lim n 1 1 i n i 1 n
③重复以上步骤学生遇到 了麻烦；引导学生分析原因：