0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001
0.01V 0.21V 0.42V 0.59V 0.80V 0.99V 1.18V
e
编码
1 .2 0 .6 0 .2
t
t0 t 2
t4
A/D 转换步骤 示意图
5
抽样定理
• 抽样 • 是把时间上连续的模拟信号变成一系列时间上离散的
低通抽样定理
m(t) …
0
δT(t)
M(
t
-H 0 H δT()

…
-2Ts -Ts 0 Ts 2Ts t
…
-2s -s 0 s 2s
…

ms(t)
Ms()
…
t -2Ts -Ts 0 Ts 2Ts
…
-2s -s -H 0 H s 2s
13
…

低通信号冲激抽样过程的时间函数及对应频谱

6
抽样定理
• 举一个放电影的例子,自然界中连续运动的物体,经过摄像机
的拍摄(抽样)后变为一张张“离散”的胶片
• 在放映时由于人眼的暂留效应对光线的变化就有低通特性(人
眼对缓慢变化的光线可以察觉到,而对迅速变化的光线则无法 察觉)。光线的暂时中断被人眼自动连接上了。所以在屏幕上 看到的画面就是一个连续动作的图像。
16
低通抽样定理
• 在实际中,边界陡峭的理想滤波器无法制作,当fs = 2fH时,虽然
M(f)的频谱不会出现重叠现象,但通过非理想滤波器得到的频谱 仍然有失真。所以实际应用中一般要留有一定的防卫带,取fs ＞ 2fH。例如话音信号的最高频率被限制在3400 Hz,抽样频率应大 于2×3400=6800Hz,为了留有一定防卫带, CTU-T规定话音信号 的抽样频率为fs = 8000Hz, Ts=125s。
• 抽样定理告诉我们,究竟需要多高的采样频率,在收端可以
用低通滤波器不失真地恢复出原信号。
8
抽样定理
抽样过程可看成是m(t)与δT(t)相乘：ms (t ) m(t ) T (t )
时间上连续的模拟信号
m(t)
ms(t)
抽样信号
δT(t) 抽样器
抽样定时脉冲
根据信号m(t)是低通型信号还是带通型信号,抽样定理可分为低通型信 号抽样定理和带通型信号抽样定理。 根据抽样脉冲δT(t)是时间上等间隔序列还是非等间隔序列,抽样定理可 分为均匀抽样定理和非均匀抽样定理。 根据δT(t)是冲激序列还是非冲激序列,抽样定理可分为理想抽样定理 9 和非理想抽样定理。


M TS M S H
根据时域卷积定理，得到：
m s (t )
n
m(nTs ) (t nTs )

m(t ) TS [m s (t ) h(t )]
15
H m(t ) TS m( nTs ) (t nTs ) Sa ( H t ) n
即可恢复原始信号。 ms(t) 1, | | H H H ht Sa H t 0 , | | H
1 M S H TS
低通滤 波器
m0 (t )
1 M n S H M TS n
• 要使“离散”的图像被人眼平滑成连续的图像,要求摄影机在
单位时间内能拍摄出足够多的画面(即采样频率要足够高)。 如果摄像机在单位时间内拍摄的画面数不够,在放映时看到的 动作就有跳动的感觉,而不是连续的感觉,这时就产生了画面 7 的失真。
抽样定理
• 对模拟信号进行抽样和拍电影一样,当抽样频率足够高时,
• m(t)为低通信号,频谱在0 ~ fH范围
• 抽样函数为周期性冲激函数：
T t （t nTs )
n

–抽样后输出信号为ms(t)
ms (t ) m(t ) T (t )
m(t ) (t nTs )
n n
m(nT ) (t nT )
n
信号恢复
n
2 2 TS 2 S H H
m(nTs ) Sa[ H (t nTs )]

m(nTs )
sin H (t nTs ) H (t nTs )
该式是重建信号的时域表达式，称为内插公式。 它说明以奈奎斯特速率
…
-2s -s
Ms()
频谱重叠 … …

s=2H
-2s
M()
…
-s s-H s+H M( 0

-H 0 H

-H 0 H
14

抽样频率fs对频谱M(f)的影响
信号恢复
如何由样值序列恢复原始基带信号？ –由抽样频谱图可知,样值序列通过一适当的低通滤波器
s s

11
抽样信号的频谱 • 抽样信号的频谱
m(t ) M (） T (t ) T (） ms (t ) M s (）
2 T ( ) Ts
n
( n
s

s
)
m s (t ) m(t ) T (t )
1 M s ( ) Ts
• 抽样频率越高,对防止频谱混叠越有利,但将使总码速率增高,给
传输带来不便。
17
全部信息完全包含在其间隔不大于1/(2 fH)秒的均匀抽样序列里。换句话
说，在信号最高频率分量的每一个周期内起码应抽样两次。或者说，抽 样速率fs（每秒内的抽样点数）应不小于2 fH ，若抽样速率fs＜2 fH ，则
会产生失真，这种失真叫混叠失真。
10
抽样定理的数学表达式 下面我们从频域角度来证明这个定理
《通信原理》
抽样定理
周文炯
学习目标
• 1. 了解模拟信号数字化传输系统的过程 • 2. 掌握理想低通抽样定理
重点：理想低通抽样定理
难点：由抽样信号恢复原信号
2
模拟信号的数字传输
• 数字通信系统具有许多优点而成为当今通信的发展方向 • 自然界的许多信息经各种传感器感知后都是模拟量，例如电
话、电视等通信业务，其信源输出的消息都是模拟信号。
抽样的带限信号m(t)可以由其样值利用内插公式重建。这等效为将抽样后信 号通过一个冲激响应为 H Sa H t 的理想低通滤波器来重建m(t)。 由图可见， 以每个样值为峰值画 一个Sa函数的波形， 则 合成的波 形就是m(t)。
由于Sa函数和抽样后信号的恢复 有密切的联系，所以Sa函数又称为 抽样函数。

M ( n )
1 M S T M 2
所以，理想抽样后信号的频谱Ms()由无限多个间隔为s 的M(ω)相叠加而成，这意味着抽样后的信号ms(t)包含了信号 m(t)的全部信息。n=0时就是 M (） 本身，所以通过一个低通滤 12 波器就可以恢复信号m(t)。
低通抽样定理
s≥2H
-2s M()
低通信号的抽样定理：
…

-s -H 0 H
s 2s M'( s-m s+m
一个频带限制在0~fH内的低 通信号m(t)，如果抽样频率fs ≥ 2fH，则可以由抽样序列无失真地 重建恢复原始信号m(t) 。
-H 0 H

s<2H
6.1.1 : 低通抽样定理 • 低通抽样定理
• 一个频带限制在(0, fH) Hz内的时间连续信号m(t),如果以
1/(2 fH)秒的间隔对它进行等间隔抽样,则m(t)将被所得到 的抽样值完全确定。
2 fH—奈奎斯特速率；1/(2 fH)—奈奎斯特间隔。 此定理告诉我们：若m(t)的频谱在某一频率fH以上为零，则m(t)中的
• 若要利用数字通信系统传输模拟信号，一般需要三个步骤：
（1）把模拟信号数字化，即模数转换（A/D）
（2）进行数字方式传输
（3）把数字信号还原为模拟信号，即数模转换（D/A）
3
模拟信号的数字传输
模拟信号数字化传输的系统框图
模拟 信息源 抽样、量 化、编码 数字 通信系统 译码和 低通滤波
模拟随机信号
数字随机序列
数字随机序列
模拟随机信号
• A/D转换中有三个基本过程：抽样、量化、编码。
4
e 模拟信号
e
抽样
t
t 0 t 2 t4 t1
量化 等级 0 1 2 3 4 量化 电平 二进制 编码 实际抽样 值
t
量化
5
6 7 8
9
0V 0.2V 0.4V 0.6V 0.8V 1.0V 1.2V 1.4V 1.6V 1.8V
抽样值的过程。
• 抽样定理的大意是，如果对一个频带有限的时间连续的模
拟信号进行抽样，当抽样速率达到一定数值时，那么根据 它的抽样值就能重建原信号。也就是说，若要传输模拟信 号，不一定要传输模拟信号本身，而只需传输按抽样定理 得到的抽样值即可。
• 抽样定理是模拟信号数字化的理论依据。
• 能否由样值序列重建原信号,是抽样定理要回答的问题。
模拟信号迅速变化的部分都采集到了,接收端利用一个低 通滤波器进行平化处理,可恢复出原信号。而抽样频率不 够高时,模拟信号迅速变化的部分没有都采集到,低通滤波 器平滑输出的波形就会产生失真。
• 结论：抽样后的样值序列含有原模拟信号的信息,如果要
把样点恢复成原模拟信号,在抽样时一定要满足一定的条 件——抽样定理。