9
6.1.1
低通抽样定理
♦ 低通抽样定理 低通抽样定理: –一个频带限制在(0, fH) Hz内的时间连续信号m(t),如果以 1/(2 fH)秒的间隔对它进行等间隔抽样,则m(t)将被所得到 的抽样值完全确定。
2 fH—奈奎斯特速率 奈奎斯特速率；1/(2 fH)—奈奎斯特间隔。 奈奎斯特速率 奈奎斯特间隔 此定理告诉我们：若m(t)的频谱在某一频率 H以上为零，则m(t)中的 此定理告诉我们： 的频谱在某一频率f 以上为零， 中的 的频谱在某一频率 全部信息完全包含在其间隔不大于1/(2 fH)秒的均匀抽样序列里。换句话 秒的均匀抽样序列里。 全部信息完全包含在其间隔不大于 秒的均匀抽样序列里 说，在信号最高频率分量的每一个周期内起码应抽样两次。或者说，抽 在信号最高频率分量的每一个周期内起码应抽样两次。或者说， 样速率fs（每秒内的抽样点数）应不小于 若抽样速率fs＜ 样速率 （每秒内的抽样点数）应不小于2 fH ，若抽样速率 ＜2 fH ，则 会产生失真，这种失真叫混叠失真。 混叠失真 会产生失真，这种失真叫混叠失真。
抽样定理
♦ 对模拟信号进行抽样和拍电影一样,当抽样频率足够高时, 对模拟信号进行抽样和拍电影一样,当抽样频率足够高时,
模拟信号迅速变化的部分都采集到了,接收端利用一个低 模拟信号迅速变化的部分都采集到了, 通滤波器进行平化处理,可恢复出原信号。 通滤波器进行平化处理,可恢复出原信号。而抽样频率不 够高时,模拟信号迅速变化的部分没有都采集到, 够高时,模拟信号迅速变化的部分没有都采集到,低通滤波 器平滑输出的波形就会产生失真。 器平滑输出的波形就会产生失真。
骤： （1）把模拟信号数字化，即模数转换（A/D） 把模拟信号数字化，即模数转换（A/D） （2）进行数字方式传输 （3）把数字信号还原为模拟信号，即数模转换（D/A） 把数字信号还原为模拟信号，即数模转换（D/A）
3
模拟信号的数字传输
模拟信号数字化传输的系统框图
模拟 信息源 抽样、量 抽样、 化、编码 数字 通信系统 译码和 低通滤波
∑m(nTs )Sa[ωH (t − nTs )] =
∞
n=−∞
∑m(nTs )
∞
sin ωH (t − nTs ) ωH (t − nTs )
该式是重建信号的时域表达式，称为内插公式。 它说明以奈奎斯特速率 抽样的带限信号m(t)可以由其样值利用内插公式重建。这等效为将抽样后信 ω 号通过一个冲激响应为 H Sa(ωH t) 的理想低通滤波器来重建m(t)。 π 由图可见， 以每个样值为峰值画 一个Sa函数的波形， 则 合成的波 形就是m(t)。 由于Sa函数和抽样后信号的恢复 有密切的联系，所以Sa函数又称为 抽样函数。
ωs≥2ωH ω
-2ωs M(ω)
低通信号的抽样定理： 低通信号的抽样定理：
…
ω
-ωs -ωH 0 ωH
ωs 2ωs M'(ω) ωs-ωm ωs+ωm
-ωH 0 ωH
ω
一个频带限制在0~fH内的低 通信号m(t)，如果抽样频率fs ≥ 2fH，则可以由抽样序列无失真地 重建恢复原始信号m(t) 。 ωs=2ωH ω
2
模拟信号的数字传输
♦ 数字通信系统具有许多优点而成为当今通信的发展方向 ♦ 自然界的许多信息经各种传感器感知后都是模拟量，例 自然界的许多信息经各种传感器感知后都是模拟量，
如电话、电视等通信业务，其信源输出的消息都是模拟 如电话、电视等通信业务， 信号。 信号。
♦ 若要利用数字通信系统传输模拟信号，一般需要三个步 若要利用数字通信系统传输模拟信号，
♦ 要使“离散”的图像被人眼平滑成连续的图像,要求摄影机 要使“离散”的图像被人眼平滑成连续的图像,
在单位时间内能拍摄出足够多的画面(即采样频率要足够高)。 在单位时间内能拍摄出足够多的画面(即采样频率要足够高) 如果摄像机在单位时间内拍摄的画面数不够, 如果摄像机在单位时间内拍摄的画面数不够,在放映时看到 的动作就有跳动的感觉,而不是连续的感觉, 的动作就有跳动的感觉,而不是连续的感觉,这时就产生了画 面的失真。 面的失真。 7
n=−∞ n=−∞
11
∞
∞
抽样信号的频谱
♦ 抽样信号的频谱 m(t) ↔ M(ω） δT (t) ↔δT (ω） ms (t) ↔ Ms (ω） 2π ∞ δT (ω) = ∑δ (ω − nωs )
ms (t) = m(t) ⋅ δT (t) ⇒ MS (ω) =
1 ∞ Ms (ω) = ∑M(ω − nωs ) Ts −∞
的拍摄(抽样)后变为一张张“离散”的胶片 的拍摄(抽样)后变为一张张“离散”
♦ 在放映时由于人眼的暂留效应对光线的变化就有低通特性
(人眼对缓慢变化的光线可以察觉到,而对迅速变化的光线则 人眼对缓慢变化的光线可以察觉到, 无法察觉) 光线的暂时中断被人眼自动连接上了。 无法察觉)。光线的暂时中断被人眼自动连接上了。所以在 屏幕上看到的画面就是一个连续动作的图像。 屏幕上看到的画面就是一个连续动作的图像。
《通信原理》 模拟信号的数字传输
——抽样定理
学习目标
♦ 1.了解模拟信号数字传输系统的主要功能模 1.了解模拟信号数字传输系统的主要功能模
块 ♦ 2.了解A/D转换的三个步骤 2.了解A/D转换的三个步骤 了解A/D
♦ 3.掌握理想低通抽样定理 3.掌握理想低通抽样定理
重点：理想低通抽样定理 重点： 难点：由抽样信号恢复原信号 难点：
♦ 结论：抽样后的样值序列含有原模拟信号的信息,如果要 结论：抽样后的样值序列含有原模拟信号的信息,
把样点恢复成原模拟信号,在抽样时一定要满足一定的条 把样点恢复成原模拟信号, 件——抽样定理。 ——抽样定理。 抽样定理
♦ 抽样定理告诉我们,究竟需要多高的采样频率,在收端可以 抽样定理告诉我们,究竟需要多高的采样频率,
M(ω)
ωs<2ωH ω
…
-2ωs -ωs
Ms(ω)
频谱重叠 … …
ω
…
-2ωs -ωs -ωH 0 ωH ωs M(ω) 2ωs
ωs 2ωs ωs-ωH ωs+ωH M(ω) 0
ω
-ωH 0 ωΗ
ω
-ωH 0 ωH
ω
14
抽样频率fs对频谱M(f)的影响
信号恢复
♦ 如何由样值序列恢复原始基带信号？ 如何由样值序列恢复原始基带信号？ –由抽样频谱图可知,样值序列通过一适当的低通滤波器
用低通滤波器不失真地恢复出原信号。 用低通滤波器不失真地恢复出原信号。
8
抽样定理
抽样过程可看成是m(t)与 抽样过程可看成是m(t)与δT(t)相乘 ms (t) = m(t) ⋅ δT (t) 相乘：
时间上连续的模拟信号 m(t) ms(t) 抽样信号
δT(t) 抽样器
抽样定时脉冲
根据信号m(t)是低通型信号还是带通型信号,抽样定理可分为低通型信 是低通型信号还是带通型信号,抽样定理可分为低通型信 根据信号 是低通型信号还是带通型信号 抽样定理和带通型信号抽样定理。 带通型信号抽样定理 号抽样定理和带通型信号抽样定理。 根据抽样脉冲δ 是时间上等间隔序列还是非等间隔序列 是时间上等间隔序列还是非等间隔序列, 根据抽样脉冲 T(t)是时间上等间隔序列还是非等间隔序列,抽样定理可 分为均匀抽样定理和非均匀抽样定理。 均匀抽样定理和非均匀抽样定理 分为均匀抽样定理和非均匀抽样定理。 根据δ 是冲激序列还是非冲激序列 抽样定理可分为理想 是冲激序列还是非冲激序列, 理想抽样定理 根据 T(t)是冲激序列还是非冲激序列,抽样定理可分为理想抽样定理 非理想抽样定理 抽样定理。 和非理想抽样定理。
10
பைடு நூலகம்
抽样定理的数学表达式
下面我们从频域角度来证明这个定理
♦ m(t)为低通信号,频谱在0 ~ fH范围 ♦ 抽样函数为周期性冲激函数：
δT (t ) = ∑ δ（t − nTs )
n=−∞
∞
–抽样后输出信号为ms(t)
ms (t) = m(t) ⋅δT (t)
= m(t) ∑δ (t − nTs ) = ∑m(nTs )δ (t − nTs )
♦ 抽样定理是模拟信号数字化的理论依据。 抽样定理是模拟信号数字化的理论依据 是模拟信号数字化的理论依据。 ♦ 能否由样值序列重建原信号,是抽样定理要回答的问题。 能否由样值序列重建原信号,是抽样定理要回答的问题。

6
抽样定理
♦ 举一个放电影的例子,自然界中连续运动的物体,经过摄像机 举一个放电影的例子,自然界中连续运动的物体,
16
低通抽样定理
♦ 在实际中,边界陡峭的理想滤波器无法制作,当fs = 2fH时,
虽然M(f)的频谱不会出现重叠现象,但通过非理想滤波器 得到的频谱仍然有失真。所以实际应用中一般要留有一定 的防卫带,取fs ＞2fH。例如话音信号的最高频率被限制在 3400 Hz,抽样频率应大于2×3400=6800Hz,为了留有一定 防卫带, CTU-T规定话音信号的抽样频率为fs = 8000Hz, Ts=125µs。
♦ 抽样频率越高,对防止频谱混叠越有利,但将使总码速率增
高,给传输带来不便。
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0V 0.2V 0.4V 0.6V 0.8V 1.0V 1.2V 1.4V 1.6V 1.8V
0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001
0.01V 0.21V 0.42V 0.59V 0.80V 0.99V 1.18V
e
编码
1 .2 0 .6 0 .2
根据时域卷积定理，得到：
ms (t) =
n=−∞
∑m(nTs )δ (t − nTs )
∞
m(t) = TS [ms (t) ∗ h(t)]