指数曲线趋势方程： 指数曲线趋势方程： t 1 2 3 4 n yi ab ab2 ab3 ab4 abn yi / yi-1 — b b b b
y = ab
t
2.估计模型的参数 2.估计模型的参数
方法： 分段平均法 最小二乘法 三点估计法… 3.计算趋势变动测定值 —将自变量 t 的取值，依次代入趋势方程，求出 相应时期的趋势变动测定值。
t2
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169
合计
91
182505.8 1516487.3
819
解 已知 n = 13, ∑ t = 91, ∑ y = 182505 .8,
∑ ty = 1516487 .3, ∑ t = 819 , 则 n ∑ ty ∑ t ∑ y 13 × 1516487 .3 91 × 182505 .8 b= = n ∑ t (∑ t ) 13 × 819 91
对时间数列的各项数值，按照一定的时距进行逐期 对时间数列的各项数值， 移动，计算出一系列序时平均数，形成一个派生的平均数 以此削弱不规则变动的影响， 时间数列，以此削弱不规则变动的影响，达到对原序 列进行修匀的目的，显示出原数列的长期趋势。 列进行修匀的目的，显示出原数列的长期趋势。 若原数列呈周期变动，应选择现象的变动周期作为 移动的时距长度。 移动的时距长度。
ty
t2
1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
7610.6 8491.3 9448.0 9832.2 10209.1 11147.7 12735.1 14452.9 16283.1 17993.7 19718.4 21454.7 23129.0
(1)
由于这样计算出来的平均数的时期不明确， 由于这样计算出来的平均数的时期不明确，故不 能作为趋势值。解决办法： 能作为趋势值。解决办法：
对第一次移动平均的结果， 对第一次移动平均的结果，再作一次移动 平均。（移正） 。（移正 平均。（移正）
1 (1) (1) M3 = M2.5 + M3.5 2 1 y1 + 2 y2 + 2 y3 + 2 y4 + y5 = 2 4
t2
t3
t4
t5
t6
时间序列: y1 , y2 , yn-1 , yn
1 M2 = ( y1 + y2 + y3 ) 3 1 (1) M3 = ( y2 + y3 + y4 ) 3
(1)
Mn1
(1)
1 = ( yn2 + yn1 + yn ) 3
简单移动平均（偶数项移动平均） 简单移动平均（偶数项移动平均）
y2 + y3 + y4 + y5 4 y3 + y4 + y5 + y6 4 y4 + y5 + y6 + y7 4
y2 + y3 + y4 + y5 y3 + y4 + y5 + y6 1 y2 + y3 + y4 + y5 + 1 y6 + 2 4 4 =2 4 2
2
n. yn
【例】
年份
1998 1999 2000 2001 2002 2003
t
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
GDP (y)
7610.6 8491.3 9448.0 9832.2 10209.1 11147.7 12735.1 14452.9 16283.1 17993.7 19718.4 21454.7 23129.0
ty
7610.6 16982.6 28344.0 39328.8 51045.5 66886.2 89145.7 115623.2 146547.9 179937.0 216902.4 257456.4 300677.0
4 3
4
3
若时间序列的环比发展速度大体相同， 速度大体相同， 5 可配合指数曲线方程。 可配合指数曲线方程 。
y 5 = y5 y4 y5 y4 5 4
直线趋势方程： 直线趋势方程： t 1 2 3 4 n yi a+b a + 2b a + 3b a + 4b a + nb
y = a + bt
2
某种商品零售量
30 25 20 15 10 5 0 第一年
原数列 三项移动平均
五项移动平均
四项移动平均
第二年
第三年
第四年
利用移动平均分析工具进行预测
打开“ 时间数列分析与预测.xls”工作簿 工作簿， ① 打开 “ 时间数列分析与预测 .xls 工作簿 ， 选择“移动平均”工作表。 选择“移动平均”工作表。 在单元格F 中分别输入“ ②在单元格F1、G1中分别输入“分析工具预测 预测标准误差” 值”和“预测标准误差” 。
-45663.6 -42456.5 -37792.0 -29496.6 -20418.2 -11147.7 0 14452.9 32566.2 53981.1 78873.6 107273.5 138774.0
1.移动平均法： 1.移动平均法： 移动平均法
移 动 平 均 法
奇数项移动 简单移动 偶数项移动 加权移动平均法
简单移动平均（奇数项移动平均） 简单移动平均（奇数项移动平均） 原数列 移动平均 新数列
t1 t2
t3
t4
t5
t6
t7
t1 +t2 +t3 t2 +t3 +t4 t3 +t4 +t5 t4 +t5 +t6 t5 +t6 +t7 3 3 3 3 3
产量 （y 吨）
440 431 469 331 580 780 569 270 548 133 580 819
移动平均数
n=3 —
496 847.3 539 793.7 566 061.0 566 074.0
n=4
— — 528 415.8 555 814.5
—
— —
移动平均法的特点
移动平均对数列具有平滑修匀作用， 移动平均对数列具有平滑修匀作用，移动项数 越多，平滑修匀作用越强； 越多，平滑修匀作用越强； 由移动平均数组成的趋势值数列， 由移动平均数组成的趋势值数列，较原数列的 项数少， 为奇数时，趋势值数列首尾 首尾各少 项数少，N为奇数时，趋势值数列首尾各少 N 1 2 N 为偶数时，首尾各少 项；N为偶数时，首尾各少 项； 局限：不能完整地反映原数列的长期趋势， 局限：不能完整地反映原数列的长期趋势，不 便于直接根据修匀后的数列进行预测。 便于直接根据修匀后的数列进行预测。
9.3 长期趋势分析
一、长期趋势测定方法之移动平均法 二、长期趋势测定方法之趋势模型法
二、长期趋势的测定方法 长期趋势测定的方法： 1. 移动平均法； 移动平均法； 2. 数学模型法。 数学模型法。
1.移动平均法： 1.移动平均法： 移动平均法
是测定时间序列趋势变动的基本方法。 是测定时间序列趋势变动的基本方法。
2 2
a = y bt
资料（ 【例】已知某省GDP资料（单位：亿元）如下， 已知某省 资料 单位：亿元）如下， 拟合直线趋势方程，并预测1999年的水平。 年的水平。 拟合直线趋势方程，并预测 年的水平
年份
1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998
求解a 求解a、b的简捷方法
y
y′
a′
4 0
a’-a
y = a + bt
a
0 1 2 3 -3 -2 -1
5 1
6 2
7 3
t
取时间数列中间项为原点
∑t = 0
当 ∑ t = 0时 ， 有 0时
∑ y = na + b ∑ t ∑ ty = a ∑ t + b ∑ t
b= n ∑ ty ∑ t ∑ y n ∑ t (∑ t )
2 2 2 2
= 1312 .89 182505 .8 91 a = y bt = 1312 .89 × = 4848 .68 13 13 即直线趋势方程为： y = 4848 .68 + 1312 .89 t
预测： 预测：
= 23229 . 14 (亿元 )
y 1999 = 4848 . 68 + 1312 . 89 × 14
( 2)
[
]
M3
(2)
1 1 y1 + y2 + y3 + y4 + y5 2 =2 4
偶数项移动平均
1. 2. 3. 4. 5.
6. 7. 8. 9.
(例如取4项)
移正平均
y1 y2 y3 y4 y5
y6 y7 y8 y9
移动平均
1 y + y + y + y +1 y y1 + y2 + y3 + y4 y1 + y2 + y3 + y4 + y2 + y3 + y4 + y5 1 2 3 4 2 5 =2 4 4 4 4
在输入区域中输入D1:D21 选定标志位于第一行， D1:D21， ④在输入区域中输入D1:D21，选定标志位于第一行， 间隔设为4，在输出区域中输入F2，即输出区域的 间隔设为4 在输出区域中输入F2， F2 左上角的绝对引用。选择图表输出和标准误差。 左上角的绝对引用。选择图表输出和标准误差。单 确定”按钮，所得结果如下图所示。 击“确定”按钮，所得结果如下图所示。