8
3 8
9
b(2) 2
b(2) 3
k3b3(1)
1 k32
1 2
k2
b(2) 2
1 2
b(1) 1
b(1) 2
k2b2(1)
1 k22
1 4
k1
b(1) 1
1 4
x(n) z－ 1
1/4 1/ 4 z－ 1
1/2 1/ 2 z－ 1
1/ 3 y(n) 1/3
图 8.2.3 H(z)的格型结构流图
令m=2, 3, :, M， 可推出
J m (z) zmBm (z1)
将上式分别代入(8.2.5)和(8.2.6)式得
Bm (z) Bm1(z) kmzmBm1(z 1)
Bm1( z)
Bm (z) km zmBm (z1) 1 km2
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(8.2.7)
(8.2.8a) (8.2.8b)
k 0
D(z1) ze j D(e j ) D(e j )
H (e j )
D(e j ) D(e j )
1
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▪ 观察图 8.1.1， 如果将
零点zk和极点p*k组成一 对， 将零点z*k与极点 pk组成一对， 那么全 通滤波器的极点与零点
便以共轭倒易关系出现，
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(8.1.4)
▪
下面证明(8.1.3)式表示的滤波器具有全通幅频特性。
N
N
ak zN k
H (z)
k 0 N
ak zk
zN
ak zk
k 0 N
ak zk
zN D(z1) D(z)
k 0
k 0
(8.1.5)
N
式中， D(z) ak zk 由于系数ak是实数， 所以
em
km
rm－ 1
km
图 8.2.2 全z零－ 点1 格型结构=基本单rm元
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格型滤波器
▪ 设Bm(z), Jm(z)分别表示由输入端x(n)至第m个基本单元上、 下输 出端em(n)、 rm(n)}对应的系统函数， 即
m
Bm (z) Em(z) / E0(z) 1 bm(i)zi, m 1, 2,, M
i1
Jm(z) Rm(z) / R0(z), m 1, 2,, M
(8.2.3a) (8.2.3b)
当m=M时， Bm(z)=B(z)。 对(8.2.2)式两边进行Z变换得
Em (z)
Em1 ( z )
km
z
R 1 m1
(
z)
Rm
(z)
km Em1 ( z )
z
R 1 m1
(
z)
(8.2.4a) (8.2.4b)
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格型滤波器
▪ 2 全极点(IIR)格型滤波器 ▪ IIR滤波器的格型结构受限于全极点系统函数， 可以根据FIR
格型结构开发。 设一个全极点系统函数由下式给定：
eM x(n)
rM
H (z) 1
1
M
a(i) M
z
i
1 A( z )
i 1
(8.2.12)
eM－ 1
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最小相位系统
▪ 因为H1(z)为最小相位，所以H1(z) (1-z0*z-1)也是最小相位．又由 (8.1. 6)式知(z-1 -z0*)／ (1-z0*z-1)为全通系统，故H(z) = Hmin(z) *Hap(z)。显然， |H(ejw)| = |Hmin(ejw)| 。
▪ 最小相位系统在工程理论中较为重要，下面给出最小相 位系统的几个重要特点。
▪ (1)任何一个非最小相位系统的系统函数H(z)均可由一个 最小相位系统Hmin(z)和个全通系统Hap(z)级联而成，即 ▪ H(z) = Hmin(z) *Hap(z)
▪ 证明 假设因果稳定系统H(z)仅有一个零点在单位圆外， 令该零点为z＝1／z0，| z0 |<1。则H(z)可表示为:
1 2
, k3
1 3
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格型滤波器
x(n) － 1/3
1/ 3
－ 1/2 z－ 1 1/ 2
－ 1/4 z－ 1 1/ 4
z－ 1
y(n)
图 8.2.5 例 8.2.2 中的IIR格型结构
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梳状滤波器
▪
例如，
H
(z)
1 z1 1 az1
, 0<a<1， 零点为 1， 极点为a, 所以H(z)表示
▪ 一个高通滤波器。 以zN代替H(z)的z， 得到：
▪
H
(
z
N
)
1 zN 1 azN
(8.1.7)
Im(z)
Hk(e jω)
零点 在单位圆 上
极点在半径为 α
1 N
的圆上
1
Re(z)
…
1
αN
ω 0 2π 4π 6π 8π 10π
NNNN N
(a)
(b)
图 8.1.2 梳状滤波器 的零极点分布和幅频响应特性(N=8)
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最小相位系统
▪ 一个因果稳定的时域离散线性非移变系统H(z)，其所有 极点必须在单位圆内，但其零点可在z平面上任意位置， 只要频响特性满足要求即可。如果因果稳定系统H(z)的 所有零点都在单位圆内，则称之为“最小相位系统”， 记为Hmin(z)；反之，如果所有零点都在单位圆外，则称 之为“最大相位系统”，记为Hmax (z)，若单位圆内、外 都有零点，则称之为“混合相位系统”。
▪ 观察图8．1．1，如果将零点zk和极点pk*组成一对，将零点zk* 与极点pk 组成一对，那么全通滤波器的极点与零点便以共扼倒易关系出现，即如 果zk-1为全通滤波器的零点，则zk*必然是全通滤波器的极点。因此，全 通滤波器系统函数也可以写成如下形式：
▪ ▪ 显然，(8．1．6)式中极点和零点互为共轭倒易关系。其全通特性的证
x(n) e0 r0 z－ 1
e1
e2
eM－ 1
k1
k2
kM－ 1
k1
k2
kM－ 1
r1 z－ 1
r2
z－ 1
rM－ 1 z－ 1
图 8.2.1 全零点格型滤波器网络结构
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y(n) kM
kM
格型滤波器
▪
下面推导由H(z)=B(z)的系数{bi}求出格型结构网络系数{ki}的逆
即 如 果 z-1k 为 全 通 滤 波 器的零点， 则z*k必然 是全通滤波器的极点。
因此， 全通滤波器系
统函数也可以写成如下
形式：
N
H(z)
k 1
z1 zk 1 zkz1
(8.1.6)
Im(z) zk
pk*
Re(z) pk
zk*
图 8.1.1 全通滤波器一组 零极点示意图
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最小相位系统
▪ 该特点说明了在滤波器优化设计中很有用的结论——将系统位于单 依圆外的零(或极)点zk用1/zk*代替时，不会影响系统约幅频响应特性。 这一点在滤波器优化设计中已用到。在那里，将单位圆外的极点用 其镜像代替，以确保滤波器因果稳定。该结论为我们提供了
J
m1
(
z
)
1 km z
km z
1
Bm Jm
(z) ( z )
km2
(8.2.6)
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格型滤波器
▪ 由(8.2.3)式有B0(z)=J0(z)=1, 所以
B1(z) B0 (z) k1z1J 0 (z) 1 k1z1 J1( z) k1B0 ( z) z1J 0 (z) k1 z1 J1( z) z1B1( z1)
kM － kM
z－ 1 rM－ 1
kM－ 1 － kM－ 1
z－ 1
e2
e1
e0
y(n)
k2
k1
－ k2
－ k1
r2
z－ 1 r1
z－ 1 r0
图 8.2.4 全极点(IIR))滤波器格型结构
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格型滤波器
▪ 例 8.2.2 设全极点IIR滤波器系统函数为
H
(z)
格型滤波器
▪
下面导出km与滤波器系数b(m)m之递推关系。 将(8.2.3a)
式代入(8.2.8a)及(8.2.8b)式， 利用待定系数法可得到如下两组递
推关系：
bbmm(i
km
)
b(i) m1
k b(mi) m m1
km
b(m) m
b(i) m1
b(i) m
k b(mi) m m1
1 km2
全通滤波器的系统函数一般形式如下式：
N
ak zN k
H (z)
k 0 N
ak zk
k 0
zN
a1zN 1 a2zN 2 1 a1z1 a2z2 aN zN
aN
, a0
1
(8.1.3)
或者写成二阶滤波器级联形式：
L
H(z)
i1
z2 a1i z1 a2i a2i z2 a1i z1 1
▪ 持色的持殊类型的滤波器。
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