绝对值的性质及化简【绝对值的几何意义】一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . (距离具有非负性)【绝对值的代数意义】一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.注意:① 取绝对值也是一种运算,运算符号是“| |”,求一个数的绝对值,就是根据性质去掉绝对值符号.② 绝对值的性质:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相 反数;0的绝对值是0.③ 绝对值具有非负性,取绝对值的结果总是正数或0.④ 任何一个有理数都是由两部分组成:符号和它的绝对值,如:5-符号是负 号,绝对值是5.【求字母a 的绝对值】 ①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩ 利用绝对值比较两个负有理数的大小:两个负数,绝对值大的反而小.绝对值非负性:|a|≥0如果若干个非负数的和为0,那么这若干个非负数都必为0. 例如:若0a b c ++=,则0a =,0b =,0c =【绝对值的其它重要性质】(1)任何一个数的绝对值都不小于这个数,也不小于这个数的相反数, 即a a ≥,且a a ≥-;(2)若a b =,则a b =或a b =-;(3)ab a b =⋅;a ab b =(0)b ≠; (4)222||||a a a ==;(5)||a|-|b|| ≤ |a ±b| ≤ |a|+|b|a 的几何意义:在数轴上,表示这个数的点离开原点的距离.a b -的几何意义:在数轴上,表示数a .b 对应数轴上两点间的距离.【去绝对值符号】基本步骤,找零点,分区间,定正负,去符号。
【绝对值不等式】(1)解绝对值不等式必须设法化去式中的绝对值符号,转化为一般代数式类型来解;(2)证明绝对值不等式主要有两种方法:A)去掉绝对值符号转化为一般的不等式证明:换元法、讨论法、平方法;B)利用不等式:|a|-|b|≦|a+b|≦|a|+|b|,用这个方法要对绝对值内的式子进行分拆组合、添项减项、使要证的式子与已知的式子联系起来。
【绝对值必考题型】例1:已知|x-2|+|y-3|=0,求x+y的值。
解:由绝对值的非负性可知x-2= 0,y-3=0;即:x=2,y =3;所以x+y=5判断必知点:①相反数等于它本身的是 0②倒数等于它本身的是±1③绝对值等于它本身的是非负数【例题精讲】(一)绝对值的非负性问题1. 非负性:若有几个非负数的和为0,那么这几个非负数均为0.2. 绝对值的非负性;若0a b c ++=,则必有0a =,0b =,0c =【例题】若3150x y z +++++=,则x y z --= 。
总结:若干非负数之和为0, 。
【巩固】若7322102m n p ++-+-=,则23_______p n m +=+ 【巩固】先化简,再求值:ab b a ab ab b a2)23(223222+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---. 其中a 、b 满足0)42(132=-+++a b a .(二)绝对值的性质【例1】若a <0,则4a+7|a|等于( )A .11aB .-11aC .-3aD .3a【例2】一个数与这个数的绝对值相等,那么这个数是( )A .1,0B .正数C .非正数D .非负数【例3】已知|x|=5,|y|=2,且xy >0,则x-y 的值等于( )A .7或-7B .7或3C .3或-3D .-7或-3【例4】若1-=x x,则x 是( )A .正数B .负数C .非负数D .非正数【例5】已知:a >0,b <0,|a|<|b|<1,那么以下判断正确的是( )A .1-b >-b >1+a >aB .1+a >a >1-b >-bC .1+a >1-b >a >-bD .1-b >1+a >-b >a【例6】已知a .b 互为相反数,且|a-b|=6,则|b-1|的值为( )A .2B .2或3C .4D .2或4【例7】a<0,ab<0,计算|b-a+1|-|a-b-5|,结果为()A.6 B.-4 C.-2a+2b+6 D.2a-2b-6【例8】若|x+y|=y-x,则有()A.y>0,x<0 B.y<0,x>0C.y<0,x<0 D.x=0,y≥0或y=0,x≤0【例9】已知:x<0<z,xy>0,且|y|>|z|>|x|,那么|x+z|+|y+z|-|x-y|的值()【例12】若x<-2,则|1-|1+x||=______若|a|=-a,则|a-1|-|a-2|= ________【例14】若|a|+a=0,|ab|=ab ,|c|-c=0,化简:|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|= ________【例15】已知数,,a b c 的大小关系如图所示,则下列各式:①()0b a c ++->;②0)(>+--c b a ;③1=++cc b b a a ;④0>-a bc ; ⑤b c a b c b a 2-=-++--.其中正确的有 .(请填写番号)【巩固】已知a b c ,,是非零整数,且0a b c ++=,求a b c abc+++的值(三)绝对值相关化简问题(零点分段法)零点分段法的一般步骤:找零点→分区间→定符号→去绝对值符号.【例题】阅读下列材料并解决相关问题:c a 0b我们知道()()()0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩,现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式, 如化简代数式12x x ++-时,可令10x +=和20x -=,分别求得12x x =-=,(称12-,分别为1x +与2x -的零点值),在有理数范围内,零点 值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况: ⑴当1x <-时,原式()()1221x x x =-+--=-+⑵当12x -<≤时,原式()123x x =+--=⑶当2x ≥时,原式1221x x x =++-=-综上讨论,原式()()()211312212x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥(1)求出2x +和4x -的零点值 (2)化简代数式24x x ++- 解:(1)|x+2|和|x-4|的零点值分别为x=-2和x=4.(2)当x <-2时,|x+2|+|x-4|=-2x+2;当-2≤x <4时,|x+2|+|x-4|=6; 当x ≥4时,|x+2|+|x-4|=2x-2.【巩固】化简1. 12x x +++2. 12m m m +-+-的值3. 523x x ++-.4. (1)12-x ;变式5.已知23++-x x 的最小值是a ,23+--x x 的最大值为b ,求b a +的值。
(四)b a -表示数轴上表示数a 、数b 的两点间的距离.【例题】(距离问题)观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-,3与5,2-与6-,4-与3.并回答下列各题:(1) 你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗?答: .(2) 若数轴上的点A 表示的数为x ,点B 表示的数为―1,则A 与B 两点间的距离可以表示为 .(3) 结合数轴求得|x-2|+|x+3|的最小值为 ,取得最小值时x 的取值范围为 .(4) 满足341>+++x x 的x 的取值范围为 .(5) 若1232008x x x x -+-+-++-L 的值为常数,试求x 的取值范围.(五)、绝对值的最值问题例题1: 1)当x 取何值时,|x-1|有最小值,这个最小值是多少?2) 当x 取何值时,|x-1|+3有最小值,这个最小值是多少?3) 当x 取何值时,|x-1|-3有最小值,这个最小值是多少?4)当x 取何值时,-3+|x-1|有最小值,这个最小值是多少?例题2:1)当x 取何值时,-|x-1|有最大值,这个最大值是多少?2)当x 取何值时,-|x-1|+3有最大值,这个最大值是多少?3)当x 取何值时,-|x-1|-3有最大值,这个最大值是多少?4)当x 取何值时,3-|x-1|有最大值,这个最大值是多少?若想很好的解决以上2个例题,我们需要知道如下知识点:、1)非负数:0和正数,有最小值是02)非正数:0和负数,有最大值是03)任意有理数的绝对值都是非负数,即|a|≥0,则-|a|≤04)x是任意有理数,m是常数,则|x+m|≥0,有最小值是0,-|x+m|≤0有最大值是0(可以理解为x是任意有理数,则x+a依然是任意有理数,如|x+3|≥0,-|x+3|≤0或者|x-1|≥0,-|x-1|≤0)5)x是任意有理数,m和n是常数,则|x+m|+n≥n,有最小值是n-|x+m|+n≤n,有最大值是n(可以理解为|x+m|+n是由|x+m|的值向右(n>0)或者向左(n<0)平移了|n|个单位,为如|x-1|≥0,则|x-1|+3≥3,相当于|x-1|的值整体向右平移了3个单位,|x-1|≥0,例题1:1 ) 当x取何值时,|x-1|有最小值,这个最小值是多少?2 ) 当x取何值时,|x-1|+3有最小值,这个最小值是多少?3 ) 当x取何值时,|x-1|-3有最小值,这个最小值是多少?4)当x取何值时,-3+|x-1|有最小值,这个最小值是多少?解:1)当x-1=0时,即x=1时,|x-1|有最小值是02)当x-1=0时,即x=1时,|x-1|+3有最小值是33)当x-1=0时,即x=1时,|x-1|-3有最小值是-34)此题可以将-3+|x-1|变形为|x-1|-3,即当x-1=0时,即x=1时,|x-1|-3 有最小值是-3例题2:1)当x取何值时,-|x-1|有最大值,这个最大值是多少?2 ) 当x取何值时,-|x-1|+3有最大值,这个最大值是多少?3 ) 当x取何值时,-|x-1|-3有最大值,这个最大值是多少?4)当x取何值时,3-|x-1|有最大值,这个最大值是多少?解:1)当x-1=0时,即x=1时,-|x-1|有最大值是02)当x-1=0时,即x=1时,-|x-1|+3有最大值是33)当x-1=0时,即x=1时,-|x-1|-3有最大值是-3思考:若x是任意有理数,a和b是常数,则1)|x+a|有最大(小)值?最大(小)值是多少?此时x值是多少?2)|x+a|+b有最大(小)值?最大(小)值是多少?此时x值是多少?3) -|x+a|+b有最大(小)值?最大(小)值是多少?此时x值是多少?例题3:求|x+1|+|x-2|的最小值,并求出此时x的取值范围分析:我们先回顾下化简代数式|x+1|+|x-2|的过程:可令x+1=0和x-2=0,得x=-1和x=2(-1和2都是零点值)在数轴上找到-1和2的位置,发现-1和2将数轴分为5个部分1)当x<-1时,x+1<0,x-2<0,则|x+1|+|x-2|=-(x+1)-(x-2)=-x-1-x+2=-2x+1 2)当x=-1时,x+1=0,x-2=-3,则|x+1|+|x-2|=0+3=33)当-1<x<2时,x+1>0,x-2<0,则|x+1|+|x-2|=x+1-(x-2)=x+1-x+2=3 4)当x=2时,x+1=3,x-2=0,则|x+1|+|x-2|=3+0=35)当x>2时,x+1>0,x-2>0,则|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1我们发现:当x<-1时, |x+1|+|x-2|=-2x+1>3当-1≤x≤2时,|x+1|+|x-2|=3当x>2时,|x+1|+|x-2|=2x-1>3所以:可知|x+1|+|x-2|的最小值是3,此时: -1≤x≤2解:可令x+1=0和x-2=0,得x=-1和x=2(-1和2都是零点值)则当-1≤x≤2时,|x+1|+|x-2|的最小值是3评:若问代数式|x+1|+|x-2|的最小值是多少?并求x的取值范围?一般都出现填空题居多;若是化简代数式|x+1|+|x-2|的常出现解答题中。