x A 2 e
t


2
t
A
[( )e
t
( )e
t
]
v Ae
t
0
2
2
(e
t
e
) Ae
t
0
2
Hale Waihona Puke sin h ( t ) .
{范例5.7} 弹簧振子的阻尼振动
讨论
x A 2 e
t
[( )e
t
质点运动的位移曲线如图所 示，阻尼因子越大，物体达 到静止所需要的时间越长。 在临界阻尼情况下，物体到 达静止所需要的时间最短。
阻尼因子越小，物体振动的准 周期越短，振动时间也越长。
质点运动的速度曲线如图所示，物 体的速度从零开始反方向增大，经 过一个极小值之后再反方向减小。
极值所在处的加速度为零。
x A 2 [e
i 0 t
e
i 0 t
] A co s 0 t
可见：在不计阻尼的情况下，物体作简谐振动。
{范例5.7} 弹簧振子的阻尼振动
讨论
x A 2 e
t
[( )e
t
( )e
t
]
④当0 < β < ω0时，设 可得
co s 1 2
i -i

0
2
2
则α = iω，
利用欧拉公式eiθ = cosθ + isinθ，e-iθ = cosθ – isinθ，
(e e ),
sin 1 2i (e
i
e
-i
)
位移为 x
或 这就是欠阻尼的情况， 其中 arctan 振幅按指数规律衰减。 2π 物体作准周期性运动，ω T 2 π 2 2 是其角频率，准周期为 0
Ae
t
(co s t

sin t )
x
0
Ae
t
co s( t )
阻尼因子越大， 周期越长。或 者说：阻尼使 振动变慢了。
利用双曲函数sinhθ = (eθ - e-θ)/2，coshθ = (eθ + e-θ)/2， 位移可 t x Ae (co sh t sin h t ) 用哪一个位移公式都能计 表示为 算，只要取实部就行了。
( )e
t
]
①当β > ω0时，即α是正实数，这是过 阻尼的情况，位移按指数规律衰减。 ②当β → ω0时，即α → 0，不论用罗必塔法则还是用公式 eαt → 1 + αt和e-αt → 1 - αt，都可得x = A(1 + ω0t)exp(-ω0t)。
这是临界阻尼的情况，位移仍然按指数规律衰减。 ③当β = 0时，则α = iω0， i= -1 为虚数单位 可得
d x dt
2 2
2
dx dt
0 x 0
2
设微分方程的解为x = ert，代入上式得特征方程r2 - 2βr + ω02 = 0。
2 2 0 特征方程的解为 r 设 α可以是实数和零以及虚数，则r1 = -β + α，r2 = -β – α。
1 2
v
dx dt
C 1 r1 e
r1 t
C 2 r2 e
r2 t
e
t
[ C 1 ( )e
t
C 2 ( )e
t
]
当t = 0时，x = A，v = 0，因此可得 A = C1 + C2，0 = C1(-β + α) + C2(-β - α) 如果β ≠ ω0，即α ≠ 0， C2 C1 A, 解得两个常数分别为 2 因此物体 的位移为 物体运动 的速度为
约化阻尼因子大于和等于1 时，速度大小会逐渐减小为 零；阻尼因子比较小时，物 体速度也会作周期性变化。
{范例5.7} 弹簧振子的阻尼振动
一弹簧振子的质量为m，倔强系数为k。振子还受到与速度大 小成正比、方向相反的阻力，比例系数为γ。当振子从静止 开始运动时，初位移为A。物体的运动规律是什么？不同的 阻尼下的位移曲线和速度曲线有什么差别？ 2 d x dx 取k/m = ω02， [解析]根据牛顿运动定律， m kx 2 γ/m = 2β， dt dt 物体运动的微分方程为 ω0就是无阻尼时物体的固有角频率，β是阻尼因子。 物体的运动方程可表示为
2 2 0
微分方程的解为
x C 1e 1 C 2 e
rt
r2 t
e
t
( C 1e
t
C 2e
t
)
其中C1和C2是由初始条件决定的常数。
{范例5.7} 弹簧振子的阻尼振动
一弹簧振子的质量为m，倔强系数为k。振子还受到与速度大 小成正比、方向相反的阻力，比例系数为γ。当振子从静止 开始运动时，初位移为A。物体的运动规律是什么？不同的 阻尼下的位移曲线和速度曲线有什么差别？ rt r t t t t 物体的速度为 x C 1e C 2 e e ( C 1e C 2 e )