【解析】利用分部积分法
∫e2xarctan√ex
1dx
1∫arctan√ex
1d(e2x)
1e2xarctan√ex1
1∫e2x
√exdx
=1e2xarctan√ex
2
−1−1∫
e2x
√ex−1dx
=1e2xarctan√ex
2
−1−1∫
ex
√ex−1d
(ex)
其中
ex
√ex−1d
(ex)=∫
t
√t−1dt=
选D.
二、填空题（每空4分,共24分）
9.lim
x→0
1
(kx
1+tanx
)
=e,则k=.
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本科院校
.....................................装.......................................订.......................................线.......................................
由高斯公式得
Σ+Σ1
xdydz+(y3+z)dzdx+z3dxdy
=∫∫∫
(1+3y2+3z2)dV=∫∫∫
dV+3
3y2+3z2⩽1
(y2+z2)√1−3y2−3z2dydz
14π
=2·3
√3
·3·
√3
3+3
2πd
00
√3r2√1−3r2rdr=
14π45
而xdydz+(y3+z)dzdx+z3dxdy=0,所以∫∫xdydz+(y3+z)dzdx+z3dxdy=45.
=e−x((∫Tf(t)etdt+C)e−T+∫xf(u)eudu)
00
(∫Tt)T
∫Tf(t)etdt
−x(∫x
1
t∫Tf(t)etdt)
此y=e
19.(本题满分10分)
f(t)e dt+
0
eT−1
就是唯一的周期函数解.
设数列{xn}满足x1>0,xn=exn+1=exn−1(n=1,2,· · ·).证明{xn}收敛并求limxn.
xy
2π4,
z,因此三个面积的和为
3
S
(x)2
(y)2
√3(z)2
x21y2
√3z2
′
=x+λ=0
√
′y
2π
π+4+33
法一 令f
x,y,z,
x21y2
3z2xyz2来自,求驻点.由fy=8+λ=0
可得
8,
(λ)=4π+16
+36
+λ( +
+−)√3
y=π+4+3√3
x+y+z=2
π+4+3 3
并且H f=diag{1
t−1+1dt=
t−1
∫√t
−1dt+∫
dt
√t−1
=2(t−1)3+2√t−1+C=2(ex−1)3+2√ex−1+C
故∫e2xarctan√ex−1dx=1e2xarctan√ex−1−1(ex−1)3−1√ex−1+C.
16.(本题满分10分)
将长为2m的铁丝分成三段,依次围成圆、正方形与正三角形,三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在,求出最小值.【解析】设分成的三段依次为x,y,z,则x+y+z=2,依次围成的圆的半径、正方形的边长与正三角形边长分别为
【解析】由α1,α2是A的线性无关的特征向量,则α1,α2是A2的线性无关的特征向量.又A2(α1+α2) =α1+α2,α1+α2
也是A2的特征向量,则A2有二重特征值1.又A有两个不同的特征值,则其特征值为−1,1, ,故|A|=−1.
14.设随机事件A与B相互独立,A与C相互独立,BC=∅.若P(A)=P(B)=1,P(AC|AB∪C)=1,则P(C)=.
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本科院校
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∫∫xdydz+(y3+z)dzdx+z3dxdy=∫∫
xdydz+(y3+z)dzdx+z3dxdy−∫∫
xdydz+(y3+z)dzdx+z3dxdy
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1√3}正定,这就是面积和的最小值点,此时最小面积为S=1√m2.
(x2
12
√32)(
36)
2x
yz
1
π+4+3√3
m2.
17.(本题满分10分)
求∫∫xdydz+(y3+z)dzdx+z3dxdy.其中Σ取曲面x=√1−3y2−3z2的正面.
【解析】取Σ1:x=0,3y2+3z2⩽1,法向量方向指向x轴负向.记Ω为Σ和Σ1所围成的区域,则
【解析】首先由x1>0,xn=exn+1=exn−1(n=1,2,· · ·)归纳可知所有xn>0.考虑函数f(x) =ex,由拉格朗日
中值定理可得ex
exn−1
f(xn)−f(0)
eξn
exn,这里
0,x
.这就说明xx
0,因此x单
n+1==
n
=<
xn−0
ξn∈(n)
n>n+1>
{n}
调递减有下界,故收敛.设limxn=x⩾0,在等式xn=exn+1=exn−1两边取极限得xex=ex−1.如果x>0,则
2018年全国硕士研究生统一入学考试数学一试题
整理人：中博考研向禹老师xy123@
题号
1-8
9-14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
总分
分数
一、选择题（每小题4分,共32分）
1.下列函数不可导的是()
A.f(x)=|x|sin|x|B.f(x)=|x|sin√|x|C.f(x)=cos|x|D.f(x)=cos√|x|
π
2
1+cosx
π
2
dx,则
()
A.M>N>KB.M>K>NC.K>M>ND.N>M>K
【解析】利用对称性可以计算M=
见K>π=M>N.
1 1 0
π(1+x)2
π1+x2dx=
21+2x
π1+x
dx=π,另外比较被积函数与1的大小关系易
5.下列矩阵中,与矩阵011相似的为
0 0 1
()
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18.(本题满分10分)
已知微分方程y′+y=f(x),其中f(x)是R上的连续函数.
(a)当f(x) =x时,求微分方程的通解.
(b)当f(x)周期为T的函数时,证明:方程存在唯一的以T为周期解.
【解析】
(a)方程两边乘以ex得(exy)′=ex(y′+y) =xex,因此exy= (x−1)ex+C,因此通解为y=Ce−x+x−1.
【解析】原极限为1∞型,故恒等变形为
lim
(1+
1+tanx2tanx
−2tanx(1+tanx)sin(kx)
=exp
(lim
−2tanx)=e
x→0
1+tanx
x→0(1+tanx)sin(kx)
所以lim−2tanx=1,k=2.
x→0(1+tanx)sin(kx)
10. 设函数f(x)具有二阶连续导数,若曲线y=f(x)的过点(0,0),且与曲线y=2x在点(1,2)处相切,则1xf′′(x)dx=
【解析】由f(1+x) =f(1−x)知f(x)关于x=1对称,则∫1f(x)dx=∫2f(x)dx=1∫2f(x)dx=0.3,于是
P{X<0}=∫0
f(x)dx=1
−∞
f(x)dx−∫1f(x)dx=0.5−0.3=0.2
选A.
8.给定总体X∼N(µ,σ2),σ2已知,给定样本X1,X2,···,Xn,对总体均值µ进行检验,令H0:µ=µ0,H1:µ̸=µ0,则