2018年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的
（1）下列函数中，在0x =处不可导的是（ ）
(A)()sin f x x x = (B) (
)f x x =
(C) ()cos f x x = (D) (
)f x =
（2）过点()()1,0,0,0,1,0，且与曲面22z x y =+相切的平面为（ ）
(A)01z x y z =+-=与 (B) 022z x y z =+-=与2
(C) 1x y x y z =+-=与 (D) 22x y x y z =+-=与2
（3）()()023
121!n n n n ∞=+-=+∑（ ）
(A) sin1cos1+ (B) 2sin1cos1+
(C) 2sin12cos1+ (D) 2sin13cos1+
（4）设(
)(22222222
11,,1,1x x x M dx N dx K dx x e ππ
π
πππ---++===
+⎰⎰⎰则（ ）
(A)M N K >> (B)M K N >>
(C)K M N >> (D)K N M >>
（5）下列矩阵中与矩阵110011001⎛
⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
相似的为（ ）
(A) 111011001-⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 101011001-⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
(C) 111010001-⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D) 101010001-⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
（6）()(),A B n r X X X Y 设、为阶矩阵，记为矩阵的秩，表示分块矩阵，则（ ）
(A) ()(),r A AB r A = (B) ()(),r A BA r A =
()()(){}()T T
(A) 0.2 (B)0.3 (C)0.4 (D)0.5
（8）设总体()2
12,,,,,n
X N X X X X μσL 服从正态分布是来自总体的简单随机样本，据此样本检测： 0010=H H μμμμ≠假设：：，：，则（ ）
(A) 00=0.05=0.01H H αα如果在检验水平下拒绝，那么在检验水平下必拒绝
(B) 00=0.05=0.01H H αα如果在检验水平下拒绝，那么在检验水平必接受
(C) 00=0.05=0.01H H αα如果在检验水平下接受，那么在检验水平下必拒绝
(D) 00=0.05=0.01H H αα如果在检验水平下接受，那么在检验水平下必接受
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。

（9）1sin 01tan lim ,1tan kx x x e k x →-⎛⎫== ⎪+⎝⎭若则__________.
（10）()()()()20,021,2x f x y f x y ==设函数具有阶连续导数，若曲线过点且与曲线在点处
()1
0xf x dx ''=⎰相切，则__________. （11）()(,,),1,1,0F x y z xyi yz j zxk rotF =-+=r r r 设则 .
（12）22210L
L x y z x y z xyds ++=++==⎰Ñ设为球面与平面的交线，则 . （13）()21212122,=A A A αααααα++设阶矩阵有两个不同特征值，是的线性无关的特征向量，且满足， A =则 .
（14）=A B A C BC ∅设随机事件与相互独立，与相互独立，，若
()()()11,,24
P A P B P AC AB C ====U ()P C =则 .
三、解答题：15~23小题，共94分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（15）（本题满分10分）
2.x e ⎰求不定积分
2m 将长为的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形.三个图形的面积之和是否存在最小值？.若存在，求出最小值
（17）（本题满分10分）
()33=2.
x I xdydz y dzdx z dxdy ∑∑=+++⎰⎰设是曲面
（18）（本题满分10分）
(),().y y f x f x R '+=已知微分方程其中是上的连续函数
（I ）(),f x x =若求方程的通解；
（II ）()f x T T 若是周期为的函数，证明：方程存在唯一的以为周期的解.
（19）（本题满分10分）
{}{}110,1(1,2,),lim .n n x x n n n n n x x x e e n x x +→∞
>=-=L 设数列满足：证明收敛，并求
2221231232313(,,)(,)()(),.f x x x x x x x x x ax a =-+++++设实二次型其中是参数
(I) 123(,,)0f x x x =求的解；
(II) 123(,,)f x x x 求的规范形.
（21）（本题满分11分）
1212=130=011.27111a a a A B a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
已知是常数，且矩阵可经初等列变换化为矩阵
(I) ;a 求
(II) .AP B P =求满足的可逆矩阵
（22）（本题满分11分）
{}{}111,2
X Y X P X P X Y λ===-=设随机变量与相互独立，的概率分布为服从参数为的泊松分布. .Z XY =令
(I) (),;Cov X Z 求
(II) .Z 求的概率分布
（23）（本题满分11分）
µ121(,),,2(0,),,,..x n X f x e x X X X X σσ
σσσ
-=-∞<<+∞∈+∞L 设总体的概率密度为
其中为未知参数，为来自总体的简单随机样本记的最大似然估计量为 (I) ˆσ求；
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