——巧用反函数； ——巧用排除法； ——巧用未知当已知； ——巧用反证法； ——巧用分析法等等。
典型例题剖析：
例 1、若三个方程：x2 4kx 4k 3 0, x2 (k 1)x k 2 0, x2 2kx 2k 0 ，至少有
一个方程有实数解，试求实数 k 的取值范围。
答案：
,
答案：（1）可用分析法；（2） GA : GB 1 3
例 4、直线 l 的方程为 x p , p 0 ，椭圆中心为 D 2 p ,0 ，焦点在 x 轴上，长半轴长
2
2
为 2，短半轴长为 1，它的一个顶点为 A p ,0 ，问当 p 在哪个范围内取值时，椭圆上有不 2
同的四个点，它们中的每一个点到 A 的距离等于该点到直线 l 的距离。 答案： p 0, 1
x
y
答案：略
8、设 0 a,b, c, d 1，又设 x 4a(1 b), y 4b(1 c), z 4c(1 d),t 4d(1 a) ，求证：
x, y, z,t 这四个数中，至少有一个不大于 1.
答案：略
9、对于集合 A x x2 2ax 4a ，问是否
3 例 5、如图，平行六面体 AC1 的底面 ABCD是菱形，且 C1CB C1CD BCD 60
（1）求证： C1C BD ；
（2）当
CD CC1
的值为多少时，能使
A1C
平面 C1BD
？请给出证明。
答案：（1）略；（2）1.
例 6、已知关于 x 的实系数二次方程 x2 ax b 0 有两个实数根, ，求证：
答案：略。
自我测试作业：
1、已 知 A a1, a2, a3, a4, a5 , B a12, a22, a32, a42, a52 ， ai N , i 1,2,3,4,5 ， 设
a1 a2 a3 a4 a5 ，且 A B a1, a4， a1 a4 10 ，又 A B 元素之和为 224，求：
数学解题中的思想方法——正向思维与逆向思维
知识技能梳理： 通过对结论及其反面的分析，执果索因去寻找解题的途径，这就是逆向思维。常有逆推法， 补集（余）的思维法，反证法等。 逆向思维法与顺向思维法是并立的。当顺推法不易处理，陷入困境时，逆向思维会使“茅塞 顿开”。在用逆向思维考虑解题途径时，必须注意推理的充要性，结论变形的等价性。 因此，正难则反——巧用等价命题；
存在实数 a ，使得 A B ？若不存在，说明理由；若存在，求出 a 的值。
答案：存在 a 1,2
10、已知函数 y f (x) 是 R 上的单调函数，求证：方程 f (x) 0 在 R 上至多有一个实根。
答案：略
11、设函数
f
(x)
2x4
(2
a)x2
a2
2a ，是否存在实数 a
，使
f
答案：略
3、已知 a1, a2 ,b1,b2 为正数，求证： a1 b1a2 b2 a1a2 b1b2
答案：略
4、设正数数列 an 满足 2 Sn an 1，求 an 。
答案： an 2n 1
5、已知 a,b, c 0,1，求证： 1 ab,1 bc,1 ca 中不能都大于 1 。
4
答案：略
14、已知 a,b, c 是实数，函数 f (x) ax2 bx c, g(x) ax b ，当 1 x 1 时，
f (x) 1
（1）求证： c 1；
（2）求证：当 1 x 1 时， g(x) 2 ；
（3）设 a 0 ，当 1 x 1 时， g(x) 的最大值为 2，求 f (x)
（1）如果 2, 2 ，那么 2 a 4 b ，且 b 4 ；
（2）如果 2 a 4 b ，且 b 4 ，那么 2, 2 。
答案：略。
例 7、求证： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , n N
n1 3 5
2n 1 n 2 4 6
2n
（1） a1, a4 ；（2） a2 a3 a5 a12 a32 a52 ；（3） a5 ；（4） A
答案：（1） a1 1, a4 9 ；（2）142；（3）5；（4） A 1,2,4,9,10
2、设 x, y, z 为实数， A B C ，求证：
x2 y2 z2 2 yz cos A 2xz cos B 2xy cosC
(x)
在 ,
1 2
内
递减，在
1 2
,0
内递增？
答案：存在 a 3
12、在三角形 ABC中，若 a4 b4 c4 2c2 a2 b2 ，求 C
答案： 45 ,135
13、在三角形 ABC中，R 为外接圆半径，求证：a2 b2 c2 8R2 (1 cos Acos B cosC
3 2
1,
例
2、已知函数
y
ax2
(2a
1) x
3在
3 2
,2
上的最大值为
1，求实数
a
的值。
答案： 3 或 3 2 42
例 3、在 ABC中，E 为 BC 中点，过 E 作 BC 的垂线交 AC 于 F，交 BA 的延长线于 G，
且 EF=FG。（1）求证： sin A 3sin(B C) ；（2）求证： GA: GB 为常数。
答案：略
6、已知函数 f (x) 是 ,上增函数， a,b R 。
（1）求证：若 a b 0，则 f (a) f (b) f (a) f (b) ；
（2）判断（1）的逆命题是否成立？并证明你的结论。 答案：（1）略；（2）逆命题成立，证明略。
7、已知 x 0, y 0 ，且 x y 2 ，求证： 1 y 与 1 x 中至少有一个小于 2.
答案：（1）略； （2）略；
（3） f (x) 2x2 1