数学思维能力培养系列谈③正向思维与逆向思维厦门第一中学 郑辉龙 姚丽萍一、正向思维与逆向思维正向思维是指按常规习惯去分析问题，按常规进程进行思考、推测，是一种从已知进到未知的逻辑顺序来揭示问题本质的思维方法。

正向思维与逆向思维只是相对而言的，逆向思维是指背逆人们的习惯路线行进的思维。

听过“1美元”的故事吗？一天，犹太富翁哈德走进纽约花旗银行的贷款部。

看到这位气度非凡的绅士，贷款部的经理不敢怠慢，赶紧招呼：“先生，您有什么事情需要我帮忙的吗？”“哦，我想借些钱。

”“好啊，你要借多少？”“1美元。

”“只需要1美元？”“不错，只借1美元，可以吗？”“当然可以，像您这样的绅士，只要有担保多借点也可以。

”“那这些担保可以吗？”犹太人说着，从豪华的皮包里取出一大堆珠宝堆在写字台上。

“喏，这是价值50万美元的珠宝，够吗？”“当然，当然！不过，你只要借1美元？”“是的。

”犹太人接过了1美元和抵押凭证，就准备离开银行。

在旁观看的分行行长十分纳闷，他急忙追上前去，对犹太人说：”先生，请等一下，假如您想借30万、40万美元的话，我们也会考虑的。

”读者朋友，您知道哈德先生如何回答的吗？答案见本文结尾。

正逆向思维起源于事物的方向性，客观世界存在着互为逆向的事物，由于事物的正反向，才产生思维的正反向，两者是密切相关的。

数学知识本身就充满着正反两方面的转换。

例如加减、乘除、乘方开方等运算与逆运算；最大值与最小值、函数与反函数、性质定理与判定定理等。

两种思维的培养同样重要。

事实上，一方面由于正向思维符合人们的常规习惯，显得亲切自然，大众化，因此只要开动脑筋，正向思维即自动成为默认的第一选择，教师的课堂教学及学生的问题思考同样习惯于正向思维，相对而言，逆向思维培养明显弱化。

另一方面，事实证明，运用逆向思维，常常会取得意想不到的功效，这说明反向思维是摆脱常规思维羁绊的一种具有创造性的思维方式。

因此，本文重点谈谈逆向思维的培养。

二、逆向思维培养示例1.新授课中的培养方式。

（1）逆用定义。

在概念教学中应让学生明白：所有定义都是“充分且必要”的，也就是说定义都具备“可逆性”，可以正反两用。

案例1：解方程1222=---x x x 的结果是( ）A. x=-1B. x=0C. x=1D. x=2点评：人教版数学课本七年级（上）P81“解方程”的定义是：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解。

笔者曾经统计过，超过一半的学生是按照解方程的定义“求出”结果，仅有少数“偷懒”的学生逆用定义带入验证---观察口算即可获解。

（2）逆用公式。

在公式教学中应让学生明白：所有公式都是恒等式，都可以逆用。

案例2：简便计算（1）119992- （2）1998200019992⨯-。

点评：两道类型题摆在一起，明显结果是：学生做题（1）很顺，做题（2）困难，原因在于对平方差公式a 2-b 2=(a+b)(a-b)的逆用感觉“不习惯”。

（3）逆用法则。

法则就是规律，中学数学法则大多数是可以用等式表达的运算规律，同样关注其逆用。

例如幂的运算法则用数学符号语言可表示为四个恒等式: a m ·a n = a m+n , am ÷a n =a m-n , (a m ) n =a mn , (ab) m =a m ·b m 。

案例3：（1）计算：（0.25）100·（-2）200；（2）已知2m =a ，32n =b ，求23m+10n ；（3）已知4a x =，6b x =，求2a b x -。

点评：这里的三道小题，需要学生熟练地逆用上述四个法则。

在试题命制中，经验告诉我们，凡仅仅顺用这些法则就够的题肯定是普遍都会的“送分题”，反之，只要涉及逆用这些法则的题都会成为有一定区分度的“中档题”。

事实上，只要适度的训练，提升逆向思维能力，所谓中档题也是可以转化为送分题的。

（4）注重逆命题教学。

在逆定理教学中，首先让学生明白：不是每个定理都有逆定理的。

最经典的是“对顶角相等”就没有逆定理。

在此基础上，采用“矫枉过正”策略---偏重逆定理的应用。

在定理（包括其他命题）的教学中，可经常设置逆命题类的问题，有助于提升学生逆向思维的意识。

案例4：我们已经学习了三角形中位线定理，如果将定理中的部分条件和结论对调后成为逆命题，是否还成立呢？请分别判断以下两题的结论是否正确，如果正确，证明之；如果不正确，举一个反例说明。

逆命题（1）：如图1，△ABC 中，如果点D 是AB 中点，DE 交AC 于E ，DE ∥BC ，那么点E 是AC 中点，且DE=21BC 。

逆命题（2）：△ABC 中，如果点D 是AB 中点，DE 交AC 于E ，DE=21BC ，那么点E 是AC 中点，且DE ∥BC 。

点评：这是开放题，没有明确结论，需要学生自己判断；这是初中几何核心定理的逆命题；这是类型相同而结论不同的“题组题”，题（1）为真，可以证明，题（2）为假，可以举反例。

同时，举反例训练也是培养逆向思维的重要手段。

2.习题讲评课中的培养方式。

习题讲评，应该给学生展示思维的过程。

在此，重点向学生讲清楚分析与综合的两种思维过程。

所谓综合，是从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，即由因导果，是正向思维；所谓分析，是从“未知”看“须知”，逐步靠近“已知”，即执果索因，是逆向思维。

案例5：如图2，△ABC 中，∠B=2∠A ，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，求证：b 2=a 2+ac 。

点评：已知中只有角的关系，没有任何边的关系，如何由“角”推向“边”？感觉很困难，正向的综合思维路难行。

不妨用逆向的分析思维：要证：b 2=a 2+ac ，只需：b 2=a （a+c ），只需：b ∶a=（a+c ）∶b ， 易知，线段比问题找相似，联想含b 为公共边的“基本图形”（详见系列谈②），故延长CB 至D ，使BD=BA ，连DA ，因此，只需：△ABC ∽△DAC ，因∠C 已是公共角，所以，只需：∠CAB=∠D,贴近已知的“角”了。

由于BD=BA ，故∠DAB=∠D,所以，只需：∠CAB=21∠CBA ，其实，这就是已知条件---思路接通了。

如果不细细展示分析思维，最关键的辅助项的添法学生会觉得莫名其妙。

不过书写建议还是以综合法表达妥当。

对于解题思维中分析与综合的程序，牛顿说得好：“在自然科学里，应该像在数学里一样，在研究困难的事物时，都是应当先用分析的方法，然后才用综合的方法”。

前文指出，仅数学运算就有许多正反两向的互逆运算，现以“通分”为例，请看几道逆向思维训练示例。

案例6：计算：201320121321211⨯++⨯+⨯ 。

点评：)1(1111+⨯=+-n n n n 这个过程是通分，逆过来=+⨯)1(1n n 111+-n n 这过程不妨称之为“裂项”，于是原式=2013201220131120131201213121211=-=-++-+-，这就是“逆通分”的裂项相消法。

类似的例子还有，化简：)23)(36(23346++++（原式=)23)(36()23(3)36(+++++=++231363+）。

案例7：将分数9160,3320,2315,1912,1710,116按从小到大的顺序排列好。

点评：分子的最小公倍数为较小的数60，故本题另辟蹊径“不通分母通分子”，轻松地比出大小。

类似的例子还有，比大小：78-与56-，采用的策略是与“分母有理化”相反的“分子有理化”，78-=781+，56-=561+，两数大小一目了然。

案例8：化简：4214121111x x x x ++++++-。

点评：不用通常的整体通分，而是分三次“逐步通分”简便多了。

类似的例子还有，化简：12212112+-++---x x x x 。

采用的策略则是“分组通分”。

3.复习课中的培养方式。

利用复习课，综合各种知识，介绍采用逆向思维的多种解题方法和策略。

案例9：求证：2是无理数。

点评：采用反证法，证明2不是有理数。

案例10：如图3，已知E 是正方形ABCD 内部一点， ∠ECD =∠EDC =15°， 求证：△ABE 是等边三角形。

点评：采用同一法：如图，在正方形ABCD 内部取一点E ＇，使△ABE ＇是等边三角形，连D E ＇、C E ＇，证点E ＇与点E 重合。

类似例子还有勾股定理逆定理的证明等。

案例11：求使得关于x 的方程ax 2+2(2a-1)x+4a-7=0至少有一个整数解的正整数a 的值。

点评：本题的主元无疑是x ，正向思维则很容易走向求根公式或韦达定理，由于不确定有两个整数解，所以，尽管绞尽脑汁也是徒劳的。

逆向思维，聚焦于所求的是a 值！应用 “不求主元求辅元”的策略：易得a=2)2(72++x x ，由正整数a ≥1得 -3≤x ≤1，依题意取整数x=-3,-1,0,1，所以正整数a=1或5。

案例12：设z y x 、、为互不相等的非零实数，且xz z y y x 111+=+=+， 求证：1222=z y x 。

点评：看到已知条件中等量关系不少，大多数学生从正向思维出发，将连等式列成含三个方程的方程组，认为肯定可以直接求出z y x 、、的值，结果总是以失败告终。

事实上，连等式是一个轮换对称式，只能列成含两个方程的不定方程组，在此，永远无法直接求出z y x 、、的值。

采用华罗庚教授教给青少年学生的一种解题策略：“退，退到不能退为止”。

先退为二元问题：设y x 、为互不相等的非零实数，且xy y x 11+=+，求证：122=y x 。

减元后容易多了：移项，得yx y x 11-=-，去分母，得x y y x xy -=-)(，由y x ≠得1-=xy ，于是122=y x 。

原命题与此结构完全相同，用类似的方法“移项、去分母”就可得证。

培养逆向思维的解题策略还有“直接不行改间接”。

比如适合选择、判断、填空题型的特值排除法、极端值验证法以及割补法、换元法等。

4.综合与实践课中的培养。

逆向思维是反其道而行之的思考方式。

反映了思维过程的间断性、突发性、反联结性, 是摆脱思维定势, 突破旧思想框架, 产生新思想, 发现新问题的重要思维方式。

司马光砸缸---不能“让人离水”就“让水离人”，是典型的逆向思维案例，曹冲称象也有异曲同工之妙。

案例13：第二次世界大战后期，在攻打柏林的战役中，一天晚上，苏军必须向德军发起进攻。

可那天夜里天上偏偏有星星，大部队出击很难做到保持高度隐蔽而不被敌人察觉。

苏军元帅朱可夫思索了许久，猛然想到并做出决定：把全军所有的大型探照灯都集中起来。

在向德军发起进攻的时刻，苏军的140台大探照灯同时射向德军阵地，极强的亮光把隐蔽在防御工事里的德军照得睁不开眼，什么也看不见，只有挨打而无法还击，苏军很快突破了德军的防线获得胜利。