3 1 15 2 得 ＝ 1＋m×15＋ m，解得 3 ＋ m
m＝0(舍 )或 m＝9，
所以 m＝ 9.
(2)假设存在 m ，使得 b1， b4， bt(t∈ N*， t≥5) 成等差数列， 即 2b4＝b1＋bt，则 2 t－ 1 7 1 2× ＝ ＋ ，化简得 t＝7＋ 7＋ m 1 ＋ m 2 t－ 1 ＋ m 36 ， m－ 5 所以当 m－5＝1,2,3,4,6,9,12,18,36 时， 分别存在 t＝43,25,19,16,13,11,10,9,8 适合题意， 即存在这样 m， 且符合题意的 m 共有 9 个．
N *.
2 bn 证明： 是等差数列. an
知识点分类讲解
考点一:等差数列的判断与证明
【例 5】设数列 an 前 n 项和为 S n ，若对于任意的正整数 n ，
n(a1 an ) 都有 Sn ，证明： an 是等差数列. 2
基础训练与知识梳理
【基础 2】在等差数列 an 中， a1 3a8 a15 120 ，则
*
【解答】 (1)因为 Sn＝n2，所以当 n≥2 时，an＝Sn－ Sn－ 1＝ 2 n－ 1. 又当 n＝ 1 时，a1＝ S1＝1，适合上式，所以 an＝2n－ 1(n ∈ N*)， 2n－1 1 3 15 所以 bn＝ ， 则 b1＝ ， b2＝ ， b8＝ ， 2n－1＋m 1＋ m 3＋ m 15＋ m 由 b2 2＝ b1b 8，
暑假作P102例4
设A( x1 , y1 ), B( x 2 , y2 )是函数f ( x ) 且x1 x 2 1. (1)求y1 y2的值 1 2 n ( 2)若Tn f (0) f ( ) f ( ) f ( ), 求Tn； n n n 2 ( 3)在( 2)的条件下 ， 设a n ( n N *), 若不等式a n a n1 a 2 n1 Tn 1 log a (1 2a )对任意的整数 n恒成立， 求实数a的取值范围 . 2 3 2 x 图象上任意两点 , 2 2 2
2014届文科数学一轮复习
第 7 4 课 时
知识点分类讲解
考点一:等差数列的判断与证明
知识点分类讲解
考点一:等差数列的判断与证明
【演练】(2012 江苏 20)数列 {an } ， {bn } 满足，
an + 1 =
an + bn an + bn
2 2
bn ， bn+ 1 = 1 + ,n an
例 2 已知数列 {an}中， a1＝ 1， an＋ an＋1＝ 2n(n∈N*)， bn＝ 3an.
1 n (1) 试证数列 an－ ×2 是等比数列，并求数列 {bn} 3
的通项公式． (2)在数列{bn}中， 是否存在连续三项成等差数列？若 存在，求出所有符合条件的项；若不存在，说明理由．
8 ．已知等差数列 an 前 n 项和为 S n ，若
S6 S7 , S7 S8 , 则： （1）此数列公差 d 0 ；
（2） S 9 一定小于 S 6 ； （3） a7 是各项中最 大的一项； （4）S 7 是 S n 的最大值。上面结 论中正确结论的序号是 。
考点五
等差数列综合题
【基础 1】 已知数列 an ， 那么 “对任意的 n N ， 点 Pn (n, an )

都 在 直 线 y 2 x 1 上 ” 是 “ an 为 等 差 数 列 ” 的 _____ 条件.
【注】1.等差数列的定义: n∈N*，an+1-an=d为常数
2.等差数列的通项公式(首项为a1,公差为d) an=a1+(n-1)d 注：等差数列各项对应的点都在同一条直线上.
－ ＋
3×22n－1＝22n－1≥8，而②式的右端(－1)t－3≤－2，∴②式不成立． 综上所述，不存在满足条件 1＜r＜s＜t 的正整数 r，s，t，使得 b1， br，bs，bt 成等差数列．
基础训练与知识梳理
【】在数列 {an } 中 a1 1 ， an 1 an 2 ，则 an =___.
(3)①证明：要使 b1，br，bs 成等差数列，只需 b1＋bs＝2br，即 3＋ 2s－(－1)s＝2[2r－(－1)r]，即 2s－2r＋1＝(－1)s－2(－1)r－3，①. (ⅰ)若 s＝r＋1，在①式中，左端 2s－2r 1＝0，右端(－1)s－2(－1)r
＋
－3＝(－1)s＋2(－1)s－3＝3(－1)s－3， 要使①式成立， 当且仅当 s 为偶数 时成立．又 s＞r＞1，且 s，r 为正整数，所以，当 s 为不小于 4 的正偶 数，且 s＝r＋1 时，b1，br，bs 成等差数列． (ⅱ)若 s≥r＋2 时， 在①式中， 左端 2s－2r＋1≥2r＋2－2r＋1＝2r＋1， 由(2) 可知，r≥3，∴r＋1≥4，∴2s－2r＋1≥16；右端(－1)s－2(－1)r－3≤0(当 且仅当 s 为偶数、r 为奇数时取“＝”)， ∴当 s≥r＋2 时，b1，br，bs 不成等差数列． 综上所述，存在不小于 4 的正偶数 s，且 s＝r＋1，使得 b1，br，bs 成等差数列．
知识点分在等差数列 an 中， a1 60, a17 12. 求数列 an 前 n 项和为 Tn .

考点三
等差数列前n项和的最值
【 例 4 】 设 等 差 数 列 an 前 n 项 和 为 S n ， 已 知
a3 12, S12 0, S13 0. （1）求公差 d 的取值范围；
3 3 3 a1 a2 an (a1 a2 an )2 , 且an 0
(1)求数列 {an }的通项公式 ； 1 1 ( 2)设数列 { }的前n项和为S n， 不等式S n log a (1 a ) an an 2 3 对任意的正整数 n恒成立， 求实数a的取值范围 。
(3)①试证在数列 {bn}中，一定存在满足条件 1＜ r＜s 的正整数 r，s，使得 b1，br，bs 成等差数列；并求出正整 数 r，s 之间的关系． ②在数列{bn}中，是否存在满足条件 1＜r＜s＜t 的正 整数 r， s，t，使得 b1，br，bs，bt 成等差数列？若存在， 确定正整数 r，s，t 之间的关系；若不存在，说明理由．
(2)通项公式法：求使an≥0(或an≤0)成立的最大n
值即可得Sn的最大(或最小)值；
等差数列前n项和的最值
(3) 不 等 式 法 ： 借 助 Sn 最 大 时 ， 有
Sn≥Sn－1， 解此不等组确定 n 的范围，进 Sn≥Sn＋1，
而确定 n 的值和对应 Sn 的值(即 Sn 的最值)．
例 5 设数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2， an * 数列{bn}满足 bn＝ (m∈N )． an ＋ m (1)若 b1，b2，b8 成等比数列，试求 m 的值； (2)是否存在 m，使得数列{bn}中存 在某项 bt 满足 b1，b4，bt(t∈N ，t≥5) 成等差数列？若存在，请指出符合题意 的 m 的个数；若不存在，请说明理由．
暑假作P108例2（变式）
已知数列{an}满足an+1+an=4n-3（n∈N*）． （1）若数列{an}是等差数列，求a1的值； （2）当a1=2求数列{an}的通项公式 （3）当a1=2时，求数列{an}的前n项和Sn．
暑假作P108例2
已知数列 {an }满足对于任意 n N *， 都有
例4 (解题示范) 在等差数列{an}中， (1)若a1>0，d= 5 前n项和为Sn，且S10＝S15， 3 求当n取何值时，Sn最大，并求出它的最大值； (2)若a1＜0，S9＝S12，则该数列前多少项的和最 小?
4． 等差数列 an 中 a8 0, a9 0 ， 且 a9 a8 ，S n 是数列 an 前 n 项和， 则使 Sn 0 的 n 的最小 值是 。
1.已知两个等差数列 an 和 bn 的前 n 项和分别是 S n , Tn ， 已 知 是
Sn 7n 45 Tn n3
an ，则使得 b 为整数的正整数 n
n 的个数
。
2.等差数列{an}的前 12 和为 354，前 12 项中奇数项和偶数项 和之比为 27:32，公差 d=______.
（2）指出 S1 , S2 , , S12 中哪一个值最大，并说明理由。
【变式 2 】等差数列 {an } 的公差 d 0 ，且 a1 a11 ，则数列
2 2
{an } 前 n 项和 S n 取最大值时 n
课堂互动讲练
考点三 等差数列前n项和的最值 求等差数列前n项和Sn的最值问题，主要有以 下方法： (1)二次函数法：将Sn看作关于n的二次函数， 运用配方法，借助函数的单调性及数形结合，使问 题得解；
3 等差数列{an}共 2n+1 项，其中奇数项之和为 132，偶数项之 和为 120，则 n=_____，an+1=_____.
考点五
等差数列综合题
等差数列 {an }中，S
10
100，S
100
10， 求S110
课本挖掘提升
苏教版必修 5P44 第 11 题 在 等 差 数 列 中 ， Sm ＝ a ， Sn － Sn － m ＝ b(n>m)，求 Sn.
【演练】设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ，已知
a1 1, a 2 6, a3 11 ，且 (5n 8) Sn1 (5n 2) Sn 20n 8, n 1, 2,3,
证明：数列 {an } 为等差数列.
知识点分类讲解
考点一:等差数列的判断与证明
②假设存在满足条件 1＜r＜s＜t 的正整数 r，s，t，使得 b1，br，bs， bt 成等差数列． 首先找到成等差数列的 3 项：由第(3)小题第①问，可知，b1，b2n－1， b2n(n∈N*， 且 n≥2)成等差数列， 其公差 d＝b2n－b2n－1＝[22n－(－1)2n]－[22n