章末检测
一、填空题
1.f (x )=2x +13x -1
的定义域为________. 2.y =2x 2+1的值域为________.
3.已知函数f (x )=ax 2+(a 3-a )x +1在(-∞,-1]上递增,则a 的取值范围是________.
4.设f (x )=⎩
⎨⎧
x +3 (x >10)f (f (x +5)) (x ≤10),则f (5)的值是______. 5.已知函数y =f (x )是R 上的增函数,且f (m +3)≤f (5),则实数m 的取值范围是________.
6.函数f (x )=-x 2+2x +3在区间[-2,3]上的最大值与最小值的和为________. 7.若函数f (x )=x 2+(a +1)x +a x
为奇函数,则实数a =________. 8.若函数f (x )=x 2-mx +m +2是偶函数,则m =______.
9.函数f (x )=x 2+2x -3,x ∈[0,2],那么函数f (x )的值域为________.
10.用min{a ,b }表示a ,b 两数中的最小值,若函数f (x )=min{|x |,|x +t |}的图象关于直线
x =-12
对称,则t 的值为________. 11.已知函数f (x )=⎩
⎨⎧ x +2, x <1,x 2+ax , x ≥1,当f [f (0)]=4a ,则实数a 的值为________. 12.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x >0时,f (x )=x 2+3,则f (-2)的值为________.
13.函数f (x )=4x 2-mx +5在区间[-2,+∞)上是增函数,则f (1)的取值范围是________.
14.若函数y =ax 与y =-b x
在(0,+∞)上都是减函数,则y =ax 2+bx 在(0,+∞)上是________函数(填“增”或“减”).
二、解答题 15.已知函数f (x )=ax +b x +c (a ,b ,c 是常数)是奇函数且1满足f (1)=52,f (2)=174
,求f (x )的解析式.
16.已知函数f (x )=x +4x
,x ∈(0,+∞). (1)求证:f (x )在(0,2)上是减函数,在(2,+∞)上是增函数;
(2)求f (x )在(0,+∞)上的最小值和值域.
17.函数f (x )是R 上的偶函数,且当x >0时,函数的解析式为f (x )=2x
-1. (1)用定义证明f (x )在(0,+∞)上是减函数;
(2)求当x <0时,函数的解析式.
18.已知f (x )=ax 3+bx -3,a 、b ∈R ,若f (3)=5,求f (-3).
19.已知函数f (x )=|x +2|+x -3.
(1)用分段函数的形式表示f (x );
(2)画出y =f (x )的图象,并写出函数的单调区间、值域.
20.已知函数f (x )对一切实数x ,y ∈R 都有f (x +y )=f (x )+f (y ),且当x >0时,f (x )<0,又
f (3)=-2.
(1)试判定该函数的奇偶性;
(2)试判断该函数在R 上的单调性;
(3)求f (x )在[-12,12]上的最大值和最小值.
答案
1.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x >13或x <13
2.[1,+∞)
3.[-3,0)
4.24
5.m ≤2
6.-1
7.-1
8.0
9.[-3,5]
10.1
11.2
12.-7
13.[25,+∞)
14.减
15.解 ∵f (x )=-f (-x ),
∴ax +b x +c =-⎝ ⎛⎭⎪⎫
-ax -b x +c ,
∴2c =0即c =0.
∵f (1)=52,f (2)=174,
∴a +b =52,2a +b 2=174,解得⎩⎨⎧ a =2b =12
,
∴f (x )=2x +12x . 16.(1)证明 任取x 1,x 2∈(0,2)且x 1<x 2,
则f (x 2)-f (x 1)=(x 2-x 1)+4(x 1-x 2)x 1x 2
=(x 2-x 1)(x 1x 2-4)x 1x 2
. ∵0<x 1<x 2<2,
∴x 2-x 1>0,x 1x 2-4<0,
∴f (x 2)-f (x 1)<0,
即f (x 2)<f (x 1),
∴f (x )在(0,2)上是减函数,
同理f (x )在(2,+∞)上是增函数.
(2)解 f (x )在(0,+∞)上的最小值为f (x )min =f (2)=4,
且f (x )在(0,+∞)上无最大值,
∴f (x )在(0,+∞)上的值域为[4,+∞).
17.(1)证明 设0<x 1<x 2,则
f (x 1)-f (x 2)=(2x 1-1)-(2
x 2
-1) =2(x 2-x 1)x 1x 2,
∵0<x 1<x 2,∴x 1x 2>0,x 2-x 1>0,
∴f (x 1)-f (x 2)>0,
即f (x 1)>f (x 2),
∴f (x )在(0,+∞)上是减函数.
(2)解 设x <0,则-x >0,
∴f (-x )=-2x
-1, 又f (x )为偶函数,
∴f (-x )=f (x )=-2x
-1, 即f (x )=-2x
-1(x <0). 18.解 f (x )=ax 3+bx -3的定义域为R .
令g (x )=f (x )+3=ax 3+bx 的定义域为R .
g (-x )=f (-x )+3
=a (-x )3+b (-x )=-(ax 3+bx )
=-g (x ),
∴g (x )为R 上的奇函数,
∴g (-3)=-g (3)=-[f (3)+3]=-8.
19.解 (1)当x +2<0即x <-2时,f (x )=-(x +2)+x -3=-5,
当x +2≥0即x ≥-2时,f (x )=x +2+x -3=2x -1,
∴f (x )=⎩⎨⎧
-5, x <-22x -1, x ≥-2
. (2)y =f (x )的图象如图
由图象知y =f (x )的单调增区间为[-2,+∞),值域为[-5,+∞).
20.解 (1)令x =y =0,得f (0+0)=f (0)=f (0)+f (0)
=2f (0),∴f (0)=0.
令y =-x ,
得f (0)=f (x )+f (-x )=0,
∴f (-x )=-f (x ),
∴f (x )为奇函数.
(2)任取x 1<x 2,则x 2-x 1>0,
∴f (x 2-x 1)<0,
∴f (x 2)-f (x 1)=f (x 2)+f (-x 1)
=f (x 2-x 1)<0,
即f(x2)<f(x1)
∴f(x)在R上是减函数.
(3)∵f(x)在[-12,12]上是减函数,
∴f(12)最小,f(-12)最大.
又f(12)=f(6+6)=f(6)+f(6)
=2f(6)
=2[f(3)+f(3)]=4f(3)=-8,
∴f(-12)=-f(12)=8.
∴f(x)在[-12,12]上的最大值是8,最小值是-8.。