勾股定理法
二、 球与锥体的外接、内切问题
4、 球与其他三棱锥的外接问题（构造法）
以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体 的途径与方法． 途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、
四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别 可构造正方体． 途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、 相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体 和正方体． 途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥 补成长方体或正方体． 途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥 补成长方体或正方体．
知识梳理 球与多面体的外接、内切问题
规则的柱体（如正方体、长方体、正棱柱等）和 规则的锥体（如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥 等）才能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种 形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱或通过球的 半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体 积或者表面积等相关问题。
球与多面体的外接、内切问题
等体积法 (2)设内切球的球心为O'，半径为 r，则 P VP- ABC = VO'-ABC + VO'- ABP + VO'-ACP + VO'-BCP
O' A
1
3 2
2
6 1
34
C
S表
3
1 2
2
6
3 3 2 4
2
6 9
26
3
B
二、 球与锥体的外接、内切问题
1、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上， 但不重合.
1. 直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形 外心的连线的中点．
2. 正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的 连线的中点．
3. 解决此类问题首先是确定球心位置， 其次构造直角三角形进行求解.
巩固练习
1. 已知直三棱柱 ABC－A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上， 若 AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球 O 的半径为( )
4
1 3
r
S
R r 4r R 3r
等 体
又R r 6 a 3
积 法
R 6 a, r 6 a
4
12
二、 球与锥体的外接、内切问题
例. 求棱长为 a 的正四面体 D – ABCO
O
D
C
求正四面体外接球的半径
D C
求正方体外接球的半径
二、 球与锥体的外接、内切问题
1. 球与正方体的外接、内切问题 （1） 正方体的外接球
D C
A
对角面 A
C
O B a a
•O
D1
C1
A1
C1
A1
B1
3
R a
2
一、 球与柱体的外接、内切问题 1. 球与正方体的外接、内切问题
（2） 正方体的内切球
球的半径 r 和正方体 的棱长 a 有什么关系？
一、 球与柱体的外接、内切问题
1. 球与正方体的外接、内切问题
球与多面体的外接、内切问题
下面结合近几年高考题对球与几何体的切接 问题作深入的探究, 以便更好地把握高考命题的趋 势和高考的命题思路, 力争在这部分内容不失分. 从近几年全国高考命题来看,
考点要求: 1.掌握利用构造正方体或长方体的方法求几何体的
外接球表面积和体积. 2.掌握利用球定义和性质确定几何体外接球的球心
一、 球与柱体的外接、内切问题
1、正方体的外接球、内切球： (1) 外接球：
球心是正方体中心；半径
R＝
3 2a
(a 为正方体的棱长)；
(2) 内切球：
球心是正方体中心；半径 r＝2a (a 为正方体的棱长)；
2、长方体的外接球：
① 球心：体对角线的交点；
a2＋b2＋c2
② 半径：r＝
2
(a，b，c 为长方体的长、宽、高)．
C 若 AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球 O 的半径为( )
3 17 A. 2
B．2 10
13 C. 2
D．3 10
【解析】 如图，由球心作平面 ABC 的垂线， 则垂足为 BC 的中点 M. 又 AM＝12BC＝52，OM＝12AA1＝6， 所以球 O 的半径
R＝OA＝ （52）2＋62＝123
2、求外接球的半径通常构造直角三角形利用 勾股定理进行求解
3、体积分割等体积法是求内切球半径的通用做法.
二、 球与锥体的外接、内切问题
A
二、 球与锥体的外接、内切问题 2、 球与正四面体的外接、内切问题
正四面体作为一个规则的几何体, 它既 存在外接球, 也存在内切球, 并且两心合一, 利用这点可顺利解决球的半径与正四面体 的棱长的关系.
2. 若一个正方体的体积是 8，则这个正方体的
内切球的表面积是( C )
A．8π
B．6π
C．4π
D．π
解析 设正方体的棱长为 a ，则 a3＝8. 所以 a=2， 因此内切球直径为 2 ， ∴内切球的半径 r=1， ∴S表＝4πr2＝4π.
巩固练习
3. 长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，若这个长方体
巩固练习
2. (2017·长春模拟)已知三棱柱 ABC－A1B1C1 的底面是边长为 6 的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的表面积
为 12π，则该三棱柱的体积为__3____3__．
【解析】 设球半径为 R，上，下底面中心设为 M，N， 由题意，外接球心为 MN 的中心，设为 O， 则 OA＝R，由 4πR2＝12π，得 R＝OA＝ 3， 又易得 AM＝ 2，由勾股定理可知，OM＝1， 所以 MN＝2，即棱柱的高 h＝2， 所以该三棱柱的体积为 43×( 6)2×2＝3 3
R＝ 46，∴V 球＝43πR3＝43π( 46)3＝ 86π.
1 a2
2. 若正四面体的棱长为 a，则其内切球的表面积为___6_____．
r 6a 12
S球 =4 r 2
1 a2
6
巩固练习
C
二、 球与锥体的外接、内切问题
2、 球与正四面体的外接、内切问题
正四面体的外接球与内切球：
(a、h 分别为正四面体的棱长和高)
3 17 A. 2
B．2 10
13 C. 2
D．3 10
2. (2017·长春模拟)已知三棱柱 ABC－A1B1C1 的底面是边长为 6 的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的表面积 为 12π，则该三棱柱的体积为________．
巩固练习
1. 已知直三棱柱 ABC－A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上，
一、 球与柱体的外接、内切问题
★状元笔记 柱体的外接球问题，其解题关键在于确定球心在 多面体中的位置，找到球的半径或直径与多面体相关 元素之间的关系，结合原有多面体的特性求出球的半径， 然后再利用球的表面积和体积公式进行正确计算． 常见的方法是将多面体还原到正方体和长方体中再去求解．
知识梳理 球与多面体的外接、内切问题
C 的顶点都在同一球面上，则这个球的表面积为( )
A.27π
B．56π C．14π D．64π
一、 球与柱体的外接、内切问题
1、正方体的外接球、内切球：
(1) 外接球：
球心是正方体中心；半径
R＝
3 2a
(a 为正方体的棱长)；
(2) 内切球：
球心是正方体中心；半径 r＝2a (a 为正方体的棱长)；
O
二、 球与锥体的外接、内切问题 1、 球与正三棱锥的外接、内切问题
例、正三棱锥的高为 1，底面边长为 ， 求此棱锥的外接球和内切球的表面积。 (1)设外接球的球心为O，则 勾股定理法
O 构造直角三角形利用勾股定理进行求解
二、 球与锥体的外接、内切问题
例、正三棱锥的高为 1，底面边长为 ， 求此棱锥的外接球和内切球的表面积。
2、长方体的外接球：
① 球心：体对角线的交点；
a2＋b2＋c2
② 半径：r＝
2
(a，b，c 为长方体的长、宽、高)．
一、 球与柱体的外接、内切问题
3、 球与直三棱柱的外接、内切问题
下面以正三棱柱为例,介绍本类题目的解法 勾股定理法
一、 球与柱体的外接、内切问题 3、 球与直三棱柱的外接、内切问题
注意：正多面体的内切球和外接球的球心重合.
二、 球与锥体的外接、内切问题 2、 球与正四面体的外接、内切问题
.
Rr 6 a 3
二、 球与锥体的外接、内切问题
2、 球与正四面体的外接、内切问题
设正四面体的的一个面的面积为 S，依题意得
VS ABC
1 S(R 3
r)
又
VS ABC
4VO ABC
位置及半径.
知识梳理 外接球、内切球的定义
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个多面体的外接球.
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个多面体的内切球.
注意： 外接球球心到多面体各顶点的距离均相等; 内切球球心到多面体各面的距离均相等.
D
C
（2） 正方体的内切球
A
B
中截面
O
ra 2
D1
C1
A1
B1
一、 球与柱体的外接、内切问题 2、 球与长方体的外接问题
一、 球与柱体的外接、内切问题
2、长方体的外接球 R a2 b2 c2
2
对角面
2R a2 b2 c2
a2 b2
设长方体的长、宽、高分别为a、b、c 则长方体外接球的直径等于长方体体对角线
B．56π C．14π D．64π