正四棱锥 S—ABCD 的底面边长和各侧棱 长都为 2，点 S、A、B、C、D 都在同一 ， 、 、 、 、 个球面上，则该球的体积为________． 个球面上，则该球的体积为 ．
例3 求棱长为 a 的正四面体 P – ABC 的外接球的表面积
作截面α 解法1： 解法 ： 过侧棱 PA 和球心 O 作截面α 则α截球得大圆，截正四面体得△PAD，如图所示, 截球得大圆，截正四面体得△PAD，如图所示, 连 AO 延长交 PD 于 G
1
O B O1 C
O1 是正△BCD的中心，且AE 为斜高 是正△ 的中心， 的中心
F D E
， 作 OF ⊥ AE 于 F 设内切球半径为 r，则 OA = 1 －r ∵ Rt △ AFO ∽ Rt △ AO1E
例2、正三棱锥的高为 1，底面边长为 2 6。求棱锥的 、 ， 全面积和它的内切球的表面积。 全面积和它的内切球的表面积。 ， 解法2： 设球的半径为 r，则 VA- BCD = 解法 ： A VO-ABC + VO- ABD + VO-ACD + VO-BCD
2 1 3 VA−BCD = ⋅ ⋅ 2 6 ⋅1 = 2 3 3 4 1 D = ⋅ r ⋅ S全 = 3 2 + 2 3 ⋅ r 3
O
•
( ) (
B C
∴r = 6 − 2 S球 = 8 5 − 2
(
)
6π
)
1 ⋅ S全 ⋅ r内切球 注意： 割补法， 注意：①割补法，② V 多面体 = 3
练习
1、半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的 、半球内有一个内接正方体， 底面圆内， 底面圆内，若正方体的边长为 6 ，求半球的表面积和体 积。
P
•O
A O1
G D
2、求棱长为 a 的正四面体 、 P – ABC 的外接球的表面积。 的外接球的表面积。
第二题截图Eຫໍສະໝຸດ 3. A1. C2. C
沿对角面截得： 沿对角面截得：
A
C
O
A1
C1
例2、正三棱锥的高为 1，底面边长为 、 ， 全面积和它的内切球的表面积。 全面积和它的内切球的表面积。
A
。求棱锥的
解法1： 过侧棱AB与球心 作截面( 与球心O作截面 解法 ： 过侧棱 与球心 作截面 如图 ) 在正三棱锥中， 是正△ 的高， 在正三棱锥中，BE 是正△BCD的高， 的高
⇒
设为1 设为1
A1
球的外切正方体的棱长等于球直径。 球的外切正方体的棱长等于球直径。 B1
S甲 = 4π R 2 =π 1
D A B
C
球内切于正方体的棱
中截面
⇒
O D1 C1
.
S乙 = 4π R =2π
2 2
A1
B1 正方形的对角线等于球的直径。 正方形的对角线等于球的直径。
球外接于正方体
D A O D1 A1 B1 B
C 对角面
A
C
⇒
设为1 设为1 C1
A1
2R = 3
O
C1
2
球的内接正方体的对角线等于球直径。 球的内接正方体的对角线等于球直径。
S丙 = 4π R =3π
2 3
练习： 练习：
1、三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直， 三棱锥P ABC中 PA，PB，PC两两垂直， 两两垂直 PA=1， PA=1， P B = P C = 2 ，已知空间中有一 个点到这四个点距离相等，求这个距离； 个点到这四个点距离相等，求这个距离；
A B O D
求正方体外接球的半径
球的内切、外接问题
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等， 、内切球球心到多面体各面的距离均相等， 外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。 外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。 、正多面体的内切球和外接球的球心重合。 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不 重合。 、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上， 重合。 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。 、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。 5、体积分割是求内切球半径的通用做法。 、体积分割是求内切球半径的通用做法。
6 a 3
P
3 a 2
则 OG ⊥ PD，且 OO1 = OG ， ∵ Rt △ PGO ∽ Rt △ PO1D
•O
A O1 E
G
D
3 a 6
6 a− R R 6 3 ∴ = ∴R = a 3 3 4 a a 2 6
3 2 S表 = πa 2
解法2： 解法 ：
A B O D C C 求正多面体外接球的半径
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 定义 ：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 各面都与一个球的球面相切 则称这个多面体是这个球的外切多面体 外切多面体， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 多面体的内切球 这个球是这个多面体的内切球 。
甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱， 例1 甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱， 丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为( ) 丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为 A. 1:2:3 B. 1: 2: 3 C. 1: 3 4: 3 9 D. 1: 8: 27 D C A B 中截面 O D1 C1
球与多面体的内切、 球与多面体的内切、外接
球的半径r和正方体 球的半径 和正方体 的棱长a有什么关系 有什么关系？ 的棱长 有什么关系？ r
.
a
一、 球体的体积与表面积
4 3 ① V = πR 球 3
二、球与多面体的接、切 球与多面体的接、
②
S球面 = 4π R
2
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 定义 ：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 各顶点都在一个球的球面上 则称这个多面体是这个球的内接多面体 内接多面体， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个 多面体的外接球 。 多面体的外接球