S
A.
B.
C.1 D.
答案：D.
O
，即
.
C
A
M
B
7
若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则共斜边的中点就是 其外接球的球心。
例 9、已知三棱锥的四个顶点都在球 的球面上，
且
，，
解：
且
，
，
因为
所以知
所以
所以可得图形为：
，
，
,
,求球 的体积。
P
在
中斜边为 在
中斜边为
B
取斜边的中点 ， 在
中
在
中
所以在几何体中
②出现正四面体外接球时利用构造法(补形法)，联 系正方体。
例 2.（全国卷）一个四面体的所有棱长2 都为 ，
四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A.3
D.
4B.
3 C3. 6
2 破译规律-特别提 醒
3 球与正四面体内切接 问题
【例3】求棱长为a的正四面体内切球
的体积．
3 球与正四面体内切接 问题
则这个球的表面积是（ ）
A．16π
B．20π
C．24π
D．32π
4 举一反三-突破提
2.正六棱柱的底面边长为 4,高为 6升,则它的外接球的表面积为
A. 20 B. 25 C. 100 D. 200
4 举一反三-突破提
已知正三棱锥 P-ABC 的主视图升和俯视图如图所 示,
则此三棱锥的外接球的表面积为 ( )
，即 为该四面体的外接球的球心
A
O
C
所以该外接球的体积为
03
破译规律-特别提
醒
2 例题剖析-针对讲 解
04
举一反三-突破提
升
4 举一反三-突破提 升 1、（2015 海淀二模）已知斜三棱柱的三 视图如图所示，该斜三棱柱的体积为 ______.
4 举一反三-突破提 升
2、（2015 郑州三模） 正三角形ABC的2 边3 长
C 注意：①割补法，②
VV多 多面面体
体 13
1
S全
3
S r内切全球
r内
切球
变式训练：一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如 图所示，则截面的可能图形是（ ）
①
②
③
④
• A ．①② Ｂ．②④ Ｃ．①②③ Ｄ．②③④
D A
D1 A1
C
B O
C1 B1
球的内接正方体的对角线等于球直径。
变式训练：已知正四面体内接于一个球，某人画出四 个过球心的平面截球与正四面体所得的图形如下，
为 ，将它沿高AD翻折，使点B 与3 点C间的
距离为 ，此时四面体ABCD的BD 外DC接 球3 的体
积为 。
Q BC 3
ABC 等边三角
BE
1 2
•
形
sin
3 60o
1
AD
3 2
,
BE
1 2
•
sin
3 60o
OB OE2 BE2 9 1 13 42
V 4 R2 13 13
3
6
4 举一反三-突破提 升
3
3
4 举一反三-突破提 升
• .四棱锥P—ABCD，底面ABCD是边长为6的 正方形，且PA = PB = PC = PD，若一个半
径为1的球与此四棱锥的各个面相切，则此 四棱锥的体积为（ ）
• A．15 B．24 C．27 D．30
4 举一反三-突破提 升
1、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，体积为 16，
D． 5 3 3
已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， ABC 是边长为1的正三角形， SC 为球 O 的直径， 且 SC 2 ，则此棱锥的体积为 （ ）
（A） 2 （B） 3
6
6
（C） 2 （D） 2
3
2
(2013·石家庄质检)已知正三棱柱内接于一个半径为 2 的球， 则正三棱柱的侧面积取得最大值时，其底面边长为( )
的动点，当弦 MN 的长度最大时， PM • PN 的取值范围是
．
5 正棱锥的外接球的球心是在其 高上
例 5 在三棱锥 P－ABC 中，PA＝PB=PC= ,侧棱 PA 与底面 ABC 所成的角为 60°，则该三棱锥外接球的体积为（ ）
A．
B.
C. 4
D.
5 正棱锥的外接球的球心是在其 高上
例 6.一个正四棱锥的底面边长为 2，侧棱长为 ，五个顶点都在同一个球面上，
表·r=(3 2+2 3)r.
4 举一反三-突破提 升
-32-
又
VP-ABC=13
×
1 2
×
3×(2
2
6)2×1=2
3,∴(3
2+2
3)r=2
3,
得 r= 2 3 = 2 3(3 2-2 3)
3 2+2 3 18-12
= 6-2. ∴S 内切球=4π( 6-2)2=(40-16 6)π.
V 内切球=4π( 6-2)3=8(9 6-22)π.
3 正四面体内切、外接结 论 球内接长方体的对角线是球的直径
。正四面体（棱长为a）的外接球半径R
与内切球半径r之比为R：R r＝6 a3：1.外接
球半径：
4
r 6a
内切球半径1：2
结出论，：内正切四 球面 和r体 外 14与 接h 球球的的接两切个问球题心，是可重通合过 的线 ，面 为关 正系 四R 证 面 3r 体高2、的正四多等面分体点的，内即切定球有和内外切接球球的的半球径心重合(为。正四 面体3、的正高棱)，锥且的外内接切球球的和半外径接球．球心都在高线上，
则此球的表面积为 9 .
P
设外接球半径为 R，在△OO1A 中有
D
解得 . ∴ .
O1
O C
A B
6测棱相等的锥体顶点的投影在底面外接圆 心
例 7、.若三棱锥 S-ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，AB=2，
SA=SB=SC=2，则该三棱锥的外接球的球心到平面 ABC 的距离为（ ）
3.(2015 南昌二模）某几何体的三视图如图， 该几何体的顶点都在球O 的球面上，球CO的表
面A.积2是 B.4（ C.8） D.16
4 举一反三-突破提 升
4.（2015 石家庄一模）三棱锥P-ABC的三条侧棱
PA,PB,PC两两A互BC相垂直,Q为底面
内一点，若Q
到三个侧面的距离分别为3,4,5,则过点P和Q的所有球中
∴S 表=S 侧+S 底=9
2+1×
2
3×(2
2
6)2=9
2+6
3.
考点一 考点二 考点三
4 举一反三-突破提 升
-31-
(2)设正三棱锥 P-ABC 的内切球球心为 O,连接 OP,OA,OB,OC,而 O 点
到三棱锥的四个面的距离都为球的半径
r.∴VP-ABC=VO-PAB+VO-PBC+VO-PAC+VO-ABC=13S 侧·r+13S△ABC·r=13S
，表面积最小的球的表面积为
Q3,4,5, P0,0,0
2R PQ 32 42 52 5 2
R 5 2 , S 4 R2 50
2
4 举一反三-突破提
考点三 组合体的表面积与体积升
-29-
【例 3】 正三棱锥(正三棱锥是底面为等边三角形,三个侧面为全等的等腰
三角形的三棱锥)的高为 1,底面边长为 2 6,内有一个球与它的四个面都相
则（ ）D
①
②
③
④
• A．以下四个图形都是正确的 的
• C．只有④是正确的 确的
B．只有②④是正确 D．只有①②是正
解法2：
A B
O
D C 求正多面体外接球的半径
A B
O D
C
求正方体外接球的半径
4 直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点。
例 4、（2014）已知三棱柱 若该棱柱的体积为
则称这个多面体是这个球的外切多面体，
这个球是多这面个体的内切球
。
1
剖析定 义
一、由球心的定义确定球心
在空间，如果一个定点与一个简单 多面体的所有顶点的距离都相等，那么 这个定点就是该简单多面体的外接球球 心。
1 一、定义法 针对 讲解
D
AO
C
图4 B
2
求正方体、长方体的外接球的 有关问题
2 求正方体、长方体的外接球的有 关问题
B、体积为 3
D、外接球的表面积为 16 3
1 1 正视图
3 1 侧视图
俯视图
点 A、B、C、D 均在同一球面上，其中 是正三角形， AD 平面 ABC,AD=2AB=6,则该球的体积为 （ ）
(A)
(B)
(C)
(D)
平面四边形 ABCD中， AB ADCD1， BD 2, BD CD ，
27
2
C． 6 8
D． 6 24
4 举一反三-突破提 升
已知三棱锥 S—ABC 的三条侧棱两两垂直， 且 SA=2，SB=SC=4，则该三棱锥的外接球的半径为( )
A．36
B．6
C．3
D．9
一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形， 则这个几何体的 （ ）
A、外接球的半径为 3 3
C、表面积为 6 3 1
A. 6 B. 2
C. 3
D．2
一个底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱内．接．于．
半径为 3 的球，则该棱柱体积的最大值为（ ）