OhSo basically we are yeah? Who tells done! the method you that I can’t believe it’s so simple! is convergent? What’s the problem?
Company Logo

Company Logo
3. 实根的对分法
When to stop?
a x1 x* x2 b
x k 1 x k ε1
或
f ( x ) ε2
不能保证 x 的精 度
2
x* x

Company Logo
3. 实根的对分法

Company Logo
1. 化工实际问题的提出
通常，非线性方程的根不止一个，而任何一种方法只能 算出一个根。因此，在求解非线性方程时，要给定初始 值或求解范围。而对于具体的化工问题，初值和求解范 围常常可根据具体的化工知识来决定。常见的雷诺数和 摩擦系数关系方程在雷诺数低于4000时有以下关系式：
1 x
0 .5
,
2εi di
0 .1 , R e 5 0 0 0 , x
0
0 , 0 .5
则利用松弛迭代公式可得：
x
(k 1)
0 .5 x
(k )
0 .5 1 .7 4 2 lg
1 8 .7 k 0 .1 x , k 1, 2 , 5000

Company Logo
2. 数值法求根
首选要给出一个初始猜测解，然后通过各种迭代格式 使其逐次逼近准确解。 初值好坏对迭代收敛性有很大影响，因此初值的选取 很重要。 对于有专业背景的问题，初值可以按条件选择，对于 没有经验的问题，可以用图解法和计算机试算搜索法 初估近似解。
L | x k x k 1 | ...... L | x 1 x 0 |
| x1 x0 | ?
可用 | x k 1 x k | 来 控制收敛精度
k

L 越 小 收敛越快
Company Logo
对分法举例
例：求 x 点后2位。
3
x1 0
在[1.0, 1.5]内的一实根，精确到小数
k
ak
bk 1.5 1.375
xk 1.25 1.375 1.3125 1.3438 1.3281 1.3203 1.3242
f(xk)符号 − + − + + − −
Company Logo
1
0 .5
2 i 1 8 .7 1 .7 4 2 lg 0 .5 R e di
(1)

Company Logo
1. 化工实际问题的提出
这是一个典型的非线性方程。我们在管路设计中经常碰 到。当我们已知雷诺数Re，如何根据公式 (1) 求出摩擦 系数 λ，这是我们在管路设计中必须首先解决的问题。 对于方程 (1) 而言，无法用解析的方法求出摩擦系数， 只能用数值求解的方法。如用在下面即将介绍的松弛迭 代法，假设：
( I ) 当 x[a, b] 时， g(x)[a, b]；
( II ) 0 L < 1 使得 | g’(x) | L < 1 对 x[a, b] 成立。
则任取 x0[a, b]，由 xk+1 = g(xk) 得到的序列 x 收敛 于g(x) 在[a, b]上的唯一不动点。并且有误差估计式：
1 1 L
k
| x k 1 x k | ?
| x k 1 x k | | x * x k | | x * x k 1 | | x * x k | L | x * x k |
⑤
| x * xk |
| x k 1
L
1 L x k | | g ( x k ) g ( x k 1 ) | | g ( ξ k )( x k x k 1 ) |
经11次迭代可得摩擦系数为0.07593。
Company Logo
1. 化工实际问题的提出
饱和蒸气压是我们经常要用到的数据，虽然我们可以通过实验测量来 获取饱和蒸气压的数据，但我们通常利用前人已经测量得到的数据或 回归的公式来获取，这可以减轻我们大量的基础实验工作。公式 (2) 是一种常用的饱和蒸气压计算公式：
化工计算：一元非线性方程求解
1. 化工实际问题的提出 2. 数值法求根 3. 实根的对分法 4. 直接迭代法 5. 松弛迭代法 6. 韦格斯坦法 7. 牛顿迭代法

Company Logo
1. 化工实际问题的提出
求解非线性方程是化工设计及模拟计算中必须解决的一个问题。 与线性方程相比，非线性方程问题无论是从理论上还是从计算 公式上，都要比线性方程复杂的多。对于一般的非线性 f(x)=0 ， 计算方程的根既无一定章程可循也无直接方法可言。 例如：求解高次方程组7x6-x3+x-1.5=0的根； 求解含有指数和正弦函数的超越方程ex-sin(x)=0的零点。 解非线性方程或非线性方程组也是计算方法中的一个主题。一 般地，我们用符号f(x)来表示方程左端的函数，方程的一般形 式表示为f(x)=0，方程的解称为方程的根或函数的零点。 对于高次代数方程，当次数>4时，则没有通解公式可用，对于 超越方程既不知有几个根，也没有同样的求解方式。实际上， 对于n≥3代数方程以及超越方程都采用数值方法求近似根。
误差 分析： 第1步产生的
x1 ab 2
§2 Bisection Method
有误差
|x 1 x*|
ba 2 ba
2
k
第 k 步产生的 xk 有误差
|x k x*|
对于给定的精度 ,可估计二分法所需的步数 k ： ln b a b a ①简单; ② 对f (x) 要求不高(只要连续即可) . ①无法求复根及偶重根 ② 收敛慢
~ ~ ~ ~ x* x g ( x *) g ( x ) g ( ξ ) ( x * x ), 在 x * 和 x 之间 ~ ~ ( x* x )( 1 g ( ξ )) 0 而 | g ( ξ ) | 1 x * x

③ 当k 时， xk 收敛到 x* ？

Company Logo
逐步扫描法求根的初始近似值
用数值法求方程的根可分为两步，首先要找出根的某个近 似值，又称为“初始值”，然后再采用特定算法将初始值 逐步接近真实值，直到获得满足要求的结果。 逐步扫描法
y
y
y = f (x )
y = f (x )
x3=(x0+x2)/2 x0 x3 x2 x2= (x0+x1)/2
Company Logo
x1
3. 实根的对分法 求 f (x) = 0 的根
原理：若 f C[a, b]，且 f (a) · (b) < 0， f 则 f 在 (a, b) 上必有一根。
k
证明：① g(x) 在[a, b]上存在不动点？
令
f ( x) g( x) x
a g( x) b
f (a ) g (a ) a 0 ,
f (x)
f (b ) g (b ) b 0
有根

~ ~ x g ( x )，则
② 不动点唯一？
反证：若不然，设还有
| x * x k | | g ( x *) g ( x k 1 ) | | g ( ξ k 1 ) | | x * x k 1 |
L | x * x k 1 | ...... L | x * x 0 | 0
k

④
| x * xk |
2
k
ε

k
ln ε
ln 2

注：用二分法求根，最好先给出 f (x) 草图以确定根的大 概位置。或用搜索程序，将[a, b]分为若干小区间，对每一 个满足 f (ak)· (bk) < 0 的区间调用二分法程序，可找出区 f 间[a, b]内的多个根，且不必要求 f (a)· (b) < 0 。 f
y p1 p0
y=x y=g(x)
y p0
y=x

x x0 y y=g(x) x1 x* y=x y y=g(x) p0 x0 x*

p1 y=g(x) x x1 y=x
p0 p1

x x0 x*
p1

x
x1 x0 x*
x1
4. 直接迭代法
定理
考虑方程 x = g(x), g(x)C[a, b], 若
a+h
0 a b x
0
a
a+2h
b
x

Company Logo
3. 实根的对分法
对分法或称二分法是求方程近似解的一种简单直观的方 法。设函数 f(x) 在[a,b]上连续，且 f(a)f(b)<0，则f(x)在 [a,b]上至少有一零点，这是微积分中的介值定理，也是使 用对分法的前提条件。计算中通过对分区间，逐步缩小 区间范围的步骤搜索零点的位置。 如果我们所要求解的方程从物理意义上来讲确实存在实 根，但又不满足 f(a)f(b)<0，这时，我们必须通过改变a和 b的值来满足二分法的应用条件。
0 1.0 1 1.25 2 3 1.3125 4 5 6 1.3203

1.3438 1.3281
4. 直接迭代法
等价变换
f (x) = 0 f (x) 的根
x = g (x) g (x) 的不动点