T T
则 方 程 组 可 表 示 为 F () x
（ 4 . 2 . 2 ）
n n n 其 中 ， F : D RR 是 定 义 在 区 域上 D R 的 向 量
值 函 数 。
* * * 若 存 在使 xD ,F () x ， 则 称 x 是 方 程 组 ( 4 . 2 . 1 ) 或
§4.2 非线性方程组的迭代解法
§4.2.1 预备知识 一、一般非线性方程组及其向量表示法
含 有 n 个 方 程 的 n 元 非 线 性 方 程 组 的 一 般 形 式 为
(x ,x , ,x ) 0 f 1 1 2 n f (x,x, ,x ) 0 2 1 2 n (x ,x , ,x ) 0 n 1 2 n f
f ( xe ) f ( x ) f ( x ) 从 而 l i m lx ( ) , j 1 , 2 , , n x
0
j 0 j
f ( xe ) f ( x ) lx ( ) j j l i m 0 , j1 , 2 , , n
成 立 ， 则 称 f 在 x 处 可 微 ， 向 量 l ( x ) 称 为 f 在 x 处 的 导 数 ，
记 为 ： f ( x ) l ( x ) ； 若 D 是 开 区 域 且 f 在 D 内 每 一 点 都 可 微 ， 则 称 f 在 D 内 可 微 。
n 定 理 1 若 f : DR R 在 x i n t ( D ) 处 可 微 , 则 f 在 x 处 f 关 于 各 自 变 量 的 偏 导 数( j 1 , 2 , , n ) 存 在 ， 且 有 x j
f (x ) f1(x ) f1(x ) 1 x x x 1 2 n fi(x ) (x F ) x j n n ) fn(x ) fn(x ) fn(x x x x 1 2 n

( 4 . 2 . 2 ) 的 解 。
二、多元微分学补充
n 定 义 1 设 f ： D R R ， x i n t () D ( 即 x 是 D 的 内 点 ) ， n 若 存 在 向 量 l () x R , 使 极 限
T f ( x h ) -( f x ) l ( x ) h l i m 0 ( 4 . 2 . 3 ) h θ h
称 为 F 在 x 处 的 J a c o b i 矩 阵 。
证 明 ： 由 于 F ( x ) f ( x ) , f ) ( x , , f ( x ) , 所 以 ， 存 在 定理 12 n
T
n 向 量 lx () R , 使 极 限 i
2证 fx ( h ) -( f x ) -( lx ) h 明 l i m 0 i 1 , 2 , , n
( 4 . 2 . 1 )
n 其 中 ， f ( i 1 , 2 , ,) n 是 定 义 在 区 域 D R 上 的 n 元 实 i
值 函 数 ， 且 f 中 至 少 有 一 个 是 非 性 性 函 数 。 i
令 x x , x , , x F () x fx () , fx () , , fx () ， , 1 2 n 1 2 n
T i i h θ
h
n n 成 立 ， 与 存 在 矩 阵 A ( x ), R 使 ( 4 . 2 . 4 ) 式 成 立 是 等 价 的 ， T T T T 并 且 A ( x ) l ( x ) , l ( x ) ,, l ( x ) , 即 1 2 n f ( x ) ( i 1 , 2 , , n ) 在 x 处 可 微 是 F ( x ) 在 x 处 可 微 的 充 分 必 i
定理1
说明：
f f f f (x ) , , , x x x 1 2 n
T
o 1 f在 x处 的 导 数 f (x ) 又 称 为 f在 x处 的 梯 度 ， 可 记
为 g r a d f(x ) 或 f(x ) ；
o 2 梯 度 f(x ) 存 在 只 是 函 数 f在 x 处 可 微 的 必 要 条 件 而 非


f f f 存 在 ， 且 有 fxl ( ) ( x ) , ■ , , xx x 1 2 n
T
向量值函数的可微性
n n A () ： D R R ， x i n t ( D ) ， 若 存 在 矩 阵
F ( x h ) F ( x ) A ( x ) h l i m 0 ( 4 . 2 . 4 ) h θ h
成 立 ， 则 称 Fx 在 处 可 微 ， 矩 阵 A ( x ) 称 为 Fx 在 处 的 导 数
记 为 F ( x ) A ( x ) ； 若 D 是 开 区 域 且 FD 在 内 每 一 点 都 可 微 ， 则 称 FD 在 内 可 微 。
充 分 条 件 。
定理1证明 证 明 ： 记 l ( x ) l ( x ) , l ( x ) , , l ( x ) , 取 h e ( 实 数 12 n j

j
T

0 , e 是 n 维 基 本 单 位 向 量 ) ,( 由 于 4 . 2 . 3 ) 成 立 ， 故 有 j
n n 定理 2值 定 理 2 设 FD : R R 为 向 量 函 数 , 则 F 在 x i n t ( D )
处 可 微 的 充 分 必 要 条 件 是 F 的 所 有 分 量 f ( i 1 , 2 , , n ) 在 i x 处 可 微 ； 若 F 在 x 处 可 微 , 则 有