求指数、对数函数的导数例求下列函数的导数：1．1ln 2xy ；2．)132(log 22x x y；3．)sin(b ax ey；4．).12cos(3x ayx分析：对于比较复杂的函数求导，除了利用指数、对数函数求导公式之外，还需要考虑应用复合函数的求导法则来进行．求导过程中，可以先适当进行变形化简，将对数函数的真数位置转化为有理函数的形式后再求导数．解：1．解法一：可看成1,,ln 2xvv u u y复合而成．.1112)1(2111)2(211222212221x x xxx x x x x v u v u y y xv u x 解法二：)1(111ln 222xxxy .12112111)1()1(211122222122xx xxxx xx 解法三：)1ln(211ln 22x x y ，.1122)1(1121)1ln(2122222xx x x x x x y2．解法一：设132,log 22x xuu y，则)34(log 12x e uu y y x u x .132log )34()34(132log 2222x xe x x x xe解法二：)132(132log )132(log 22222x x x x e x x y.132log )34()34(132log 2222x x ex x x x e 3．解法一：设b ax v v ue yu,sin ,，则)sin()cos(cos b ax uxv u x eb ax a av e u u y y 解法二：)sin()sin()sin(b ax ee y b ax b ax )sin()sin()cos()()cos(b ax b ax eb ax a b ax b ax e4．])12cos([3x ayx)].12s i n (2)12c o s (ln 3[)12sin(2)12cos(ln 3)12)](12sin([)12cos()3(ln ])12[cos()12cos()(3333333x x a a x a x a a x x a x x a ax ax a xxxxx xx说明：深刻理解，掌握指数函数和对数函数的求导公式的结构规律，是解决问题的关键，解答本题所使用的知识，方法都是最基本的，但解法的构思是灵魂，有了它才能运用知识为解题服务，在求导过程中，学生易犯漏掉符合或混淆系数的错误，使解题走入困境．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归，才能抓住问题的本质，把解题思路放开．变形函数解析式求导例求下列函数的导数：（1）12223x x xxy；（2）xx y 11ln；（3）xx y sin )(tan ；（4）62x xy ．分析：先将函数适当变形，化为更易于求导的形式，可减少计算量．解：（1）.12122223x xx x xx xxy222222)1(11)1()12(11x xxx xx x x xy ．（2）)]1ln()1[ln(21x x y，.11)1)(1(11211111212x x x x x xxy（3）)ln(tan sin ex x y])ln(tan [sin e)ln(tan sin x x y x x )(tan tan 1sin )ln(tan cos )(tan sin x x xx x x xcossin cos)ln(tan cos )(tan sin x x x x xxx x x x x x xcos )sin (sin cos )ln(tan )(tan cos 2sin .cos 1)ln(tan )(tan cos sin xx x x x（4）].3,2[,6,3,2,622xxxx x x y).,3()2,(,12),3,2(,12xx x x y当3,2x时y 不存在．说明：求)()(x Q x P y（其中)()(x Q x P 、为多项式）的导数时，若)(x P 的次数不小于)(x Q 的次数，则由多项式除法可知，存在)()(x R x S 、，使)()()()(x R x S x Q x P ．从而)()()()()(x Q x R x S x R x P ，这里)()(x R x S 、均为多项式，且)(x R 的次数小于)(x Q 的次数．再求导可减少计算量．对函数变形要注意定义域．如)1ln()1lg(x x y ，则定义域变为),1(x ，所以虽然)1l n ()1l n (x x y的导数1211112xxx x 与xxy11ln 的导数12)1()1()1(11111122x xx x x xx xx x x 结果相同，但我们还是应避免这种解法．函数求导法则的综合运用例求下列函数的导数：1．21x x y ；2．xex xy22)32(；3．3223xx y；4．.13xx y分析：式中所给函数是几个因式积、商、幂、开方的关系．对于这种结构形式的函数，可通过两边取对数后再求导，就可以使问题简单化或使无法求导的问题得以解决．但必须注意取寻数时需要满足的条件是真数为正实数，否则将会出现运算失误．解：1．取y 的绝对值，得12xx y ，两边取寻数，得.1ln 21ln ln 2x xy根据导数的运算法则及复合函数的求导法则，两端对x 求导，得)1(12)1(2211222xx x xx xyy，∴.112)1(121)1(122222222xxxx x xx xx x yy 2．注意到0y ，两端取对数，得.2)32ln(ln )32ln(ln 222x x x ex xy x∴32)2(223222232)32(122222x xx x x xx x x x x yy∴xex x xxxx yxxxx y222222)32(32)2(232)2(2.)2(222xe x x 3．两端取对数，得32ln 23ln ln x x y ，两端对x 求导，得.)32)(23(1332223332)32(23)23(1x x x x x x x x yy4．两端取对数，得)1ln (ln 31ln x x y，两边对x 求导，得.)1(131)111(311x x xxyy∴.1)1(31)1(1313xxx x yx x y说明：对数求导法则实质上是复合函数求导法则的应用．从多角度分析和探索解决问题的途径，能运用恰当合理的思维视力，把问题的隐含挖掘出来加以利用，会使问题的解答避繁就简，化难为易，收到出奇制胜的效果．解决这类问题常见的错误是不注意y ln 是关于x的复合函数．指对数函数的概念揭示了各自存在的条件、基本性质及其几何特征，恰当地引入对数求导的方法，从不同的侧面分析转化，往往可避免繁琐的推理与运算，使问题得以解决．。