导数题型分析及解题方法一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数； 两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。

二、热点题型分析题型一：利用导数研究函数的极值、最值。

1．32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 2 2．已知函数2)()(2=-==x c x x x f y 在处有极大值，则常数c ＝ 6 ；3．函数331x x y -+=有极小值 －1 ,极大值 3 题型二：利用导数几何意义求切线方程1．曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是 2y x =- 2．若曲线x x x f -=4)(在P 点处的切线平行于直线03=-y x ，则P 点的坐标为 （1，0）3．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 430x y --=4．求下列直线的方程：（1）曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线； （2）曲线2x y =过点P(3,5)的切线；解：（1）123|y k 23 1)1,1(1x /2/23===∴+=∴++=-=－上，在曲线点－x x y x x y P所以切线方程为0211=+-+=-y x x y 即， （2）显然点P （3，5）不在曲线上，所以可设切点为),(00y x A ，则200x y =①又函数的导数为x y 2/=，所以过),(00y x A 点的切线的斜率为/2|0x y k x x ===，又切线过),(00y x A 、P(3,5)点，所以有352000--=x y x ②，由①②联立方程组得，⎩⎨⎧⎩⎨⎧====255 110000y x y x 或，即切点为（1，1）时，切线斜率为;2201==x k ；当切点为（5，25）时，切线斜率为10202==x k ；所以所求的切线有两条，方程分别为2510 12 )5(1025)1(21-=-=-=--=-x y x y x y x y 或即，或 题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值1．已知函数))1(,1()(,)(23f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1 （Ⅰ）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值；（Ⅲ）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围解：（1）由.23)(,)(223b ax x x f c bx ax x x f ++='+++=求导数得过))1(,1()(f P x f y 上点=的切线方程为：而过.13)]1(,1[)(+==x y f P x f y 的切线方程为上故⎩⎨⎧-=-=+⎩⎨⎧-=-=++3023323c a b a c a b a 即∵124,0)2(,2)(-=+-∴=-'-==b a f x x f y 故时有极值在 ③由①②③得 a=2，b=－4，c=5 ∴.542)(23+-+=x x x x f（2）).2)(23(443)(2+-=-+='x x x x x f当;0)(,322;0)(,23<'<≤->'-<≤-x f x x f x 时当时13)2()(.0)(,132=-=∴>'≤<f x f x f x 极大时当 又)(,4)1(x f f ∴=在[－3，1]上最大值是13。

（3）y=f(x)在[－2，1]上单调递增，又,23)(2b ax x x f ++='由①知2a+b=0。

依题意)(x f '在[－2，1]上恒有)(x f '≥0，即.032≥+-b bx x①当6,03)1()(,16min ≥∴>+-='='≥=b b b f x f bx 时； ②当φ∈∴≥++=-'='-≤=b b b f x f bx ,0212)2()(,26min 时；③当.60,01212)(,1622min ≤≤≥-='≤≤-b b b x f b 则时综上所述，参数b 的取值范围是),0[+∞2．已知三次函数32()f x x ax bx c =+++在1x =和1x =-时取极值，且(2)4f -=-．(1) 求函数()y f x =的表达式； (2) 求函数()y f x =的单调区间和极值；(3) 若函数()()4(0)g x f x m m m =-+>在区间[3,]m n -上的值域为[4,16]-，试求m 、n 应满足① ②的条件．解：(1) 2()32f x x ax b '=++，由题意得，1,1-是2320x ax b ++=的两个根，解得，0,3a b ==-．再由(2)4f -=-可得2c =-．∴3()32f x x x =--．(2) 2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-，当1x <-时，()0f x '>；当1x =-时，()0f x '=； 当11x -<<时，()0f x '<；当1x =时，()0f x '=；当1x >时，()0f x '>．∴函数()f x 在区间(,1]-∞-上是增函数； 在区间[1,]-１上是减函数；在区间[1,)+∞上是增函数． 函数()f x 的极大值是(1)0f -=，极小值是(1)4f =-．(3) 函数()g x 的图象是由()f x 的图象向右平移m 个单位，向上平移4m 个单位得到的， 所以，函数()f x 在区间[3,]n m --上的值域为[44,164]m m ---（0m >）． 而(3)20f -=-，∴4420m --=-，即4m =．于是，函数()f x 在区间[3,4]n --上的值域为[20,0]-． 令()0f x =得1x =-或2x =．由()f x 的单调性知，142n --，即36n．综上所述，m 、n 应满足的条件是：4m =，且36n．3．设函数()()()f x x x a x b =--．（1）若()f x 的图象与直线580x y --=相切，切点横坐标为２，且()f x 在1x =处取极值，求实数,a b 的值；（2）当b=1时，试证明：不论a 取何实数，函数()f x 总有两个不同的极值点．解：（1）2()32().f x x a b x ab '=-++ 由题意(2)5,(1)0f f ''==，代入上式，解之得：a=1，b=1．（2）当b=1时，()0f x '=令得方程232(1)0.x a x a -++=因,0)1(42>+-=∆a a 故方程有两个不同实根21,x x ． 不妨设21x x <，由))((3)(21'x x x x x f --=可判断)('x f 的符号如下：当时，1x x <)('x f ＞０；当时，21x x x <<)('x f ＜０；当时，2x x >)('x f ＞０ 因此1x 是极大值点，2x 是极小值点．，当b=1时，不论a 取何实数，函数()f x 总有两个不同的极值点。

题型四：利用导数研究函数的图象1．如右图：是f （x ）的导函数， )(/x f 的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可能是（ D ）（A ） （B ） （C ） （D ） 2．函数的图像为14313+-=x x y ( A )3．方程内根的个数为在)2,0(076223=+-x x ( B )A 、0B 、1C 、2D 、3 题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围1．设函数.10,3231)(223<<+-+-=a b x a ax x x f（1）求函数)(x f 的单调区间、极值.（2）若当]2,1[++∈a a x 时，恒有a x f ≤'|)(|，试确定a 的取值范围.解：（1）22()43f x x ax a '=-+-=(3)()x a x a ---，令()0f x '=得12,3x a x a ==列表如下：x （-∞，a ） a （a ，3a ） 3a （3a ，+∞） - 0 + 0 -极小极大∴()f x 在（a ，3a ）上单调递增，在（-∞，a ）和（3a ，+∞）上单调递减xyo 4 -4 2 4 -42 -2 -2x yo 4 -4 2 4 -4 2 -2 -2xyy 4 -4 2 4 -42-2 -26 6 6 6 yx-4-2 o4 2 24x a =时，34()3f x b a =-极小，3x a =时，()f x b =极小（2）22()43f x x ax a '=-+-∵01a <<，∴对称轴21x a a =<+，∴()f x '在[a+1，a+2]上单调递减∴22(1)4(1)321Maxf a a a a a '=-+++-=-，22min(2)4(2)344f a a a a a '=-+++-=-依题|()|f x a '≤⇔||Max f a '≤，min ||f a '≤ 即|21|,|44|a a a a -≤-≤解得415a ≤≤，又01a << ∴a 的取值范围是4[,1)52．已知函数f （x ）＝x3＋ax2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值（1）求a 、b 的值与函数f （x ）的单调区间 （2）若对x ∈〔－1，2〕，不等式f （x ）<c2恒成立，求c 的取值范围。

解：（1）f （x ）＝x3＋ax2＋bx ＋c ，f '（x ）＝3x2＋2ax ＋b由f '（23－）＝124a b 093－＋＝，f '（1）＝3＋2a ＋b ＝0得a ＝12－，b ＝－2f '（x所以函数f （x ）的递增区间是（－∞，－23）与（1，＋∞），递减区间是（－23，1） （2）f （x ）＝x3－12x2－2x ＋c ，x ∈〔－1，2〕，当x ＝－23时，f （x ）＝2227＋c为极大值，而f （2）＝2＋c ，则f （2）＝2＋c 为最大值。

要使f （x ）<c2（x ∈〔－1，2〕）恒成立，只需c2>f （2）＝2＋c ，解得c <－1或c >2 题型六：利用导数研究方程的根1．已知平面向量a =(3,－1). b =(21,23).（1）若存在不同时为零的实数k 和t ，使x =a +(t2－3)b ，y =-k a +t b ，x ⊥y ， 试求函数关系式k=f(t) ；(2) 据(1)的结论，讨论关于t 的方程f(t)－k=0的解的情况. 解：(1)∵x ⊥y ，∴x y ⋅=0 即[a +(t2-3) b ]·(-k a +t b )=0. 整理后得-k 2a +[t-k(t2-3)] ab ⋅+ (t2-3)·2b =0∵a b ⋅=0，2a =4，2b =1，∴上式化为-4k+t(t2-3)=0，即k=41t(t2-3)(2)讨论方程41t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)= 41t(t2-3)与直线y=k 的交点个数.于是f ′(t)= 43(t2-1)= 43(t+1)(t-1).t (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+ ∞) f ′(t) + 0 - 0 + F(t)↗极大值↘极小值↗当t=－1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=21. 当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=－21函数f(t)=41t(t2-3)的图象如图13－2－1所示，可观察出：(1)当k ＞21或k ＜－21时,方程f(t)－k=0有且只有一解； (2)当k=21或k=－21时,方程f(t)－k=0有两解； (3) 当－21＜k ＜21时,方程f(t)－k=0有三解.题型七：导数与不等式的综合1．设ax x x f a -=>3)(,0函数在),1[+∞上是单调函数. （1）求实数a 的取值范围； （2）设x ≥1，)(x f ≥1，且00))((x x f f =，求证：00)(x x f =.解：（1） ,3)(2a x x f y -='='若)(x f 在[)+∞,1上是单调递减函数，则须,3,02x a y ><'即这样的实数a 不存在.故)(x f 在[)+∞,1上不可能是单调递减函数.若)(x f 在[)+∞,1上是单调递增函数，则a ≤23x ， 由于[)33,,12≥+∞∈x x 故.从而0<a ≤3. （2）方法1、可知)(x f 在[)+∞,1上只能为单调增函数. 若1≤)(00x f x <，则,))(()(000矛盾x x f f x f =< 若1≤)(),())((,)(000000x f x x f x f f x x f <<<即则矛盾，故只有0)(x x f =成立.方法2：设0)(,)(x u f u x f ==则，,,03030x au u u ax x =-=-∴两式相减得00330)()(x u u x a u x -=---020200,0)1)((x a u u x x u x =-+++-∴≥1,u ≥1，30,32020≤<≥++∴a u u x x 又，012020>-+++∴a u u x x2．已知a 为实数，函数23()()()2f x x x a =++（1）若函数()f x 的图象上有与x 轴平行的切线，求a 的取值范围 （2）若'(1)0f -=，（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间（Ⅱ）证明对任意的12(1,0)x x ∈-、，不等式125|()()|16f x f x -<恒成立解：3233()22f x x ax x a =+++，23'()322f x x ax ∴=++函数()f x 的图象有与x 轴平行的切线，'()0f x ∴=有实数解2344302a ∴∆=-⨯⨯≥，292a ≥，所以a的取值范围是3[22-∞+∞（，，）'(1)0f -=，33202a ∴-+=，94a =，2931'()33()(1)222f x x x x x ∴=++=++ 由'()0,1f x x ><-或12x >-；由1'()0,12f x x <-<<-()f x ∴的单调递增区间是1(,1),(,)2-∞--+∞；单调减区间为1(1,)2-- 易知()f x 的最大值为25(1)8f -=，()f x 的极小值为149()216f -=，又27(0)8f =()f x ∴在[10]-，上的最大值278M =，最小值4916m =∴对任意12,(1,0)x x ∈-，恒有1227495|()()|81616f x f x M m -<-=-=题型八：导数在实际中的应用1．请您设计一个帐篷。