高中数学解题基本方法--参数法参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。
直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。
换元法也是引入参数的典型例子。
辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰富多采的，科学的任务就是要揭示事物之间的内在联系，从而发现事物的变化规律。
参数的作用就是刻画事物的变化状态，揭示变化因素之间的内在联系。
参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支。
运用参数法解题已经比较普遍。
参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题。
Ⅰ、再现性题组：1. 设2x＝3y＝5z>1，则2x、3y、5z从小到大排列是________________。
2. （理）直线x ty t=--=+⎧⎨⎪⎩⎪2232上与点A(-2,3)的距离等于2的点的坐标是________。
（文）若k<－1，则圆锥曲线x2－ky2＝1的离心率是_________。
3. 点Z的虚轴上移动，则复数C＝z2＋1＋2ｉ在复平面上对应的轨迹图像为____________________。
4. 三棱锥的三个侧面互相垂直，它们的面积分别是6、4、3，则其体积为______。
5. 设函数f(x)对任意的x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，则f(x)的R上是______函数。
(填“增”或“减”)6. 椭圆x216＋y24＝1上的点到直线x＋2y－2＝0的最大距离是_____。
A. 3B. 11C. 10D. 22【简解】1小题：设2x＝3y＝5z＝t，分别取2、3、5为底的对数，解出x、y、z，再用“比较法”比较2x、3y、5z，得出3y<2x<5z；2小题：（理）A(-2,3)为t＝0时，所求点为t＝±2时，即(-4,5)或(0,1)；（文）已知曲线为椭圆，a＝1，c＝11+k，所以e＝－1kk k2+；3小题：设z＝bｉ，则C＝1－b2＋2ｉ，所以图像为：从(1,2)出发平行于x轴向右的射线；4小题：设三条侧棱x、y、z，则12xy＝6、12yz＝4、12xz＝3,所以xyz＝24,体积为4。
5小题：f(0)＝0，f(0)＝f(x)＋f(-x)，所以f(x)是奇函数，答案：减；6小题：设x＝4sinα、y＝2cosα，再求d＝|sin cos|4425αα+-的最大值，选C。
Ⅱ、示范性题组：例1. 实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，求a2＋b2＋c2的最小值。
【分析】由a＋b＋c＝1 想到“均值换元法”，于是引入了新的参数，即设a＝13＋t1，b＝13＋t2，c＝13＋t3，代入a2＋b2＋c2可求。
【解】由a＋b＋c＝1，设a＝13＋t1，b＝13＋t2，c＝13＋t3，其中t1＋t2＋t3＝0，∴ a2＋b2＋c2＝（13＋t1）2＋（13＋t2）2＋(13＋t3)2＝13＋23(t1＋t2＋t3)＋t12＋t22＋t32＝13＋t12＋t22＋t32≥13所以a2＋b2＋c2的最小值是13。
【注】由“均值换元法”引入了三个参数，却将代数式的研究进行了简化，是本题此种解法的一个技巧。
本题另一种解题思路是利用均值不等式和“配方法”进行求解，解法是：a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ac)≥1－2(a2＋b2＋c2)，即a2＋b2＋c2≥13。
两种解法都要求代数变形的技巧性强，多次练习，可以提高我们的代数变形能力。
例2. 椭圆x216＋y24＝1上有两点P、Q，O为原点。
连OP、OQ，若kOP·kOQ＝－14，①．求证：|OP|2＋|OQ|2等于定值；②.求线段PQ中点M的轨迹方程。
【分析】由“换元法”引入新的参数，即设xy==⎧⎨⎩42cossinθθ（椭圆参数方程），参数θ1、θ2为P、Q两点，先计算kOP·kOQ得出一个结论，再计算|OP|2＋|OQ|2，并运用“参数法”求中点M的坐标，消参而得。
【解】由x216＋y24＝1，设xy==⎧⎨⎩42c o ss i nθθ，P(4cosθ1,2sinθ1)，Q(4cosθ2,2sinθ2),则kOP ·kOQ＝2411sincosθθ∙2422sincosθθ＝－14，整理得到：cosθ1 cosθ2＋sinθ1sinθ2＝0,即cos（θ1－θ2）＝0。
∴ |OP|2＋|OQ|2＝16cos 2θ1＋4sin2θ1＋16cos2θ2＋4sin2θ2＝8＋12(cos 2θ1＋cos2θ2)＝20＋6（cos2θ1＋cos2θ2)＝20＋12cos （θ1＋θ2）cos （θ1－θ2）＝20，即|OP|2＋|OQ|2等于定值20。
由中点坐标公式得到线段PQ 的中点M 的坐标为x y M M=+=+⎧⎨⎩21212(cos cos )sin sin θθθθ，所以有(x 2)2＋y 2＝2＋2(cos θ1 cos θ2＋sin θ1 sin θ2)＝2,即所求线段PQ 的中点M 的轨迹方程为x 28＋y 22＝1。
【注】由椭圆方程，联想到a 2＋b 2＝1,于是进行“三角换元”，通过换元引入新的参数，转化成为三角问题进行研究。
本题还要求能够熟练使用三角公式和“平方法”，在由中点坐标公式求出M 点的坐标后，将所得方程组稍作变形，再平方相加，即（cos θ1＋ cos θ2）2＋（sin θ1＋sin θ2）2，这是求点M 轨迹方程“消参法”的关键一步。
一般地，求动点的轨迹方程运用“参数法”时，我们可以将点的x 、y 坐标分别表示成为一个或几个参数的函数，再运用“消去法”消去所含的参数，即得到了所求的轨迹方程。
本题的第一问，另一种思路是设直线斜率k ，解出P 、Q 两点坐标再求：设直线OP 的斜率k ，则OQ 的斜率为－14k，由椭圆与直线OP 、OQ 相交于PQ 两点有： x y y kx 224160+-==⎧⎨⎩，消y 得(1＋4k 2)x 2＝16,即|x P |＝4142+k ； x y y k x22416014+-==-⎧⎨⎪⎩⎪，消y 得(1＋142k )x 2＝16，即|x Q |＝||8142k k +； 所以|OP|2＋|OQ|2＝(12+k ∙4142+k )2＋（11162+k ∙||8142k k+）2＝20801422++k k＝20。
即|OP|2＋|OQ|2等于定值20。
在此解法中，利用了直线上两点之间的距离公式|AB|＝12+k AB ∙|x A －x B |求|OP|和|OQ|的长。
例3.已知正四棱锥S —ABCD 的侧面与底面的夹角为β，相邻两侧面的夹角为α,求证：cos α=-cos 2β。
【分析】要证明cos α=-cos 2β，考虑求出α、β的余弦，则在α和β所在的三角形中利用有关定理求解。
【解】连AC 、BD 交于O ，连SO ；取BC 中点F ，连SF 、OF ；作BE ⊥SC 于E ，连DE 。
则∠SFO ＝β，∠DEB ＝α。
设BC ＝a (为参数)， 则SF ＝OF cos β＝a2cos β,SC ＝SF FC 22+＝(cos )()a a 2222β+＝a2cos β12+cos β又 ∵BE ＝SF BC SC ·＝a 22cos β⨯1212acos cos ββ+＝a 12+cos β在△DEB 中，由余弦定理有：cos α＝22222BE BD BE -＝2122122222⨯+-⨯+a a a cos cos ββ＝－cos2β。
所以cos α＝－cos 2β。
【注】 设参数a 而不求参数a ，只是利用其作为中间变量辅助计算，这也是在参数法中参数可以起的一个作用，即设参数辅助解决有关问题。
Ⅲ、巩固性题组：1. 已知复数z 满足|z|≤1，则复数z ＋2ｉ在复平面上表示的点的轨迹是________________。
2. 函数y ＝x ＋2＋142--x x 的值域是________________。
3. 抛物线y ＝x 2－10xcos θ＋25＋3sin θ－25sin 2θ与x 轴两个交点距离的最大值为_____A. 5B. 10C. 23D. 34. 过点M(0,1)作直线L ，使它与两已知直线L 1：x －3y ＋10＝0及L 2：2x ＋y －8＝0所截得的线段被点P 平分，求直线L 方程。
5. 求半径为R 的球的内接圆锥的最大体积。
CA B6. f(x)＝(1－a 2cos 2x)sinx ，x ∈[0,2π)，求使f(x)≤1的实数a 的取值范围。
7. 若关于x 的方程2x 2＋xlg ()a a 23318-＋lg 2(a a 212-)＋lg 212a a -＝0有模为1的虚根，求实数a 的值及方程的根。
8. 给定的抛物线y 2＝2px (p>0)，证明：在x 轴的正向上一定存在一点M ，使得对于抛物线的任意一条过点M 的弦PQ ，有12||MP ＋12||MQ 为定值。