矩阵的奇异值分解在数字图像处理的应用浅析学院：···专业：··姓名：··学号：··2011年11月6日目录一、绪论 ................................................................................................................................. - 1 -二、数字图像处理简介 ............................................................................................................. - 2 -三、矩阵的奇异值分解原理 ..................................................................................................... - 4 -3.1 矩阵的奇异值 ............................................................................................................. - 4 -3.2 矩阵的奇异值分解（SVD） ....................................................................................... - 4 -四、奇异值分解的图像性质 ..................................................................................................... - 5 -五、图像的奇异值分解压缩方法 ............................................................................................. - 7 -5.1 奇异值分解压缩原理分析 ......................................................................................... - 7 -5.2 奇异值分解压缩应用过程 ......................................................................................... - 8 -六、小结 ................................................................................................................................. - 9 -一、绪论目前，随着科学技术的高速发展，现实生活中有大量的信息用数字进行存储、处理和传送。
而传输带宽、速度和存储器容量等往往有限制，因此数据压缩就显得十分必要。
数据压缩技术已经是多媒体发展的关键和核心技术。
图像文件的容量一般都比较大，所以它的存储、处理和传送会受到较大限制，图像压缩就显得极其重要。
当前对图像压缩的算法有很多，特点各异，类似JPEG 等许多标准都已经得到了广泛的应用。
奇异值分解(Singular Value Decomposition ，SVD) 是一种基于特征向量的矩阵变换方法，在信号处理、模式识别、数字水印技术等方面都得到了应用。
由于图像具有矩阵结构，有文献提出将奇异值分解应用于图像压缩[2]，并取得了成功，被视为一种有效的图像压缩方法。
本文在奇异值分解的基础上进行图像压缩。
二、数字图像处理简介首先，简单介绍一下数字图像处理。
人们对数字图像都应该很熟悉。
我们在计算机上看到的图像，数码相机拍到的图像，雷达图像，人体MRI 图像等等。
数字图像处理是指用计算机对图像进行分析处理，以达到所需结果的技术。
图像处理的内容十分广泛，具体而言，可以分为：图像获取、图像增强、图像复原、图像压缩、图像分割等。
这些内容都是基于矩阵的处理得到的。
下面举例介绍几个重要的应用。
图像获取是图像处理的第一步。
图像获取有很多方法，最常用的方法就是用传感器如数字摄像机、扫描仪等设备得到。
数字图像处理的定义：我们可以将一幅图像定义为一个二维函数(,)f x y ，这里x 和y 是空间坐标，在空间坐标(,)x y 上的幅值f 称为该点图像的强度或灰度。
对于数字图像而言，,x y 和幅值f 都是有限的、离散的。
这样一幅图像就可以用一个二维函数来表示。
模拟图像不利于计算机处理，所以我们常常将模拟图像转换为数字图像。
模拟图像转化为数字图像的方式是：取样和量化。
我们将,x y 坐标值离散化称为取样，将幅度值f 离散化称之为量化。
经过取样和量化的图像是一幅数字图像。
数字图像的质量很大程度上取决于取样和量化的取样数和灰度级。
取样和量化的结果是一个实际的矩阵。
这个矩阵可以表示为nm n m f m f m f n f f f n f f f y x f ⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=)1,1()1,1()0,1()1,1()1,1()0,1()1,0()1,0()0,0(),(更一般的矩阵表达方式为：nm n m m m n n a a a a a a a a a A ⨯------⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1.11.10.11.11.10.11,01,00,0图像压缩是数据压缩技术在数字图像上的应用，它的目的是减少图像数据中的冗余信息从而用更加高效的格式存储和传输数据。
图像数据之所以能被压缩，就是因为数据中存在着冗余。
图像数据的冗余主要表现为：图像中相邻像素间的相关性引起的空间冗余；图像序列中不同帧之间存在相关性引起的时间冗余；不同彩色平面或频谱带的相关性引起的频谱冗余。
图像压缩可以是有损数据压缩也可以是无损数据压缩。
无损图像压缩方法主要有行程长度编码、熵编码法如LZW；有损压缩方法主要有变换编码，如离散余弦变换（DCT）或者小波变换这样的傅立叶相关变换，然后进行量化和用熵编码法压缩和分形压缩（fractal compression）。
图像矩阵A的奇异值（Singular Value）及其特征空间反映了图像中的不同成分和特征。
奇异值分解(Singular Value Decomposition ，SVD) 是一种基于特征向量的矩阵变换方法，在信号处理、模式识别、数字水印技术等方面都得到了应用。
我们主要讨论奇异值分解在图像压缩上的应用。
三、矩阵的奇异值分解原理3.1 矩阵的奇异值设nm rC A ⨯∈，)(rank A r =，i λ是H AA 的特征值，i μ是A A H 的特征值，它们都是实数。
且设02121==⋅⋅⋅==>≥⋅⋅⋅≥≥++m r r r λλλλλλ 02121==⋅⋅⋅==>≥⋅⋅⋅≥≥++n r r r μμμμμμ则特征值i λ与i μ之间的关系为：0>=i i μλ，),,2,1(r i ⋅⋅⋅=。
设n m r C A ⨯∈， H AA 的正特征值i λ，A A H 的正特征值i μ，称i i i μλα==，),,2,1(r i ⋅⋅⋅=是A 的正奇异值，简称奇异值。
若A 是正规矩阵，则A 的奇异值是A 的非零特征向量的模长。
3.2 矩阵的奇异值分解（SVD ）若nm r C A ⨯∈，r δδδ≥⋅⋅⋅≥≥21是A 的r 个正奇异值，则存在m 阶酉矩阵U 和n 阶酉矩阵V ，满足：HH V U UDV A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆==000其中，),,,(21r diag δδδ⋅⋅⋅=∆，∆为奇异对角阵。
U 满足U AA U HH是对角阵，V 满足AV A V H H 是对角阵。
U 的第i 列为A 的对应于i δ奇异值对应的左奇异向量，V 的第i 列为A 的对应于i δ奇异值对应的右奇异向量。
它们的每一列均为单位向量，且各列之间相互正交。
若nm r C A ⨯∈，r δδδ≥⋅⋅⋅≥≥21是A 的r 个正奇异值，则总有次酉矩阵r m r r U U ⨯∈，r n r r V V ⨯∈满足：H r r V U A ∆=，其中),,,(21r diag δδδ⋅⋅⋅=∆。
奇异值分解是一种基于特征向量的矩阵变换方法。
奇异值分解是现代数值的最基本和最重要的工具之一。
四、奇异值分解的图像性质任意一个nm CA ⨯∈矩阵的奇异值),,,(21r δδδ⋅⋅⋅是唯一的，它刻画了矩阵数据的分布特征。
直观上，可以这样理解矩阵的奇异值分解：将矩阵nm C A ⨯∈看成是一个线性变换，它将m 维空间的点映射到n 维空间。
nm CA ⨯∈经过奇异值分解后，这种变换被分割成3个部分，分别为U 、∆和V ，其中U 和V 都是标准正交矩阵，它们对应的线性变换就相当于对m 维和n 维坐标系中坐标轴的旋转变换。
若A 为数字图像，则A 可视为二维时频信息，可将A 的奇异值分解公式写为：∑∑====⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆==ri Hi i i r i i H Hv u A V U UDVA 11000δ其中，i u和iv 分别是U 和V 的列矢量，i δ是A 的非零奇异值。
故上式表示的数字图像A 可以看成是r 个秩为1的子图Hi i v u 叠加的结果，而奇异值i δ为权系数。
所以i A也表示时频信息，对应的iu 和iv 可分别视为频率矢量和时间矢量，因此数字图像A 中的时频信息就被分解到一系列由iu 和iv 构成的视频平面中。
由矩阵范数理论， 奇异值能与向量2-范数和矩阵Frobenious-范数(F-范数)相联系。
)max(2221X AXA ==λ2112212)(∑∑==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ri i mn mn Fa Aλ若以F-范数的平方表示图像的能量，则由矩阵奇异值分解的定义知：∑==⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆==ri i HH HFV U U V tr A A tr A122)000000()(δ。
也就是说，数字图像A 经奇异值分解后，其纹理和几何信息都集中在U 、HV 之中，而∆中的奇异值则代表图像的能量信息。
性质1：矩阵的奇异值代表图像的能量信息，因而具有稳定性。
设nm C A ⨯∈，δ+=A B ，δ是矩阵A 的一个扰动矩阵。
A 和B 的非零奇异值分别记为：r 11211δδδ≥⋅⋅⋅≥≥和r 22221δδδ≥⋅⋅⋅≥≥。