讲义中例题对M/G/1马尔可夫链模型的讨论:
令X n 为第n 个顾客到达系统时系统中的顾客数，这一时刻记为T n . 设在(T n , T n +1]内离开服务台的顾客数为Y n ，则X n +1=X n +1-Y n . 显然 0≤Y n ≤X n .
先证{X n }为马氏链.
表述方法一：事实上，P {X n +1=i +1-j | X n =i , X n -1=i n -1,…,X 0=i 0} = {Y n =j | X n =i , X n -1=i n -1,…, X 0=i 0} = P {Y n =j }。

这是因为Y n 与{X n , X n -1,…, X 0}独立，且P {X n +1=i +1-j | X n =i }=P {Y n =j }。

故{X n }是一个马氏链。

再求P {X n +1=i +1-j | X n =i }=P {Y n =j }.
1）若01j i ≤≤−，则系统不会出现空闲。

故
110
{}{()()|}()
()(())()().!
n n n n n j t
P Y j N T N T j T T t dG t t N t j g t dt e dG t j μμ∞
++∞∞
−==−=−====∫∫∫
2) 若j i =，此时系统可能出现空闲，故
1100
{}{()()|}()()(())()().!n n n n n k t
k i
P Y j N T N T j T T t dG t t N t j dG t e dG t k μμ∞
++∞∞
∞−===
−≥−==
≥=∫∑∫
∫
表述方法二：在上述求一步转移概率的过程中，若记将一步转移概率记成1()n n P X j X i +==，则
从1()(1)n n n P X j X i P Y i j +====+−，利用0,n n Y X ≤≤则有
1 1.i j +≥≥
（1） 当1j >时，即2,j ≥ 此时系统不会出现空闲，其一步转移概率为：
(1)10
()()(1)()(1)!
i j t
n n n t P X j X i P Y i j e dG t i j μμ+−∞−+====+−=
+−∫
；
（2） 当1j =时，此时系统可能出现空闲，其一步转移概率为：
()10
1()()(1)().!k t
n n n k i j
t P X j X i P Y i j e dG t k μμ∞
∞−+=+−====+−=∑∫。