A,A ,..., A 的任一划分={ }, 可以唯一对应集合 A上 的一个等价关系：
1 2 k
R ( A1 A1 ) ( A2 A2 ) ... ( Ak Ak )
例 设A={1,2,3,4,5,6}, ={<1,4>,<2,5,6>,{3}}是 A的一个划分，求由划分所谓一确定的A上的 等价关系。 解：等价关系R为：两个元素之间有关系R当且仅 当它们处在同一个分块中，记 1={1,4}， 2={2,5,6}， 3={3} R1= 1× 1 R2= 2 × 2 R3= 3 × 3 R=R1∪R2∪R3

(1) (2) (3) (4) (5)
{{a},{b,c},{d}}, {{a,b,c,d}}, {{a,b},{c},{a,d}}, {,{a,b},{c,d}}, {{a},{b,c}},
例 设A＝{1,2,3},求出A上所有的等价关系. 解: 先求A的各种划分:只有1个划分块的划分1,具有两个 划分块的划分2,3和4,具有3个划分块的划分5,请看 下图|
等价类

定 义 4.5-2 R 是 非 空 集 合 A 上 的 等 价 关 系 ， xA，等价类[x]R={y|yA xRy}
例 A＝{1,2,3,4,5,8},R＝{<x,y>|x,y∈A∧x≡y(mod 3)}, 其中x=y(mod 3)的含义就是x-y可以被3整除. R为A上的等价 关系,它的关系图如下所示,其中1~4,2~5~8,3~6. 解： [1]＝[4]＝{1,4}, [2]＝[5]＝[8]＝{2,5,8}, [3]= {3}.
等价关系的关系图

一个例子 A={1,2,3,4,5} R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>, <1,2>, <2பைடு நூலகம்1>, <1,5>, <5,1>, <2,5>, <5,2>, <3,4>, <4,3>}
R(1) 2
1
5
3
注意：R(1)即R(2) 或R(5); R(3)即R(4)
定理4.5-2 （1）集合A上的等价关系R，决定了商集A/R ，可确定A上 的一个划分。 （2）A上的任意一个划分，确定了A上的一个等价关系 定理4.5-3 说明在划分和等价关系之间存在着一一对应关系， 即给定非空集合A上的一个等价关系R，由R可以唯一产 生集合A的一个划分=A/R，反之，对非空集合A
4
R(3)
4.5.2集合的划分
A
A1 A5 A2 A4 定义4.5-4 设A是非空集合,如果存 在一个A的子集族(P(A))满足 以下条件 (1) ≠； (2) 中任意两个元素不交； (3) 中所有元素的并集等于A, 则称为A的一个划分,且称中的 元素为划分块.
A6
A3
例. 考虑集合A＝{a,b,c,d}的下列子集族
4.5等价关系与划分
等价关系与划分

等价关系的定义 等价关系的关系图的特征 等价类


定义 非空集合A上等价关系R的等价类的性质（定义4.5-3） 商集

集合的划分 等价关系与集合划分的对应(定理4.5-3)
3-10 等价关系与等价类
4.5.1 等价关系 定义4.5-1： R是定义在非空集合A上的一个关系，如果R是 自反的、对称的和传递的，则称R为A上的等价关系。 对任何x,y∈A,如果(x,y)∈等价关系R,则记作x~y. (1)在一群人的集合上年龄相等的关系是等价关系,而朋友 关系不一定是等价关系,因为它可能不是传递的.一般称这 种自反的对称的关系为相容关系.显然等价关系都是相容关 系,但相容关系不一定是等价关系. (2)动物是按种属分类的；“具有相同种属”的关系是动物 集合上的等价关系. (3)集合上的恒等关系和全域关系都是等价关系. (4)在同一平面上三角形之间的相似关系是等价关系,但直 线间的平行关系不是等价关系,因为它不是自反的.
定理 4.5-1 设R是非空集合A上的等价关系,对任意的x, y∈A, 下面的结论成立. (1) [x]≠,且[x]A； (2) 若xRy,则[x]=[y]； (3) 若xRy,则[x]∩[y]＝； (4) =A. 定义4.5-3 商集A/R：所有等价类的集合 在前例中,A在R下的商集是A/R={{1,4},{2,5,8},{3}}