二项式定理经典习题及答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：二项式定理1. 求()x x2912-展开式的： （1）第6项的二项式系数； （2）第3项的系数； （3）x 9的系数。

分析：（1）由二项式定理及展开式的通项公式易得：第6项的二项式系数为C 95126=；（2）T C x xx 39227212129=⋅⋅-=()()，故第3项的系数为9； （3）T C x x C x r rrr r r r +--=⋅⋅-=-⋅192991831212()()()，令1839-=r ，故r ＝3，所求系数是()-=-12212393C 2. 求证：51151-能被7整除。

分析：5114921494924922151515105151150515150515151-=+-=+⋅++⋅+-()C C C C ，除C 51515121-以外各项都能被7整除。

又C C C C C 5151513171717017171161716171721217117771⋅-=-=+-=++++-()()显然能被7整除，所以51151-能被7整除。

3. 求9192除以100的余数。

分析：919019090909292920929219192919292=+=++++()C C C C由此可见，除后两项外均能被100整除，而C C 929192929082818210081+==⨯+ 故9192除以100的余数为81。

4.（2009北京卷文）若4(12)2(,a b a b +=+为有理数），则a b +=A ．33B ． 29C ．23D ．19 【答案】B【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查.∵()()()()()()4123401234444441222222CCC CC+=++++1421282417122=++++=+，由已知，得171222a b +=+，∴171229a b +=+=.故选B .5.（2009北京卷理）若5(12)2(,a b a b +=+为有理数），则a b += （ ）A ．45B ．55C ．70D ．80 【答案】C【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵()()()()()()()51234501234555555512222222CCC CCC+=+++++15220202204241292=+++++=+，由已知，得412922a b +=+，∴412970a b +=+=.故选C . 6. 已知()x xn -124的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列。

（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项。

分析：依条件可得关于n 的方程求出n ，然后写出通项T r +1，讨论常数项和有理项对r 的限制。

解：依题意，前三项系数的绝对值分别为1，C C n n 1221212()()，且212112122C C n n ⋅=+⋅()()即n n 2980-+= 解得n ＝8或n ＝1（舍去）∴=-=-+--T C x xCx r r r r r rrr 1884816341212()()() （1）若T r +1为常数项，当且仅当16340-=r，即316r =，而r Z ∈，这不可能，故展开式中没有常数项。

（2）若T r +1为有理数，当且仅当1634-r为整数。

08≤≤∈r r Z ，∴=r 048,,，即展开式中的有理项共有三项，T x T x T x 145923581256===-，， 7. （1）如果12212222187n n n n n C C C ++++=，则012nn n n n C C C C ++++= （答：128）；（2）化简01223(1)n n n n n C C C n C +++++（答：1(2)2n n -⋅+）已知9290129(13)x a a x a x a x -=++++，则0129||||a a a a ++++等于_____（答：94）；（2）2004220040122004(12)x a a x a x a x -=++++，则0102()()a a a a +++＋02004()a a ++＝_____（答：2004）；（3）设nn n x a x a x a a x x 2222102)1(++++=++ ,则=+++na a a 220 _____（答：213+n ）。

8．（湖南理15）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 ． 第1行 1 1第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 …… ………………………………图1【答案】21n -，32 9．（04. 上海春季高考）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第___34 __行中从左至右第14与第15个数的比为3:2.10.（2009江西卷理）(1)nax by ++展开式中不含x 的项的系数绝对值的和为243，不含y 的项的系数绝对值的和为32，则,,a b n 的值可能为A ．2,1,5a b n ==-=B ．2,1,6a b n =-=-=C ．1,2,6a b n =-==D ．1,2,5a b n ===.答案：D【解析】5(1)2433nb +==，5(1)322na +==，则可取1,2,5ab n ===，选D 11.(2009湖北卷理)设222212012122) (2)n n n n n x a a x a x a x a x --+=+++++（，则22024213521lim[(...)(...)]n n n a a a a a a a a -→∞++++-++++=.1A - .0B .1C 2.2D 【答案】B【解析】令0x =得2021()22n n a == 令1x =时201222(1)2n n a a a a +=+++⋅⋅⋅+ 令1x =-时201222(1)2n n a a a a -=-+-⋅⋅⋅+两式相加得：2202222(1)(1)222n nn a a a ++-++⋅⋅⋅+= 两式相减得：22132122(1)(1)222n nn a a a -+--++⋅⋅⋅+= 代入极限式可得，故选B12.（2009湖北卷文）已知（1+ax ）3,=1+10x+bx 3+…+a 3x3,则b= ..【答案】40【解析】因为15()r rr T C ax +=⋅∴..解得2,40a b ==第0行 1第1行 1 1第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 第5行 1 5 10 10 5 1 …… …… ……13.（2009四川卷文）61(2)2x x-的展开式的常数项是 （用数字作答）【答案】－20【解析】rr r r r rrrr xC x x C T 262666612)1()21()2()1(---+-=-=，令026=-r ，得3=r 故展开式的常数项为20)1(363-=-C14.(2009湖南卷理)在323(1)(1)(1)x x x +++++的展开式中，x 的系数为___7__(用数字作答) 【答案】：7【解析】由条件易知3333(1),(1),(1)x x x +++展开式中x 项的系数分别是123333C ,C ,C ，即所求系数是3317+++=15.（2009浙江卷理）观察下列等式：1535522C C +=-，1597399922C C C ++=+， 159131151313131322C C C C +++=-，1591317157171717171722C C C C C ++++=+，………由以上等式推测到一个一般的结论： 对于*n N ∈，1594141414141n n n n n C C C C +++++++++= ．.答案：()4121212nn n --+-【解析】这是一种需类比推理方法破解的问题，结论由二项构成，第二项前有()1n-，二项指数分别为41212,2n n --，因此对于*n N ∈，1594141414141n n n n n C C C C +++++++++=()4121212nn n --+- 16.在(x 2＋3x ＋2)5的展开式中，x 的系数为A.160 B .240 C.360 D.80017.已知S ＝10101033102210110)1(C )1(C )1(C )1(C -++-+-+-x x x x 在S 的展开式中，x 3项的系数为A.1010410310C C C +++B.71010102551014410310C C C C C C C ++++ C .0 D.118.(2002年全国高考题)(x 2+1)(x -2)7的展开式中x 3项的系数是_________.答案: 1008 19.54)1()1(-⋅+x x 展开式中x 4的系数为A.－40B.10C.40 D .4520.已知(32x ＋3x 2)n 展开式中各项系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项. 答案：(1)326322405)2(270x x21.设+∈N n ，则=++++-12321666n n n n n n C C C C 。

解：由二项式定理得nn n n n n n C C C C )61(6666133221+=+++++ ，即61+n n n n n n nC C C C 7)666(12321=++++- ，故原式)17(61-=n 。

22. 在2006)2(-x 的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S ，当2=x 时，S 等于（ ）A.30082B.30082-C.30092D.30092-解：令2006200520053322102006)2(x x a x a x a x a a x ++++++=- ， 取2,2-==x x ，分别得0)2()2(22006332210=+++++x a a a a 300920063322102)2()2(2=++-+-x a a a a两式相减得3008200520053312)2()2(2-=+++a a a 故选B 项。