二项式定理1．二项式定理：011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。

②二项式系数:展开式中各项的系数rn C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅.③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。

用1r n r r r nT C a b -+=表示。

3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。

②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。

()n a b +与()n b a +是不同的。

③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。

b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。

各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r nn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。

4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r rn nn n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1)k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122rnn n n n n n C C C C C ++++++=，变形式1221rnn n n n n C C C C +++++=-。

③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n nn n n n n n C C C C C -+-++-=-=，从而得到：0242132111222r r nn n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=⨯= ④奇数项的系数和与偶数项的系数和：0011222012012001122202121001230123()()1, (1)1,(1)n n n n n nnn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x C a x C a x C a x C a x a a x a x a x x a C a x C ax C a x C a x a x a x a x a x a a a a a a x a a a a a a ----+=++++=+++++=++++=++++=++++=+---------=--+-++=-----令则①令则024135(1)(1),()2(1)(1),()2n nn n nn a a a a a a a a a a a a ----++-++++=+---+++=②①②得奇数项的系数和①②得偶数项的系数和⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2n nC 取得最大值。

如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项式系数12n nC-,12n nC+同时取得最大值。

⑥系数的最大项：求()n a bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法。

设展开式中各项系数分别为121,,,n A A A +⋅⋅⋅，设第1r +项系数最大，应有112r rr r A A A A +++≥⎧⎨≥⎩，从而解出r 来。

6．二项式定理的十一种考题的解法： 题型一：二项式定理的逆用；例：12321666 .nn n n n n C C C C -+⋅+⋅++⋅=解：012233(16)6666n nn n n n n n C C C C C +=+⋅+⋅+⋅++⋅与已知的有一些差距，123211221666(666)6nn n n n n n n n n n C C C C C C C -∴+⋅+⋅++⋅=⋅+⋅++⋅ 0122111(6661)[(16)1](71)666nn n n n n n n C C C C =+⋅+⋅++⋅-=+-=-题型二：利用通项公式求nx 的系数； 例：在二项式n的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有3x 的项的系数？ 解：由条件知245n n C -=，即245n C =，2900n n ∴--=，解得9()10n n =-=舍去或，由2102110343411010()()r r rrrr r T C x x C x--+--+==，由题意1023,643r r r --+==解得， 则含有3x 的项是第7项6336110210T C x x +==,系数为210。

题型三：利用通项公式求常数项；例：求二项式210(x 的展开式中的常数项？解：5202102110101()()2r rrrrr r T C x C x --+==，令52002r -=，得8r =，所以88910145()2256T C == 练：求二项式61(2)2x x-的展开式中的常数项？ 解：666216611(2)(1)()(1)2()22r r r r r r r r rr T C x C xx ---+=-=-，令620r -=，得3r =，所以3346(1)20T C =-=-题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；例：求二项式9展开式中的有理项？ 解：12719362199()()(1)r rrrrr r T C x x C x--+=-=-，令276rZ -∈,(09r ≤≤)得39r r ==或， 所以当3r =时，2746r -=，334449(1)84T C x x =-=-， 当9r =时，2736r -=，3933109(1)T C x x =-=-。

题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例：若n 展开式中偶数项系数和为256-，求n .解：设n 展开式中各项系数依次设为01,,,n a a a ⋅⋅⋅1x =-令,则有010,n a a a ++⋅⋅⋅=①，1x =令,则有0123(1)2,n n n a a a a a -+-+⋅⋅⋅+-=② 将①-②得：1352()2,n a a a +++⋅⋅⋅=-11352,n a a a -∴+++⋅⋅⋅=- 有题意得，1822562n --=-=-，9n ∴=。

题型六：最大系数，最大项；例：已知1(2)2nx +，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？解：46522,21980,n n n C C C n n +=∴-+=解出714n n ==或，当7n =时，展开式中二项式系数最大的项是45T T 和34347135()2,22T C ∴==的系数，434571()270,2T C ==的系数当14n =时，展开式中二项式系数最大的项是8T ，7778141C ()234322T ∴==的系数。

例：写出在7()a b -的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？解：因为二项式的幂指数7是奇数，所以中间两项(4,5第项)的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有34347T C a b =-的系数最小，43457T C a b =系数最大。

例：若展开式前三项的二项式系数和等于79，求1(2)2n x +的展开式中系数最大的项？解：由01279,n n n C C C ++=解出12n =,假设1r T +项最大，12121211(2)()(14)22x x +=+ 1111212111212124444r r r r r r r r r r r r A A C C A A C C --+++++⎧≥≥⎧⎪∴=⎨⎨≥≥⎪⎩⎩，化简得到9.410.4r ≤≤，又012r ≤≤，10r ∴=，展开式中系数最大的项为11T ,有121010101011121()4168962T C x x ==题型七：含有三项变两项；例：求当25(32)x x ++的展开式中x 的一次项的系数？解法①：2525(32)[(2)3]x x x x ++=++，2515(2)(3)rr r r T C x x -+=+，当且仅当1r =时，1r T +的展开式中才有x 的一次项，此时124125(2)3r T T C x x +==+，所以x 得一次项为1445423C C x 它的系数为1445423240C C =。

解法②：255505145051455555555(32)(1)(2)()(22)x x x x C x C x C C x C x C ++=++=++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+故展开式中含x 的项为4554455522240C xC C x x +=，故展开式中x 的系数为240.题型八：两个二项式相乘；例：342(12)(1)x x x +-求展开式中的系数. 解：333(12)(2)2,m m mm m x x x +⋅=⋅⋅的展开式的通项是C C444(1)C ()C 1,0,1,2,3,0,1,2,3,4,n n n n n x x x m n -⋅-=⋅-⋅==的展开式的通项是其中 342,02,11,20,(12)(1)m n m n m n m n x x +=======+-令则且且且因此20022111122003434342(1)2(1)2(1)6x C C C C C C ⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅-=-的展开式中的系数等于.练：2*31(1)(),28,______.nx x x n N n n x+++∈≤≤=已知的展开式中没有常数项且则 解：3431()C C ,n r n r r r n r n n x x x x x---+⋅⋅=⋅展开式的通项为通项分别与前面的三项相乘可得 44142C ,C ,C ,,28r n r r n r r n r n n nx x x n --+-+⋅⋅⋅≤≤展开式中不含常数项 441424,83,72,6, 5.n r n r n r n n n n ∴≠≠+≠+≠≠≠∴=且且，即且且题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；例：2006(,,,_____.x x S x S ==在的二项展开式中含的奇次幂的项之和为当解：2006123200601232006(x a a x a x a x a x +++++设=-------①2006123200601232006(x a a x a x a x a x --+-++=-------②3520052006200613520052()((a x a x a x a x x x -++++=-①②得2006200620061(()[((]2x S x x x ∴=--+展开式的奇次幂项之和为32006220062006300812,]222x S ⨯==-=-=-当题型十：赋值法；例：设二项式1)nx的展开式的各项系数的和为p ，所有二项式系数的和为s ,若272p s +=,则n 等于多少？解：若20121)n n n a a x a x a x x=+++⋅⋅⋅+，有01n P a a a =++⋅⋅⋅+，02nn n n S C C =+⋅⋅+=，令1x =得4nP =，又272p s +=,即42272(217)(216)0n n n n +=⇒+-=解得216217()n n ==-或舍去，4n ∴=.例：200912320092009120123200922009(12)(),222a a a x a a x a x a x a x x R -=+++++∈++⋅⋅⋅+若则的值为 解：2009200912120022009220091,0,2222222a a a a a a x a a =+++⋅⋅⋅+=∴++⋅⋅⋅+=-令可得 20091202200901, 1.222a a a x a ==++⋅⋅⋅+=-在令可得因而 练：55432154321012345(2),____.x a x a x a x a x a x a a a a a a -=+++++++++=若则 解：0012345032,11,x a x a a a a a a ==-=+++++=-令得令得1234531.a a a a a ∴++++= 题型十一：整除性；例：证明：22*389()n n n N +--∈能被64整除 证：2211389989(81)89n n n n n n +++--=--=+--011121111111888889n n n n n n n n n n C C C C C n +-++++++=++⋅⋅⋅+++--011121118888(1)189n n n n n n C C C n n +-+++=++⋅⋅⋅++++--01112111888n n n n n n C C C +-+++=++⋅⋅⋅+由于各项均能被64整除22*389()64n n n N +∴--∈能被整除。