二项式定理 概 念 篇【例1】求二项式(a －2b )4的展开式. 分析：直接利用二项式定理展开.解：根据二项式定理得(a －2b )4=C 04a 4+C 14a 3(－2b )+C 24a 2(－2b )2+C 34a (－2b )3+C 44(－2b )4=a 4－8a 3b +24a 2b 2－32ab 3+16b 4.说明：运用二项式定理时要注意对号入座，本题易误把－2b 中的符号“－”忽略.【例2】展开(2x －223x)5. 分析一：直接用二项式定理展开式.解法一：(2x －223x )5=C 05(2x )5+C 15(2x )4(－223x )+C 25(2x )3(－223x)2+C 35(2x )2(－223x)3+ C 45 (2x )(－223x )4+C 55(－223x)5=32x 5－120x 2+x 180－4135x+78405x －1032243x .分析二：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开.解法二：(2x －223x)5=105332)34(x x=10321x ［C 05(4x 3)5+C 15(4x 3)4(－3)+C 25(4x 3)3(－3)2+C 35(4x 3)2(－3)3+C 45(4x 3)(－3)4+ C 55(－3)5］=10321x(1024x 15－3840x 12+5760x 9－4320x 6+1620x 3－243) =32x 5－120x 2+x 180－4135x+78405x －1032243x . 说明：记准、记熟二项式(a +b )n的展开式是解答好与二项式定理有关问题的前提条件.对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便.【例3】在(x －3)10的展开式中，x 6的系数是 .解法一：根据二项式定理可知x 6的系数是C 410.解法二：(x －3)10的展开式的通项是T r +1=C r 10x10－r(－3)r.令10－r =6，即r =4，由通项公式可知含x 6项为第5项，即T 4+1=C 410x 6(－3)4=9C 410x 6. ∴x 6的系数为9C 410.上面的解法一与解法二显然不同，那么哪一个是正确的呢？问题要求的是求含x 6这一项系数，而不是求含x 6的二项式系数，所以应是解法二正确.如果问题改为求含x 6的二项式系数，解法一就正确了，也即是C 410.说明：要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异. 二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关.【例4】已知二项式(3x －x32)10， (1)求其展开式第四项的二项式系数； (2)求其展开式第四项的系数； (3)求其第四项.分析：直接用二项式定理展开式.解：(3x －x 32)10的展开式的通项是T r +1=C r10(3x )10－r (－x32)r (r =0，1，…，10). (1)展开式的第4项的二项式系数为C 310=120.(2)展开式的第4项的系数为C 31037(－32)3=－77760. (3)展开式的第4项为－77760(x )731x ，即－77760x .说明：注意把(3x －x 32)10写成［3x +(－x 32)］10，从而凑成二项式定理的形式. 【例5】求二项式(x 2+x21)10的展开式中的常数项.分析：展开式中第r +1项为C r10(x 2)10－r (x21)r ，要使得它是常数项，必须使“x ”的指数为零，依据是x 0=1，x ≠0.解：设第r +1项为常数项，则Tr +1=C r 10(x 2)10－r(x21)r=C r 10x r 2520-(21)r (r =0，1，…，10)，令20－25r =0，得r =8. ∴T 9=C 810(21)8=25645. ∴第9项为常数项，其值为25645. 说明：二项式的展开式的某一项为常数项，就是这项不含“变元”，一般采用令通项T r +1中的变元的指数为零的方法求得常数项.【例6】 (1)求(1+2x )7展开式中系数最大项；(2)求(1－2x )7展开式中系数最大项.分析：利用展开式的通项公式，可得系数的表达式，列出相邻两项系数之间关系的不等式，进而求出其最大值.解：(1)设第r +1项系数最大，则有⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++--,2C 2C ,2C 2C 11771177r r r r r r r r即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--+≥-+--≥---,2!)17(!)1(!72!)7(!!7,2!)17(!)1(!72!)7(!!711r r r r r r r r r r r r化简得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≥--≥.313,316.1271,812r r r r r r 解得又∵0≤r ≤7，∴r =5.∴系数最大项为T 6=C 5725x 5=672x 5.(2)解：展开式中共有8项，系数最大项必为正项，即在第一、三、五、七这四项中取得.又因(1－2x )7括号的两项中后两项系数的绝对值大于前项系数的绝对值，故系数最大值必在中间或偏右，故只需比较T 5和T 7两项系数的大小即可.667447)2(C )2(C --=1737C 4C ＞1，所以系数最大项为第五项，即T 5=560x 4.说明：本例中(1)的解法是求系数最大项的一般解法，(2)的解法是通过对展开式多项分析，使解题过程得到简化，比较简洁.【例7】 (1+2x )n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.分析：根据已知条件可求出n ，再根据n 的奇偶性确定二项式系数最大的项.解：T 6=C 5n (2x )5，T 7=C 6n (2x )6，依题意有C 5n 25=C 6n 26，解得n =8. (1+2x )8的展开式中，二项式系数最大的项为T 5=C 4n (2x )4=1120x 4.设第r +1项系数最大，则有⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++--.2C 2C ,2C 2C 11771177r r r r r r r r∴5≤r ≤6.∴r =5或r =6. ∴系数最大的项为T 6=1792x 5，T 7=1792x 6.说明：(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n 为奇数时中间两项的二项式系数最大；n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大.(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式，再解不等式的方法求得.应 用 篇【例8】若n ∈N *，(2+1)n=2a n +b n (a n 、b n ∈Z )，则b n 的值( ) A.一定是奇数 B.一定是偶数 C.与b n 的奇偶性相反D.与a 有相同的奇偶性分析一：形如二项式定理可以展开后考查.解法一：由(2+1)n =2a n +b n ，知2a n +b n =(1+2)n=C 0n +C 1n2+C 2n (2)2+C 3n (2)3+ … +C nn (2)n.∴b n =1+C 2n (2)2+C 4n (2)4+ …∴b n 为奇数. 答案：A分析二：选择题的答案是唯一的，因此可以用特殊值法. 解法二：n ∈N *，取n =1时，(2+1)1=(2+1)，有b 1=1为奇数. 取n =2时，(2+1)2=22+5，有b 2=5为奇数.答案：A【例9】若将(x +y +z )10展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为( ) A.11 B.33 C.55D.66分析：(x +y +z )10看作二项式10)(］［z y x ++展开.解：我们把x +y +z 看成(x +y )+z ，按二项式将其展开，共有11“项”，即(x +y +z )10=10)(］［z y x ++=∑=1010Ck k(x +y )10－k z k.这时，由于“和”中各项z 的指数各不相同，因此再将各个二项式(x +y )10－k展开，不同的乘积C k10(x +y )10－k z k(k =0，1，…，10)展开后，都不会出现同类项.下面，再分别考虑每一个乘积C k10(x +y )10－k z k(k =0，1，…，10).其中每一个乘积展开后的项数由(x +y )10－k决定，而且各项中x 和y 的指数都不相同，也不会出现同类项.故原式展开后的总项数为11+10+9+…+1=66.答案：D说明：化三项式为二项式是解决三项式问题的常用方法.【例10】求(｜x ｜+||1x －2)3展开式中的常数项.分析：把原式变形为二项式定理标准形状. 解：∵(｜x ｜+||1x －2)3=(||x －||1x )6， ∴展开式的通项是T r +1=C r6(||x )6－r(－||1x )r =(－1)r C r 6(||x )6－2r. 若T r +1为常数项，则6－2r =0，r =3.∴展开式的第4项为常数项，即T 4=－C 36=－20.说明：对某些不是二项式，但又可化为二项式的题目，可先化为二项式，再求解. 【例11】求(x －3x )9展开式中的有理项.分析：展开式中的有理项，就是通项公式中x 的指数为整数的项.解：∵T r +1=C r 9(x 21)9－r(－x 31)r =(－1)rC r 9x627r -.令627r -∈Z ，即4+63r-∈Z ，且r =0，1，2， (9)∴r =3或r =9.当r =3时，627r -=4，T 4=(－1)3C 39x 4=－84x 4. 当r =9时，627r -=3，T 10=(－1)9C 99x 3=－x 3.∴(x －3x )9的展开式中的有理项是第4项－84x 4，第10项－x 3.说明：利用二项展开式的通项T r +1可求展开式中某些特定项.【例12】若(3x －1)7=a 7x 7+a 6x 6+ … +a 1x +a 0，求 (1)a 1+a 2…+a 7； (2)a 1+a 3+a 5+a 7； (3)a 0+a 2+a 4+a 6.分析：所求结果与各项系数有关可以考虑用“特殊值”法，整体解决.解：(1)令x =0，则a 0=－1，令x =1，则a 7+a 6+ … +a 1+a 0=27=128.①∴a 1+a 2+…+a 7=129.(2)令x =－1，则a 7+a 6+a 5+a 4+a 3+a 2+a 1+a 0=(－4)7.②由2)2()1(-得：a 1+a 3+a 5+a 7=21［128－(－4)7］=8256. (3)由2)2()1(+得a 0+a 2+a 4+a 6=21［128+(－4)7］=－8128.说明：(1)本解法根据问题恒等式特点来用“特殊值”法，这是一种重要的方法，它用于恒等式.(2)一般地，对于多项式g (x )=(px +q )n =a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5+a 6x 6+a 7x 7，g (x )各项的系数和为g (1)，g (x )的奇数项的系数和为21［g (1)+g (－1)］，g (x )的偶数项的系数和为21［g (1)－g (－1)］.【例13】证明下列各式(1)1+2C 1n +4C 2n + … +2n －1C 1-n n +2nC nn =3n；(2)(C 0n )2+(C 1n )2+ … +(C n n )2=C nn 2； (3)C 1n +2C 2n +3C 3n + … +n C n n =n 2n －1.分析：(1)(2)与二项式定理的形式有相同之处可以用二项式定理，形如数列求和，因此可以研究它的通项寻求规律.证明：(1)在二项展开式(a +b )n=C 0n a n+C 1n an －1b +C 2n a n －2b 2+ … +C 1-n n ab n －1+C n n b n 中，令a =1，b =2，得(1+2)n=1+2C 1n +4C 2n + … +2n －1C 1-n n +2nC nn ，即1+2C 1n +4C 2n + … +2n －1C 1-n n +2nC nn =3n.(2)(1+x )n(1+x )n=(1+x )2n，∴(1+C 1n x +C 2n x 2+ … +C r n x r + … +x n )(1+C 1n x +C 2n x 2+ … +C rn x r + … +x n )=(1+x )2n.而C n n 2是(1+x )2n的展开式中x n的系数，由多项式的恒等定理，得C 0n C n n +C 1n C 1-n n + … +C 1n C 1-n n +C n n C 0n =C n n 2. ∵C m n =C m n n-，0≤m ≤n ， ∴(C 0n )2+(C 1n )2+ … +(C n n )2=C n n 2.(3)证法一：令S =C 1n +2C 2n +3C 3n + … +n C nn . ①令S =C 1n +2C 2n + … +(n －1)C 1-n n +n C n n =n C n n +(n －1)C 1-n n + … +2C 2n +C 1n =n C n n +(n －1)C 1n + … +2C 2-n n+C 1-n n . ②由①+②得2S =n C 1n +n C 2n +n C 3n + … +n C n n =n (C n n +C 1n +C 2n +C 3n + … +C n n ) =n (C 0n +C 1n +C 2n +C 3n + … +C n n )=n 2n.∴S =n 2n －1，即C 1n +2C 2n +3C 3n + … +n C nn =n 2n －1. 证法二：观察通项：k C k n =k 11C !)(!)1(!)1(!)(!--=---=-k n n k n k n n k n k n .∴原式=n C 01-n +n C 11-n +n C 21-n +n C 31-n + … +n C 11--n n =n (C 01-n +C 11-n +C 21-n +C 31-n +…+C 11--n n )=n 2n－1，即C 1n +2C 2n +3C 3n + … +n C n n =n 2n －1.说明：解法二中k C k n =n C 11--k n 可作为性质记住.【例14】求1.9975精确到0.001的近似值.分析：准确使用二项式定理应把1.997拆成二项之和形式如1.997=2－0.003.解：1.9975=(2－0.003)5=25－C 15240.003+C 25230.0032－C 35220.0033+…≈32－0.24+0.00072≈31.761.说明：利用二项式定理进行近似计算，关键是确定展开式中的保留项，使其满足近似计算的精确度.【例15】求证：5151－1能被7整除.分析：为了在展开式中出现7的倍数，应把51拆成7的倍数与其他数的和(或差)的形式.证明：5151－1=(49+2)51－1=C 0514951+C 15149502+ … +C 505149·250+C 5151251－1，易知除C 5151251－1以外各项都能被7整除.又251－1=(23)17－1=(7+1)17－1=C 017717+C 117716+ … +C 16177+C 1717－1=7(C 017716+C 117715+…+C 1617).显然能被7整除，所以5151－1能被7整除. 说明：利用二项式定量证明有关多项式(数值)的整除问题，关键是将所给多项式通过恒等变形变为二项式形式，使其展开后的各项均含有除式.创 新 篇【例16】已知(x lg x+1)n的展开式的最后三项系数之和为22，中间一项为20000.求x . 分析：本题看似较繁，但只要按二项式定理准确表达出来，不难求解！解：由已知C n n +C 1-n n +C 2-n n=22，即n 2+n －42=0. 又n ∈N *，∴n =6. T 4为中间一项，T 4=C 36 (x lg x )3=20000，即(x lg x )3=1000. x lg x =10.两边取常用对数，有lg 2x =1，lg x =±1，∴x =10或x =101.说明：当题目中已知二项展开式的某些项或某几项之间的关系时，常利用二项式通项公式，根据已知条件列出等式或不等式进行求解.【例17】设f (x )=(1+x )m +(1+x )n (m ，n ∈N *)，若其展开式中关于x 的一次项的系数和为11，问m ，n 为何值时，含x 2项的系数取最小值？并求这个最小值.分析：根据已知条件得到x 2的系数是关于x 的二次表达式，然后利用二次函数性质探讨最小值问题.解：C 1m+C 1n=n +m=11. C 2m +C 2n=21(m 2－m +n 2－n )=21122-+n m ，∵n ∈N *，∴n =6或5，m =5或6时，x 2项系数最小，最小值为25. 说明：本题是一道关于二次函数与组合的综合题.【例18】若(x +x1－2)n的展开式的常数项为－20，求n . 分析：题中x ≠0，当x ＞0时，把三项式(x +x 1－2)n转化为(x －x1)2n ；当x ＜0时，同理(x +x 1－2)n =(－1)n(x －x1)2n .然后写出通项，令含x 的幂指数为零，进而解出n .解：当x ＞0时，(x +x 1－2)n=(x －x1)2n ，其通项为T r +1=C r n 2(x )2n －r (－x1)r =(－1)r C r n 2(x )2n －2r. 令2n －2r =0，得n =r ，∴展开式的常数项为(－1)rC n n 2；当x ＜0时，(x +x 1－2)n =(－1)n (x －x1)2n .同理可得，展开式的常数项为(－1)rC n n 2. 无论哪一种情况，常数项均为(－1)rC n n 2.令(－1)rC n n 2=20.以n =1，2，3，…，逐个代入，得n =3.说明：本题易忽略x ＜0的情况.【例19】利用二项式定理证明(32)n －1＜12+n .分析：12+n 不易从二项展开式中得到，可以考虑其倒数21+n . 证明：欲证(32)n －1＜12+n 成立，只需证(23)n －1＜21+n 成立.而(23)n －1=(1+21)n －1=C 01-n +C 11-n 21+C 21-n (21)2+ … +C 11--n n (21)n －1=1+21-n +C 21-n (21)2+ … +C 11--n n (21)n －1＞21+n .说明：本题目的证明过程中将(23)n －1转化为(1+21)n －1，然后利用二项式定理展开式是解决本问题的关键.【例20】求证：2≤(1+n1)n ＜3(n ∈N *). 分析：(1+n1)n与二项式定理结构相似，用二项式定理展开后分析. 证明：当n =1时，(1+n1)n=2.当n ≥2时，(1+n 1)n =1+C 1n n 1+C 2n 21n + … +C n n (n 1)n =1+1+C 2n 21n+ … +C n n (n 1)n ＞2. 又C k n(n 1)k =kn k k n n n !)1()1(+-- ≤!1k ， 所以(1+n 1)n ≤2+!21+!31+ … +!1n ＜2+211⋅+321⋅+ … +n n ⋅-)1(1=2+(1－21)+(21－31)+ … +(11-n －n1) =3－n1＜3. 综上有2≤(1+n1)n＜3. 说明：在此不等式的证明中，利用二项式定理将二项式展开，再采用放缩法和其他有关知识，将不等式证明到底.【例21】求证：对于n ∈N *，(1+n 1)n ＜(1+11+n )n +1. 分析：结构都是二项式的形式，因此研究二项展开式的通项是常用方法.证明：(1+n 1)n 展开式的通项T r +1=C r n r n 1=rr n n r A !=!1r rn r n n n n )1()2)(1(+--- =!1r (1－n 1)(1－n 2)…(1－nr 1-). (1+11+n )n +1展开式的通项T ′r +1=C r n 1+rn )1(1+=rr n n r )1(!A 1++ =!1r rn r n n n n )1()2)(1(+--- =!1r (1－11+n )(1－12+n )…(1－11+-n r ). 由二项式展开式的通项可明显地看出T r +1＜T ′r +1所以(1+n 1)n ＜(1+11+n )n +1说明：本题的两个二项式中的两项均为正项，且有一项相同.证明时，根据题设特点，采用比较通项大小的方法完成本题证明.【例22】设a 、b 、c 是互不相等的正数，且a 、b 、c 成等差数列，n ∈N *，求证：a n +c n＞2b n.分析：题中虽未出现二项式定理的形式，但可以根据a 、b 、c 成等差数列创造条件使用二项式定理.证明：设公差为d ，则a =b －d ，c =b +d .a n +c n －2b n =(b －d )n +(b +d )n －2b n=［b n－C 1n bn －1d +C 2n b n －2d 2+ … +(－1)n d n ］+［b n +C 1n b n －1d +C 2n bn －2d 2+ … +d n ］ =2(C 2n bn －2d 2+C 4n bn －4d 4…)＞0.说明：由a 、b 、c 成等差，公差为d ，可得a =b －d ，c =b +d ，这就给利用二项式定理证明此问题创造了可能性.问题即变为(b －d )n +(b +d )n ＞2b n ，然后用作差法改证(b －d )n +(b +d )n－2b n＞0.【例23】求(1+2x －3x 2)6的展开式中x 5项的系数.分析：先将1+2x －3x 2分解因式，把三项式化为两个二项式的积，即(1+2x －3x 2)6=(1+3x )6(1－x )6.然后分别写出两个二项式展开式的通项，研究乘积项x 5的系数，问题可得到解决.解：原式=(1+3x )6(1－x )6，其中(1+3x )6展开式之通项为T k +1=C k63k x k ，(1－x )6展开式之通项为T r +1=C r6(－x )r.原式=(1+3x )6(1－x )6展开式的通项为C k 6C r6(－1)r 3k x k +r.现要使k +r =5，又∵k ∈{0，1，2，3，4，5，6}，r ∈{0，1，2，3，4，5，6}，必须⎩⎨⎧==5,0r k 或⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.0,51,42,33,24,1r k r k r k r k r k 或或或或故x 5项系数为C 0630C 56(－1)5+C 1631C 46(－1)4+C 2632C 36(－1)3+C 3633C 26(－1)4+C 4634C 16 (－1)+C 5635C 06(－1)0=－168.说明：根据不同的结构特征灵活运用二项式定理是本题的关键.【例24】(2004年全国必修+选修1)(x －x1)6展开式中的常数项为( ) A.15B.－15C.20D.－20解析：T r +1=(－1)rC r 6(x )6－r x －r=(－1)rC r6x r 233-，当r =2时，3－23r =0，T 3=(－1)2C 26=15. 答案：A【例25】 (2004年)(2x +x )4的展开式中x 3的系数是( ) A.6B.12C.24D.48解析：T r +1=(－1)rC r 4(x )4－r(2x )r=(－1)r 2rC r 4x22r+，当r =2时，2+2r=3，T 3=(－2)2C 24=24. 答案：C【例26】 (2004年理)若(1－2x )9展开式的第3项为288，则∞→n lim (x 1+21x + … +n x1)的值是( )A.2B.1C.21D.52 解析：T r +1=(－1)rC r 9(2x )r=(－1)rC r92xr，当r =2时，T 3=(－1)2C 2922x=288.∴x =23.∴∞→n lim (x 1+21x + … +n x 1)=32132-=2.答案：A【例27】 (2004年文)已知(x －xa )8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是( )A.28B.38C.1或38D.1或28解析：T r +1=(－1)rC r 8x8－r(xa )r =(－a )r C r 8x 8－2r ，当r =4时，T 3=(－a )4C 48=1120，∴a =±2. ∴有函数f (x )=(x －xa )8.令x =1，则f (1)=1或38. 答案：C【例28】 (2004年)若(1－2x )2004=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 2004x 2004(x ∈R )，则(a 0+a 1)+(a 0+a 2)+ (a 0+a 3)+ … +(a 0+a 2004)= .(用数字作答)解析：在函数f (x )=(1－2x )2004中，f (0)=a 0=1，f (1)=a 0+a 1+a 2+ … +a 2004=1， (a 0+a 1)+(a 0+a 2)+(a 0+a 3)+…+(a 0+a 2004) =2004a 0+a 1+a 2+ … +a 2004 =2003a 0+a 0+a 1+a 2+ … +a 2004 =2003f (0)+f (1) =2004. 答案：2004。