考点一:求导公式。
例1. ()f x '是31()213f x x x =++的导函数,则(1)f '-的值是 。
解析:()2'2+=x x f ,所以()3211'=+=-f 答案:3 考点二:导数的几何意义。
例2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ,处的切线方程是122y x =+,则(1)(1)f f '+= 。
解析:因为21=k ,所以()211'=f ,由切线过点(1(1))M f ,,可得点M 的纵坐标为25,所以()251=f , 所以()()31'1=+f f 答案:3例3.曲线32242y x x x =--+在点(13)-,处的切线方程是 。
解析:443'2--=x x y ,∴点(13)-,处切线的斜率为5443-=--=k ,所以设切线方程为b x y +-=5,将点(13)-,带入切线方程可得2=b ,所以,过曲线上点(13)-,处的切线方程为:025=-+y x 考点三:导数的几何意义的应用。
例4.已知曲线C :x x x y 2323+-=,直线kx y l =:,且直线l 与曲线C 相切于点()00,y x 00≠x ,求直线l 的方程及切点坐标。
解析: 直线过原点,则()000≠=x x y k 。
由点()00,y x 在曲线C 上,则02030023x x x y +-=,∴2302000+-=x x x y 。
又263'2+-=x x y ,∴ 在()00,y x 处曲线C 的切线斜率为()263'0200+-==x x x f k ,∴ 26323020020+-=+-x x x x ,整理得:03200=-x x ,解得:230=x 或00=x (舍),此时,830-=y ,41-=k 。
所以,直线l 的方程为xy 41-=,切点坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛-83,23。
考点四:函数的单调性。
例5.已知()1323+-+=x x ax x f 在R 上是减函数,求a 的取值围。
解析:函数()x f 的导数为()163'2-+=x ax x f 。
对于R x ∈都有()0'<x f 时,()x f 为减函数。
由()R x x ax ∈<-+01632可得⎩⎨⎧<+=∆<012360a a ,解得3-<a 。
所以,当3-<a 时,函数()x f 对R x ∈为减函数。
当3-=a 时,()98313133323+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-+-=x x x x x f 。
由函数3x y =在R 上的单调性,可知当3-=a 是,函数()x f 对R x ∈为减函数。
当3->a 时,函数()x f 在R 上存在增区间。
所以,当3->a 时,函数()x f 在R 上不是单调递减函数。
综合(1)(2)(3)可知3-≤a 。
答案:3-≤a 考点五:函数的极值。
例6. 设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。
(1)求a 、b 的值;(2)若对于任意的[03]x ∈,,都有2()f x c <成立,求c 的取值围。
解析:(1)2()663f x x ax b '=++,因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值,则有(1)0f '=,(2)0f '=.即6630241230a b a b ++=⎧⎨++=⎩,.,解得3a =-,4b =。
(2)由(Ⅰ)可知,32()29128f x x x x c =-++,2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--。
当(01)x ∈,时,()0f x '>;当(12)x ∈,时,()0f x '<;当(23)x ∈,时,()0f x '>。
所以,当1x =时,()f x 取得极大值(1)58f c =+,又(0)8f c =,(3)98f c =+。
则当[]03x ∈,时,()f x 的最大值为(3)98f c =+。
因为对于任意的[]03x ∈,,有2()f x c <恒成立,所以 298c c +<,解得 1c <-或9c >,因此c 的取值围为(1)(9)-∞-+∞,,。
答案:(1)3a =-,4b =;(2)(1)(9)-∞-+∞,,。
考点六:函数的最值。
例7. 已知a 为实数,()()()a x x x f --=42。
求导数()x f ';(2)若()01'=-f ,求()x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小值。
解析:(1)()a x ax x x f 4423+--=,∴()423'2--=ax x x f 。
(2)()04231'=-+=-a f ,21=∴a 。
()()()14343'2+-=--=∴x x x x x f 令()0'=x f ,即()()0143=+-x x ,解得1-=x 或34=x , 则()x f 和()x f '在区间[]2,2-上随x 的变化情况()291=-f ,275034-=⎪⎭⎫ ⎝⎛f 。
所以,()x f 在区间[]2,2-上的最大值为275034-=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ,最小值为()291=-f 。
答案:(1)()423'2--=ax x x f ;(2)最大值为275034-=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ,最小值为()291=-f 。
考点七:导数的综合性问题。
例8. 设函数3()fx ax bx c =++(0)a ≠为奇函数,其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线670x y --=垂直,导函数'()f x 的最小值为12-。
(1)求a ,b ,c 的值;(2)求函数()f x 的单调递增区间,并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值。
解析: (1)∵()f x 为奇函数,∴()()f x f x -=-,即33ax bx c ax bx c --+=---∴0c =,∵2'()3f x ax b =+的最小值为12-,∴12b =-,又直线670x y --=的斜率为16,因此,'(1)36f a b =+=-,∴2a =,12b =-,0c =.(23()212f x x x =-2'()6126(f x x x x =-=f =-(3)18f =,∴()f x 在[1,3]-上的最大值是(3)18f =,最小值是f =-答案:(1)2a =,12b =-,0c =;(2)最大值是(3)18f =,最小值是f =-4 强化训练 一、选择题1. 已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为( A ) A .1B .2C .3D .42. 曲线1323+-=x x y 在点(1,-1)处的切线方程为( B )A .43-=x yB .23+-=x yC .34+-=x yD .54-=x y 3. 函数)1()1(2-+=x x y 在1=x 处的导数等于 ( D )A .1B .2C .3D .44. 已知函数)(,31)(x f x x f 则处的导数为在=的解析式可能为 ( A )A .)1(3)1()(2-+-=x x x fB .)1(2)(-=x x fC .2)1(2)(-=x x f D .1)(-=x x f5. 函数93)(23-++=x ax x x f ,已知)(x f 在3-=x 时取得极值,则a =( D ) (A )2 (B )3 (C )4 (D )56. 函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( D )(A)(2,)+∞(B)(,2)-∞(C)(,0)-∞(D)(0,2)7. 若函数()c bx x x f ++=2的图象的顶点在第四象限,则函数()x f '的图象是( A ) 8. 函数231()23f x x x =-在区间[0,6]上的最大值是( A ) A .323 B .163 C .12D .99. 函数x x y 33-=的极大值为m ,极小值为n ,则n m +为 ( A ) A .0B .1C .2D .410. 三次函数()x ax x f +=3在()+∞∞-∈,x 是增函数,则 ( A ) A . 0>aB .0<aC .1=aD .31=a11. 在函数x x y 83-=的图象上,其切线的倾斜角小于4π的点中,坐标为整数的点的个数是 ( D )A .3B .2C .1D .012. 函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ,导函数)(x f '在),(b a 的图象如图所示,则函数)(x f 在开区间),(b a 有极小值点( A )A .1个B .2个C .3个D . 4个 二、填空题13. 曲线3x y =在点()1,1处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为__________。
14. 已知曲线31433y x =+,则过点(2,4)P “改为在点(2,4)P ”的切线方程是______________ 15. 已知()()n f x 是对函数()f x 连续进行n 次求导,若65()f x x x =+,对于任意x R ∈,都有()()n f x =0,则n 的最少值为 。
16. 某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x 吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x = 吨. 三、解答题17. 已知函数()c bx ax x x f +++=23,当1-=x 时,取得极大值7;当3=x 时,取得极小值.求这个极小值及c b a ,,的值.解:()b ax x x f ++=23'2。
据题意,-1,3是方程0232=++b ax x 的两个根,由韦达定理得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯--=+-3313231ba ∴9,3-=-=b a ∴()c x x x x f +--=9323 ∵()71=-f ,∴2=c 极小值()25239333323-=+⨯-⨯-=f∴极小值为-25,9,3-=-=b a ,2=c 。
18. 已知函数.93)(23a x x x x f +++-= (1)求)(x f 的单调减区间;(2)若)(x f 在区间[-2,2].上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.解:(1).963)(2++-='x x x f 令0)(<'x f ,解得,31>-<x x 或 所以函数)(x f 的单调递减区间为).,3(),1,(+∞--∞(2)因为,218128)2(a a f +=+-+=- ,2218128)2(a a f +=+++-=所以).2()2(->f f 因为在(-1,3)上0)(>'x f ,所以)(x f 在[-1,2]上单调递增,又由于)(x f 在[-2,-1]上单调递减,因此)2(f 和)1(-f 分别是)(x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小值.于是有2022=+a ,解得.2-=a故.293)(23-++-=x x x x f 因此,72931)1(-=--+=-f 即函数)(x f 在区间[]2,2-上的最小值为-7. 19. 设0≠t ,点P (t ,0)是函数c bx x g ax x x f +=+=23)()(与的图象的一个公共点,两函数的图象在点P 处有相同的切线。