专题 8：导数（文）经典例题剖析考点一：求导公式。
例 1. f (x) 是 f (x) 1 x3 2x 1 的导函数，则 f ( 1) 的值是。
3解析： f ' x x 2 2 ，所以 f ' 1 1 2 3答案： 3考点二：导数的几何意义。
例 2. 已知函数 y f ( x) 的图象在点 M (1， f (1)) 处的切线方程是 y 1x 2 ，则2f (1) f (1) 。
解析：因为 k 1，所以25，所以 f 1 5 ，所以2 21f ' 1，由切线过点M (1，f (1))，可得点M的纵坐标为2f 1 f ' 1 3答案： 3例 3.曲线y x3 2x2 4x 2 在点 (1， 3) 处的切线方程是。
解析： y' 3x2 4x 4 ，点 (1， 3) 处切线的斜率为k 3 4 4 5 ，所以设切线方程为 y 5x b ，将点 (1， 3) 带入切线方程可得 b 2 ，所以，过曲线上点(1，3) 处的切线方程为：5x y 2 0答案： 5x y 2 0点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。
考点三：导数的几何意义的应用。
例 4.已知曲线 C ：y x3 3x 2 2x ，直线 l : y kx ，且直线l 与曲线C相切于点x0 , y0 x0 0 ，求直线l的方程及切点坐标。
解析：直线过原点，则 k y0 x0 0 。
由点x0, y0在曲线 C 上，则x0y 0 x 0 3 3x 0 22x 0 ， y 0x 0 23x 0 2。
又 y' 3x 26x 2 ，在x 0x 0 , y 0处 曲 线 C 的 切 线 斜 率 为 k f ' x 03x 0 2 6x 02 ，23x 0 226x 0 2 ，整理得： 2 x 0 3x 0 0 ，解得： x 03 0x 03x 0或 x 02（舍），此时， y 03 ， k1 。
所以，直线 l 的方程为 y1x ，切点坐标是8443 , 3 。
28答案：直线 l 的方程为 y1x ，切点坐标是 3 , 342 8点评：本小题考查导数几何意义的应用。
解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。
函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。
考点四：函数的单调性。
例 5.已知 f xax 3 3x 2 x 1在 R 上是减函数，求 a 的取值范围。
解析：函数f x 的导数为f 'x3 26 x 1 。
对于 x R 都有 f ' x0 时，f xax为减函数。
由 3ax 26x 10 x R 可得 a12a，解得 a3 。
所以，36 0当 a3 时，函数 f x 对 x R 为减函数。
x 1 3 x138 。
（ 1） 当 a3时， f x3x 3 3x 239由函数 y x 3 在 R 上的单调性，可知当a3 是，函数 f x 对 x R 为减函数。
（ 2） 当 a3 时，函数 f x 在 R 上存在增区间。
所以， 当 a 3 时，函数 f x 在R 上不是单调递减函数。
综合（ 1）（ 2）（ 3）可知 a 3 。
答案： a3点评：本题考查导数在函数单调性中的应用。
对于高次函数单调性问题， 要有求导意识。
考点五：函数的极值。
例 6. 设函数 f (x)2x 3 3ax 2 3bx 8c 在 x 1 及 x 2 时取得极值。
（1）求 a 、b 的值；（2）若对于任意的 x [0，3] ，都有 f ( x) c 2 成立，求 c 的取值范围。
解析： （ 1 ） f (x)6x 26ax 3b ，因为函数 f (x) 在 x 1 及 x 2 取得极值，则有6 6a 3b，f (1) 0 ， f (2) 0 03 ， b4 。
．即12a 3b ，解得 a24 0．（2）由（Ⅰ）可知， f (x) 2x 3 9x 2 12 x 8c ， f ( x) 6x 218x 12 6( x 1)(x 2) 。
当 x (01)， 时， f (x) 0 ；当 x (12)， 时， f ( x) 0 ；当 x (2，3) 时， f ( x) 0 。
所以，当 x1 时， f ( x) 取得极大值 f (1)58c ，又 f (0) 8c ， f (3) 9 8c 。
则当 x 0，3时， f (x) 的最大值为 f (3) 98c 。
因为对于任意的 x0，3 ，有 f (x) c 2 恒成立，所以9 8c c 2 ，解得c1 或 c 9 ，因此 c 的取值范围为 (， 1) U (9， ) 。
答案：（ 1 ） a 3 ， b 4 ；（ 2） (， 1) U (9， ) 。
点评：本题考查利用导数求函数的极值。
求可导函数 f x 的极值步骤： ①求导数 f ' x ；②求 f ' x0 的根；③将 f ' x0的根在数轴上标出，得出单调区间，由f ' x 在各区间上取值的正负可确定并求出函数f x 的极值。
考点六：函数的最值。
例 7. 已知 a 为实数， fxx 2 4 x a 。
求导数 f ' x ；（ 2）若 f '1 0 ，求 f x在区间2,2 上的最大值和最小值。
解析： （ 1） f x x 3 ax 2 4x 4a ，f ' x 3x 2 2ax 4 。
（2） f ' 1 32a 4 0 ， a1。
f ' x3x 2x 43x 4 x 12令 f ' x 0 ，即 3x 4 x 10 ，解得 x1 或 x 4 x 和 f ' x 在区间2,2，则 f上随 x 的变化情况如下表： 3x22, 111,444,22333f ' x＋0 —＋f x增函数极大值减函数 极小值增函数f19 ， f 450 。
所以， f x 在区间2,2 上的最大值为 f450 ，最2 3 27327小值为 f 19。
2答案：（ 1 ） f 'x 3 x 2 2ax 4 ；（ ）最大值为 f 4 50 ，最小值为 f19 。
23 272点评：本题考查可导函数最值的求法。
求可导函数 f x 在区间 a,b 上的最值， 要先求出函数 f x 在区间 a, b 上的极值， 然后与 fa 和 fb 进行比较， 从而得出函数的最大最小值。
考点七：导数的综合性问题。
例 8. 设函数 f ( x) ax3bx c (a 0) 为奇函数，其图象在点 (1, f (1)) 处的切线与直线x 6 y 7 0 垂直，导函数 f '( x) 的最小值为12 。
（ 1）求 a ， b ， c 的值；（2）求函数 f (x) 的单调递增区间，并求函数 f ( x) 在 [ 1,3] 上的最大值和最小值。
解析： （ 1）∵ f (x) 为奇函数，∴ f ( x)f ( x) ，即 ax 3bx cax 3 bx c∴ c0 ，∵ f '( x) 3ax 2 b 的最小值为 12，∴ b12，又直线 x 6 y 7 0 的斜率为 1，因此， f '(1)3a b6 ，∴ a 2 ， b12 ， c 0 ．6（2） f ( x)2 x3 12x 。
f '(x)6x 2 12 6( x 2)( x2) ，列表如下：x (,2)2( 2, 2)2( 2,)f '( x)0 0f ( x) 增函数极大减函数极小增函数所以函数 f ( x) 的单调增区间是 ( , 2) 和 ( 2, ) ，∵ f ( 1) 10 ，f ( 2) 8 2 ， f (3) 18 ，∴ f ( x) 在 [ 1,3] 上的最大值是 f (3) 18 ，最小值是f ( 2) 8 2 。
答案：（1 ）a 2 ，b 12，c 0 ；（2）最大值是 f (3) 18，最小值是 f ( 2) 8 2 。
点评：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力。
导数强化训练（一）选择题1. 已知曲线 y x2的一条切线的斜率为1，则切点的横坐标为（ A ）4 2A ． 1 B． 2 C． 3 D． 42. 曲线 y x3 3x2 1在点（1，－1）处的切线方程为（ B ）A ．y 3x 4B ．y 3x 2 C． y 4x 3 D． y 4x 53. 函数 y ( x 1) 2 ( x 1) 在x 1处的导数等于（ D ）A ． 1B ．2 C． 3 D ．44. 已知函数 f ( x)在 x 1处的导数为 3,则 f ( x) 的解析式可能为（ A ）A ．f (x) (x 1) 2 3( x 1)B ．f ( x) 2( x 1)C．f (x) 2( x 1) 2 D．f ( x) x 15. 函数 f ( x) x 3 ax 2 3x 9 ，已知 f (x) 在x 3 时取得极值，则 a =（ D ）（ A ） 2 （B ） 3 （ C） 4 （D ） 56. 函数 f ( x) x3 3x2 1是减函数的区间为( D )（Ａ） (2, ) （Ｂ） ( , 2) （Ｃ） ( ,0) （Ｄ） (0, 2)7. 若函数 f x x 2 bx c 的图象的顶点在第四象限，则函数 f ' x 的图象是（A）8.y2x 21 3yyy函数 f ( x)x在区间 [0 , 6] 上的最大值是（A ）33216C ． 12D ． 9A ．xB ．oxo 3o 3xx o9. 函数 y x 33x 的极大值为 m ，极小值为 n ，则 m n 为 （A）AB C ． 2CDA ． 0B ． 1D ．410. 三次函数 fxax 3x 在 x,内是增函数，则（A）A ． a 0B ． a 0C ． a 11D ． a311. 在函数 yx 3 8x 的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数4是（ D）A ． 3B ．2C ． 1D ． 012. 函数 f (x) 的定义域为开区间(a, b) ，导函数 f ( x) 在开区间 (a, b) 内有极小值点（A）A ． 1 个B ． 2 个C ．3 个D ． 4 个f ( x) 在 (a, b) 内的图象如图所示，则函数y?y f (x)Obax（二） 填空题13. 曲 线 yx 3 在 点 1,1 处 的 切 线 与 x 轴 、 直 线 x 2 所 围 成 的 三 角 形 的 面 积 为__________。
14. 已 知 曲 线 y1 x 3 4 ， 则 过 点 P(2, 4) “ 改 为 在 点 P(2, 4) ” 的 切 线 方 程 是33______________15. 已知 f( n )( x) 是对函数 f ( x) 连续进行 n 次求导，若 f ( x)x 6 x 5 ，对于任意 x R ，都有 f (n) (x) =0，则 n 的最少值为。