1,2，
(2)
,1U 9,；例5
(1) f / (x) 3x2 2ax 4,
(2) f (x)max
f
(1)
9 2
,
f
( x) min
f (4) 50 . ； 3 27
例6 (1) a 2, b 12, c 0. (2) , 2 , 2, ; f (x)max f (3) 18, f (x)min f ( 2) 8 2. ；
x
∞，a 3
a 3
a 3
，a
a
(a，∞)
f (x)
0
0
因此，函数
f
(x)
在
x
a 3
处取得极小值
f
a 3
，且
f
a 3
4 27
a3 ；
函数 f (x) 在 x a 处取得极大值 f (a) ，且 f (a) 0 ．
（2）若 a 0 ，当 x 变化时， f (x) 的正负如下表：
x
x
cos
x
1 2
2
1 4
，则函数
g(x)
在
R
上的最大值为
2
．
要使①式恒成立，必须 k 2 k ≥ 2 ，即 k ≥ 2 或 k ≤ 1．
所以，在区间1，0上存在 k 1 ，使得 f (k cos x) ≥ f (k 2 cos2 x) 对任意的 x R 恒成立．
例 9 解：(1)Q f / (x) 3ax2 2x b, f (x) 在 ,0上是增函数，在 0,3上是减函数，
.
3
考点二：导数的几何意义
例2. 已知函数 y f (x) 的图象在点 M (1, f (1)) 处的切线方程是 y 1 x 2 ，则 f (1) f / (1) . 2
考点三：导数的几何意义的应用
例3.已知曲线 C : y x3 3x2 2x, 直线 l : y kx, 且直线 l 与曲线 C 相切于点 x0 , y0 x0 0, 求直
(II)当 a <2 且 a 0 时，无论 a 如何变化，关于 x 的方程 f (x) g(x) 总有三个不同实根，求 m 的取
值范围．
例题参考答案
例 1 3；例 2 3；例 3 y 1 x, 3 , 3 ；例 4 (1) a 3, b 4, 增区间为 ,1, 2,；减区间为
4 2 8
所以当 x 0 时， f (x) 取得极小值，
f / (0) 0,b 0.Q f (2) 0,8a 4 c 0.
又方程
f (x)
0 有三
实根， a
0.
f
/ (x)
3ax 2
2x b
0 的两根分别为 x1
0, x2
2. 3a
又 f (x) 在 ,0上是增函数，在 0,3上是减函数， f / (x) >0 在 ,0上恒成立， f / (x) <0 在
三、方法总结 （一）方法总结
导数是中学限选内容中较为重要的知识，由于其应用的广泛性，为我们解决所学过的有关函数问 题提供了一般性方法，是解决实际问题强有力的工具．导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高 考重点考查的对象．要牢记导数公式，熟练应用导数公式求函数的导数，掌握求导数的方法．应用导 数解决实际问题的关键是要建立恰当的数学模型，了解导数概念的实际背景．应用导数求函数最值及 极值的方法在例题讲解中已经有了比较详细的叙述． （二）高考预测
3
由（Ⅱ）知， f (x) 在 ∞，1上是减函数，要使 f (k cos x) ≥ f (k 2 cos2 x) ， x R
只要 k cos x ≤ k 2 cos2 x(x R) 即 cos2 x cos x ≤ k 2 k(x R) ①
设
g(x)
cos2
x
cos
（Ⅱ）解： f (x) x(x a)2 x3 2ax2 a2 x ， f (x) 3x2 4ax a2 (3x a)(x a) ．
令 f (x) 0 ，解得 x a 或 x a ． 3
由于 a 0 ，以下分两种情况讨论． （1）若 a 0 ，当 x 变化时， f (x) 的正负如下表：
4
2
A．1
B．2
C．3
D．4
2．函数 f (x) x3 ax2 3x 9, 已知 f (x) 在 x 3 时取得极值，则 a （ D ）
（A）2
（B）3
（C）4
3．函数 f (x) 2x2 1 x3 在区间 0,6上的最大值是（ A ）
3
（D）5
32 A． 3
16 B． 3
C．12
D． 9
又 f (x) ax3 x2 bx c(a,b, c R) 有 a( 2) 1, 1 2, a
9．已知函数 f x x3 3ax 1, g x f x ax 5 ，其中 f ' x是的导函数. (I)对满足 1 a 1的一切 a 的值，都有 g x 0 ，求实数 x 的取值范围； (II)设 a m2 ，当实数 m 在什么范围内变化时，函数 y f x的图象与直线 y 3 只有一个公共点.
10．设函数 f (x) tx2 2t 2 x t 1(x R，t 0) ．(I)求 f (x) 的最小值 h(t) ；
(II)若 h(t) 2t m 对 t (0，2) 恒成立，求实数 m 的取值范围．
11．设函数 f (x) x3 (a 1)x 2 4ax b(a,b R). 3
8
(III)在(II)的条件下，若 x 0,时， f (x) > m x 1 恒成立，求实数 m 的取值范围．
24 13．已知函数 f (x) a x3 1 (3a 2)x 2 6x, g(x) ax 2 4x m(a, m R).
32
(I)当 a 1, x 0,3时，求 f (x) 的最大值和最小值；
例 7 解：（Ⅰ） f (x) 3ax2 2bx c ，由已知 f (0) f (1) 0 ，
c 0，
c 0，
即
3a
2b
c
解得
0，
b
3 2
a．
f
( x)
3ax2
3ax
，
f
1 2
3a 4
3a 2
3 2
， a
2 ，
f
(x)
2x3
3x2 ．
（Ⅱ）令 f (x) ≤ x ，即 2x3 3x2 x ≤ 0 ， x(2x 1)(x 1) ≥ 0 ，0 ≤≤x
(I)若函数 f (x) 在 x 3 处取得极小值 1 , 求 a, b 的值；(II)求函数 f (x) 的单调递增区间； 2
(III) 若函数 f (x) 在 (1,1) 上有且只有一个极值点，求实数 a 的取值范围．
12．已知二次函数 f (x) ax 2 bx c(a,b, c R) 满足：对任意 x R ，都有 f (x) ≥ x, 且当 x (1,3) 时，有 f (x) ≤ 1 (x 2)2 成立．(I)试求 f (2) 的值；(II)若 f (2) 0, 求 f (x) 的表达式；
（Ⅲ）当 a 3 时，证明存在 k 1，0，使得不等式 f (k cos x)≥ f (k2 cos2 x) 对任意的 x R 恒成
立．
例 9．已知 f (x) ax3 x2 bx c(a,b,c R) 在 ,0上是增函数, 0,3上是减函数,方程 f (x) 0 有
三个实根，它们分别是 ,2, .(1)求 b 的值，并求实数 a 的取值范围；(2)求证： ≥ 5 . 2
例5.已知 a 为实数， f (x) (x2 4)(x a). (1)求导数 f / (x) ；(2)若 f / (1) 0, 求 f (x) 在区间 2,2上的最值.
考点六：导数的综合性问题
例6.
设函数 f (x) ax3 bx c(a 0) 为奇函数，其图象在点 1, f (1)处的切线与直线
0,3上恒成立．
由二次函数的性质知， a >0 且 2 ≥ 3, 0 < a ≤ 2 .
3a
9
故实
(2) Q ,2, 是方程 f (x) 0 的三个实根，
则可设 f (x) a(x )(x 2)(x ) ax3 a(2 )x2 a(2 2 )x 2a .
4．三次函数 y ax3 x 在 x ,内是增函数，则 （ A ）
A． a 0
B． a 0
C． a 1
D． a 1 3
5．在函数 y x3 8x 的图象上,其切线的倾斜角小于 的点中,坐标为整数的点的个数是（
D
4
）
A．3
B．2
C．1
D．0
6．已知函数 f (x) x3 ax 2 bx c, 当 x 1时，取得极大值7；当 x 1时，取得极小值．求
∞，a
a
a，a 3
f (x)
0
因此，函数 f (x) 在 x a 处取得极小值 f (a) ，且 f (a) 0 ；
a 3
a 3
，∞
0
函数
f
(x)
在
x
a 3
处取得极大值
f
a 3
，且
f
a 3
4 27
a3 ．
（Ⅲ）证明：由 a 3 ，得 a 1 ，当 k 1，0时， k cos x ≤1， k 2 cos2 x ≤1 ．
线 l 的方程及切点坐标.
考点四：函数的单调性
例4.设函数 f (x) 2x3 3ax2 3bx 8c 在 x 1及 x 2 时取得极值.
(1)求 a, b 的值及函数 f (x) 的单调区间；
(2)若对于任意的 x 0,3, 都有 f (x) < c2 成立，求 c 的取值范围.
考点五：函数的最值
的单调性、单调区间和最值问题,解答题侧重于导数的综合应用,即与函数、不等式、数列的综合应用.