普通高等教育“十五”国家级规划教材线性代数标准化作业山东理工大学数学中心2011.2学院班级姓名学号第一章行列式作业1、按自然数从小到大为标准次序，求下列排列的逆序数：（1）1 3…（2n-1）2 4…(2n);（2）1 3…（2n-1）(2n) （2n-2）…4 2.2、填空题（1）排列52341的逆序数是________,它是________排列；（2）排列54321的逆序数是________,它是________排列；（3）1~9这九数的排列1274i56j9为偶排列，则i=______ ，j=_______；（4）四阶行列式中含有因子a11a23的项为________________；（5）一个n阶行列式D中的各行元素之和为零，则D=__________.3、计算行列式21211132110x xxxx x-展开式中x4与x3的系数.4、计算下列各行列式的值：（1）2116415012051422D--=----；（2）1111222111122211112221111222D=；（3）1122331001100110011bb bDb bb--=----；（4）222b c c a a bD a b ca b c+++=；（5）1111111111111111aaDbb+-=+-；（6）102200302004D =.5、用克拉默法则解方程组123123123241,52,4 3.x x x x x x x x x+-=⎧⎪++=⎨⎪-++=⎩7、已知齐次线性方程组有非零解，求λ。

123123123230,220,50.x x x x x x x x xλ++=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩学院 班级 姓名 学号第 二 章 作 业（向量组的线性相关性）1、填空题（1）设β=（3，- 4）， α1=（1，2）， α2=（-1，3），则β表成α1，α2的线性组合为 ；（2）设向量组α1=（1，1，0），α2=（1，3，-1），α3=（5，3，t ）线性相关，则t = ；（3）设向量组α1=（1，1，0），α2=（1，3，-1），α3=（5，3，t ）的秩为3，则参数t 应满足的条件是 ；2、选择题（1）设β，α1，α2线性相关，β，α2，α3线性无关，则正确的结论是（ ）. （A ）α1，α2，α3线性相关； （B ）α1，α2，α3线性无关； （C ）α1可由β，α2，α3线性表示； （D ）β可由α1，α2线性表示. （2）设α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是（ ）. （A ）α1，α2，α3 - α1； （B ）α1，α1+α2，α1+α3； （C ）α1+α2，α2+α3，α3+α1； （D ）α1-α2，α2-α3，α3-α1. 6、设向量组12341111101121,,,,,2324335185a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααααβ 试问（1）当a 、b 为何值时，β能由α1，α2，α3，α4唯一的线性表示？ （2）当a 、b 为何值时，β不能由α1，α2，α3，α4线性表示？（3）当a 、b 为何值时，β能由α1，α2，α3，α4线性表示，但表示法不唯一，并写出表示式.8、已知向量组12301,2,1110a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭βββ与向量组1231392,0,6317⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα具有相同的秩，且β3能由α1，α2，α3线性表示，求a 、b 的值.9、求向量组123452313712024,,,,3283023743--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααααα的秩，并求出它的一个极大无关组.4、通过初等行变换把下列矩阵化为行阶梯形矩阵：（1）310211211344;骣÷ç÷ç÷ç÷--ç÷ç÷ç÷ç÷-桫（2）21837230753258010320⎛⎫⎪--⎪⎪-⎪⎪⎝⎭.5、用初等变换把下列矩阵化为标准形矩阵：（1）321312131370518---⎛⎫⎪--⎪⎪-⎝⎭；（2）11343335412232033421--⎛⎫⎪--⎪⎪--⎪⎪--⎝⎭.学院 班级 姓名 学号第 三 章 作 业（矩阵）1、是非题（设A 、B 、C 均为n 阶的方阵） （1）（A +B ）（A -B ）=A 2-B 2； （ ） （2）若AX =AY ，则X =Y ，其中X 、Y 都是n ×m 矩阵； （ ） （3）若A 2=O ，则A =O ； （ ） （4）若AB =O ，则A =O ，或B =O ； （ ） （5）(ABC )T = C T B T A T . （ ）2、填空题（1）设3阶方阵Ｂ≠0，A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛35342531t ,且AB =0，则t ＝ ；（2）设A ＝⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛543022001，A *为A 的伴随矩阵，则(A *)1-= ；（3）设A 为4阶数量矩阵，且|A |=16,则A ＝ ，A 1-＝ ， A *＝ ;（4）设A 1-＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛8642，则A ＝ ，│4A 1-│＝ ，(A T )1-＝ ； （5）设A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1100210000120025，则│A │＝ ，A 1-＝ ； （6）设实矩阵A 33⨯＝≠)(ij a 0，且011≠a ，ij ij A a =（ij A 为ij a 的代数余子式），则│A │＝ ；（7）设A 为二阶方阵，B 为三阶方阵，且│A │＝1B＝21，则1(2)--O BA O＝ ；（8）设A 为四阶可逆方阵，且│A 1-│＝2，则│3(A *)1-－2A │＝ ;（9）设A ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-133121，且A 6＝E ，则A 11＝ ； （10）设A 为5阶方阵，且A 2 = O ，则R （A *）=___________.3、选择题（1）设同阶方阵A 、B 、C 、E 满足关系式ABC =E ，则必有（ ）. （A ）ACB =E ； （B ） CBA =E ； （C ） BAC =E ； （D ） BCA =E . （2）若A ，B 为同阶方阵，且满足AB ＝0，则有（ ）. （A ）A ＝0或B ＝0； （B ）|A |＝0或|B |＝0； （C ）(A ＋B )2＝A 2＋B 2； （D ）A 与B 均可逆.（3）若对任意方阵B ，C ，由AB =AC （A ，B ，C 为同阶方阵）能推出B =C ，则A 满足（ ）.（A ）A ≠0； （B ）A ＝0； （C ）|A |≠0； （D ）|AB |≠0.（4）若A ，B 为同阶方阵，则有（ ）.（A ）(AB )k ＝A k B k ； （B ）|-AB |＝－|AB |； (C)E 2－(AB )2＝（E －AB ）（E ＋AB ）；（D ）|A ＋B |＝|A |＋|B |.（5）已知A 为n 阶非零方阵，若有n 阶方阵B 使AB ＝BA ＝A ，则（ ）. （A ）B 为单位矩阵；（B ）B 为零方阵；（C ）B 1-＝A ；（D ）不一定.（6）若A ，B ，(B 1-+A 1-)为同阶可逆方阵，则(B 1-+A 1-)1-＝（ ）. （A ）B 1-+A 1-；（B ）B ＋A ；（C ）(B +A )1-；（D ）B (B +A )1-A . 4、计算题（1）43111231;5701⎛⎫⎛⎫⎪⎪- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（2）()31,2,321⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭；（3）()211,2,13⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；（4）()111213112312222321323333,,a a a x x x x a a a x a a a x ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（5）12101031010101210021002300030003⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎪⎪⎪⎪-- ⎪⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭.5、计算下列方阵的幂：（1）已知α=（1，2，3），β=（1，-1，2），A =αT β，求A 4;（2）已知024003000骣÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷桫A=，求A n ;6、设121132a b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A=,B=,若矩阵A 与B 可交换，求a 、b 的值.7、设A 、B 均为n 阶对称矩阵，证明AB +BA 是n 阶对称矩阵.8、设3阶矩阵1122,2,3⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A=B=αβγγγγ，其中α， β， γ1， γ2均为3维的行向量，且|A |=18，|B |=2，求|A -B |.3、求下列矩阵的逆矩阵：（1）求A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1010443143114321的逆矩阵；4、已知A ＝⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛210121012，B ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛3221，C ＝⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛124321，求解下列矩阵方程：（1） AX =X +C ;(2) AXB =C .5、设矩阵300050,003⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭A=且满ABA *+BA *+180E =O ，求矩阵B .6、设A 为n 阶可逆矩阵，将A 的第i 行和第 j 行对换后得矩阵B ，试证： （1）B 可逆；（2）求AB -1.7、求下列矩阵的秩:（1）11221021512031311041⎛⎫⎪-⎪⎪-⎪⎪-⎝⎭A=;（2）11221511061aa-⎛⎫⎪-⎪⎪-⎝⎭A=.8、设矩阵10002300,04500067⎛⎫⎪- ⎪⎪-⎪⎪-⎝⎭A=且满足B=(E+A)-1(E-A)，求(E+B)-1.9、 设A 为n 阶的可逆对称阵，B 为n 阶对称阵，当E +AB 可逆时，试证(E +AB )-1A 为对称矩阵.10、设A 为n m ⨯矩阵，B 为m n ⨯矩阵，且m ＞n ，试证|AB |＝0.学院 班级 姓名 学号第 四 章 作 业 线性方程组一、填空题（1）n 元线性方程组Ax =0有非零解时，它的每一个基础解系所含解向量的个数均为 ；（2）设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零，且R （A ）=n -1，则方程组Ax =0的通解为 .二、选择题（1）设n 元线性方程组Ax =0的系数矩阵A 的秩为n -3，且α1，α2，α3为线性方程组Ax =0的三个线性无关的解向量，则方程组Ax =0的基础解系为（ ）.（A ）α1+α2，α2+α3，α3+α1； （B ）α2 -α1，α3 -α2，α1 -α3；（C ）2α2 -α1，12α3 -α2，α1 -α3； （D ）α1+α2+α3，α3--α2，-α1-2α3.（2）设α1，α2是n 元线性方程组Ax =0的两个不同的解向量，且R （A ）=n -1，k 为任意常数，则方程组Ax =0的通解为（ ）.（A ）k α1； （B ）k α2； （C ）k (α1-α2)； （D k (α1+α2). （3）设向量组α1，α2是方程组Ax =0的基础解系，β1，β2是方程组Ax =b的两个解向量，k 1，k 2是任意常数，则方程组Ax =b 的通解为（ ）.（A ）1211222k k -++x=ββαα;（B ）1211212();2k k ++-+x=ββααα（C ）1211212();2k k ++-+x=ββαββ （D ）1211212().2k k -+++x=ββααα （4）设非齐次线性方程组Ax =b 所对应的齐次线性方程组Ax =0，则下面结论正确的是（ ）。