2017第十一届学而思杯四年级试题详解一、填空题Ⅰ(每题8分,共80分) 1. 计算(1)16 1.740.3+++=. (2)65 1.735 1.7⨯+⨯=.【答案】(1)22;(2)170 【考点】小数巧算 【解析】(1)加减法凑整(2)提取公因数2. 如下图,每个小正方形的面积为1,则图中“2017”的面积是 .【答案】34.5【考点】格点多边形【解析】面积为1的小正方形有30个,面积为0.5的小三角形有9个.3. 甲乙丙丁四人排成一行拍照,有 种不同的排法. 【答案】24【考点】加乘原理【解析】乘法原理即可快速解决:432124⨯⨯⨯=(种).4. 已知五位数403□□是99的倍数,请问这个五位数是 .【答案】40392 【考点】整除特征【解析】方法一:99的整除特征,从右往左两位一段求和,和为4+3+□□,是99的倍数,可以推出=994392=□□--.方法二:试除法,40399994087÷=,40399740392-=.5. 学而思在淘宝上买书架,高书架100元一个,矮书架80元一个,最后花了960元买了10个书架,其中高书架有 个.【答案】8【考点】鸡兔同笼【解析】假设法解决:假设全是矮书架,那10个矮书架共需8010800⨯=(元),比960元少了960800160=-(元),每把一个矮书架换成高书架,多花1008020=-(元),所以高书架有160208÷=(个).6. 艾迪、薇儿和大宽一共买了960元的零食,已知艾迪支付了总费用的一半,薇儿比大宽多支付了100元,那么大宽付了 元. 【答案】190【考点】和差倍问题【解析】艾迪支付了9602480÷=(元),所以薇儿和大宽共支付了剩下480元,其中薇儿多支付100元,所以用和差问题,推出大宽付了4801002190÷=(-)(元).7. 甲乙两人从相距1000米的A 、B 两地同时出发,相向而行,甲每秒能走3米,乙每秒能走2米, 秒后两人将相遇. 【答案】200【考点】相遇问题【解析】路程和÷速度和=相遇时间.8. 只能被1和它本身整除的自然数叫做质数,例如:2、3、5、7、11、13;那么90到100之间有 个质数. 【答案】1【考点】因倍质合 【解析】质数为97.9. 如图所示,圆圈中分别填入1到5这5个数,每个三角形顶点上的三个数之和都是10,那么中间圆圈A 上填的数是 .【答案】5【考点】数阵图【解析】两个三角形顶点上所有数之和为10×2=20,比1234515++++=多了5,而圆圈A正好被算了两次,所以圆圈A 上填的是5.10. 下图中,每个小正方形的面积为1,请问图中面积为4的长方形(包括正方形)共有个.A【答案】12【考点】图形计数【解析】面积为4的长方形分为2×2的正方形和1×4的长方形,前者有8个,后者有4个.二、填空题Ⅱ(每题9分,共36分)11. 下图是一个乘法竖式,最后的乘积结果为 .0×4719□□□□□□□□□□□□□□□【答案】94799 【考点】数字谜【解析】个位分析法推出第一个乘数个位为7,进而推出第一个乘数十位为1,此时第一个乘数乘7为五位数,乘4为四位数,这样的乘数只可能是2017,20174794799⨯=.12. 甲乙丙三个小朋友参加学而思杯考试,满分200分,最后三个人得分各不相同,三个人总分正好能被20和17整除,请问分数最高的甲至少得 分. 【答案】115【考点】最值问题【解析】三人总分最高为2003=600⨯(分),而这个总分正好被20和17整除,所以总分为2017340⨯=(分),此时要求所有人得分各不相同,并且分数最高的人得分尽量低,此时应尽量平分,34031131÷=,再稍作调整,得到三人分数分别为112,113,115.13. 某印刷厂接到订单要印刷一批书,如果每天印刷30本,则会比规定时间晚4天完成任务;为了如期完成任务,印刷厂决定每天多印刷5本,这样刚好能在规定时间完成印刷,那么印刷厂总共要印刷 本书. 【答案】840【考点】盈亏问题【解析】经典盈亏变形题目,把天数变得一样多即可,这儿我们把时间都统一为规定时间,将第一次多的4天给去掉,这样第一次就会比订单要求少印430120⨯=(本),再用总差÷每份差=份数,得出天数为120÷5=24(天),再用30244840⨯+=()(本)或30524840+⨯=()(本),即可算出答案.14. 如图所示,D 是AB 的中点,E 为BC 边靠近B 点的三等分点,已知三角形ADF 的面积为3,三角形CEF 的面积为8,那么三角形ABC 的面积为 .【答案】30【考点】等积变形 【解析】三角形DBF 和三角形ADF 等高,面积相等,都为3;三角形BEF 和三角形CEF 等高,前者为后者的一半,即824÷=,此时得出大三角形CDB 面积为84315++=,大三角形ACD 与三角形CDB 等高,面积相等,都为15,所以三角形ABC 面积为30.三、填空题Ⅲ(每题10分,共40分)15. 如下图所示,在三角形中内接一个正方形和一个三角形,得到一个新的图形,我们称之为一次操作,下图为两次操作之后的结果,那么5次操作后,得到的图形里,共能找到 个三角形.【答案】31【考点】归纳与递推 【解析】原来有1个,每次操作后,三角形增加6个,所以5次操作后变为16531+⨯=(个)16. 好未来小学展开了一项名叫“我最喜欢的学科”的调查,问卷上只有数学和英语两个选项,学生们可以给自己喜欢的学科打勾(可以不选);最后发现,有1000人参与了这次调查,共有1300个勾,其中只喜欢数学的有100人,喜欢英语的学生中有一半同样喜欢数学,那么只喜欢一门学科的有 人. 【答案】500【考点】容斥原理/鸡兔同笼【解析】根据容斥原理知道,所有学生分为4类:只喜欢数学,只喜欢英语,两门都喜欢,CBADEF83两门都不喜欢;其中把只喜欢数学的100人去掉,还剩900人,勾还剩130********-=(个);设两门都喜欢的有x 人,那么只喜欢英语的也有x 人,两门都不喜欢的有9002x (-)人, 两门都喜欢的最后打了2x 个勾,只喜欢英语的打了x 个勾,两门都不喜欢的最后没有打勾;所以列出方程21200x x +=,算出400x =,所以只喜欢数学的100人,只喜欢英语的400人,只喜欢一门的为100400500+=(人).17. 将从1如果一直写下去,肯定会在某行出现连续的两个数字“0”,我们把这样连续两个“0”叫做“双黄蛋”,那么第三个“双黄蛋”出现在第 行. 【答案】156【考点】页码问题/周期问题【解析】数表规律为:从1开始连续自然数,每个数字占一格,写7个数字就换行;第一个“双黄蛋”出现在写100的时候,第二个“双黄蛋”出现在写200的时候; 第三个“双黄蛋”应该出现在写300的时候,不过以防万一,我们算下100、200和300,他们的“0”是否在同一行里,此处我们算下300后一个“0”在哪个位置: 1~9:9个数字;10~99,180个数字;100~300,2013603⨯=(个)数字,所以后一个“0”是第918060379++=(个)数字,算下这个数字的位置,79271131÷=,发现写300时,后一个“0”在第一列,前一个“0”在上一行最后一列,两个“0”不在同一行,所以不符合“双黄蛋”的要求. 同样方法,可以推出100和200都是符合要求的; 所以第三个“双黄蛋”只能出现在写400的时候,这时会再多写100个三位数,即多写300个数字,所以写400时,后一个“0”是第7923001092+=(个)数字,用周期问题算出位置:10927156÷=,所以第三个“双黄蛋”出现在第156行.18. 右图中,三角形ABC 是一个直角三角形,角ABC 是90度,AB =6,BC =8,AD =13,BC和AD 平行,BD 和CE 平行,BF 和DE 平行,那么阴影部分面积为 .13FEDCB A86【答案】24【考点】等积变形【解析】如下图进行三次等积变形,三角形DEF 面积等于三角形BDE 的面积,三角形BDE 的面积等于三角形BCD 的面积,三角形BCD 的面积等于三角形ABC 的面积,三角形ABC 面积为68224⨯÷=,因此三角形DEF 面积为24.四、填空题Ⅳ(每题11分,共44分)19. 已知三位数abc ̅̅̅̅̅,交换数字顺序后得到另外两个三位数bca ̅̅̅̅̅和cab̅̅̅̅̅,这三个三位数恰好组成一个等差数列,并且a =1,b <c ,求bc ̅̅̅= . 【答案】48【考点】位值原理【解析】方法一:枚举法尝试,从b =1开始尝试;方法二:位值原理解决2×bca ̅̅̅̅̅=abc ̅̅̅̅̅+cab̅̅̅̅̅,位值原理得210010)(10010)(10010)b c a a b c c a b ⨯++=+++++(,整理得20020211011101b c a a b c ++=++;继续整理得:18910881b a c =+,743b a c =+,将a =1代入得743b c =+,最后尝试得b =4,c =8,bc ̅̅̅=48.20. 甲乙两人分别从A 、B 两地同时出发,相向而行,甲的速度是乙的2倍,两人相遇后继续前行,各自到达B 、A 两地后立即返回,甲到达B 地后速度减半,乙到达A 地后速度翻倍,最后在C 点相遇,已知A 、B 两地相距300米,请问A 、C 两地相距 米. 【答案】100【考点】相遇问题【解析】我们一段一段的分析路程,即可解决这个问题:刚开始甲的速度是乙的2倍,所以第一次相遇时,路程也应该是2倍的关系,甲走了200米,乙走了100米;甲再往前走100米即可到达B 点,此时乙走的路程为甲的一半,即50米;当甲到达B 点后,速度减半,此时甲乙速度相等,乙再走150米到A 地,此时甲也走了150米;最后乙速度翻倍,变为甲的2倍,所以最后150米的距离,甲走了50米,乙走了甲的2倍100米,最后如图所示,AC 距离100米.68ABCDEF1313FEDCB A8613FEDCB86A21. 有6个数字2、3、4、5、6、7,从中选择4个互不相同的数字,组成一个四位数abcd̅̅̅̅̅̅̅,关于这个四位数,艾迪、薇儿、博士和大宽有以下的对话: 艾迪:“这个四位数是63的倍数.” 薇儿:“前两位ab ̅̅̅是一个质数.”博士:“两位数bd̅̅̅̅是一个质数.” 大宽:“后两位cd̅̅̅是一个平方数.” 已知他们之中只有3人的对话是正确的,所以abcd̅̅̅̅̅̅̅是 . 【答案】4725【考点】因倍质合/整除特征【解析】对于这类问题,我们着重于去找出矛盾,此处看博士和大宽的对话,根据博士的话,bd ̅̅̅̅是一个质数,d 只能是3、7;而根据大宽的对话,cd̅̅̅是一个平方数,d 只 能是4、5和6,此时两人之间必有一人说错,所以艾迪和薇儿说的都是对的; 根据艾迪的话,此数是63的倍数,即同时被7和9整除;根据被9整除,这个四 位数数字和为9的倍数,而我们发现任选四个数字,和最小为234514+++=, 最大为456722+++=,所以这四个数字之和只能为18.下面我们讨论下博士和大宽到低谁对谁错;如果博士对,那么ab ̅̅̅和bd̅̅̅̅都是质数, b 和d 一个选3,另一个选7,此时根据数字和为18,可以轻易推出a 和c 一个选2,另一个选6;此时试验下来,abcd̅̅̅̅̅̅̅可能为2367、6723,两个都不是7的倍 数,排除这种可能,所以博士的对话是错的,大宽的对话才是对的,cd̅̅̅是一个平 方数.观察后两位cd̅̅̅是一个平方数,只可能是25、36、64; 如果cd ̅̅̅是25,根据9的整除特征,得出前两个数字分别为4和7,此时ab ̅̅̅只能是 47,四位数4725是7的倍数,符合条件;如果cd̅̅̅是36,根据9的整除特征,得出前两个数字分别为4和5,或者2和7, 然而4和5或者2和7都无法组出质数,不符合条件,排除;如果cd ̅̅̅是64,根据9的整除特征,得出前两个数字分别为3和5,此时ab ̅̅̅是个质 数,只能是53,四位数5364不是7的倍数,不符合条件,排除;所以答案是 4725.22. 黑板上从1开始写了很多平方数:1、4、9、16……我们把相邻两个平方数相减,求出来的差写在两个数之间,例如:1和4相减,求出来3,将3写在1和4之间,变成1、3、4……再把4和9相减,求出来5,将5写在4和9之间,变成1、3、4、5、9……这样操作完之后,整个数列变成了1、3、4、5、9、7、16. 然后我们把数列里所有的数连在一起,组成一个很长的数:13459716……我们把这个数叫做“学而思数”.2001001005015015010050ABC(1)这个数从左往右第10个数字是.(2)黑板上第一次出现“484”时,这个8是从左往右第个数字.(3)从左往右第600个数字是.【答案】(1)2;(2)91;(3)0.【考点】杂题【解析】(1)写出前10个数字:1345971692,第10个数字为2;(2)我们知道相邻两个平方数的差为奇数,而484三个数字都是偶数,所以写出484有以下三种可能:=⨯,当写到22的平方时出现;①4842222②484前面48是某个平方数的后半部分,但平方数个位不可能是8,排除;③484前面4是某个平方数的后半部分,简单尝试后,结果比22的平方大很多;数字,平方数之差到22222143-=,43是第21个平方差,前面所有平方差共有:+=()(个)数字,所以写完22的平方484后,共写了543892 41214238⨯+-⨯=(个)数字,所以8是从左往右第91个数字.(3)从上表,我们写到31的平方数后,粗略估计,离600个数字还差的比较远,所以我们试下写完所有四位平方数,也就是写到99的平方数:⨯=(个)数字;一位平方数221~3:313二位平方数224~9:93212()(个)数字;-⨯=三位平方数2210~31:319366()(个)数字;-⨯=四位平方数2232~99:9931)4272((个)数字;-⨯=平方差写到了22-=,是第98个平方差:9998197一位平方差:4个数字;二位平方差:494290()(个)数字;-⨯=三位平方差:98493147-⨯=()(个)数字;++++++=(个)数字;算出写完99的平方后,共写了31266272490147594-=(个)数字,再往后写6个数字,99的平方后面应该是还差600594622-=,再往后是100的平方,即10000,所以第600个数字是0.10099199。