1第四章 根轨迹法习题及答案1系统的开环传递函数为)4)(2)(1()()(*+++=s s s K s H s G试证明点311j s +-=在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益*K 和开环增益K 。

解 若点1s 在根轨迹上，则点1s 应满足相角条件π)12()()(+±=∠k s H s G ，如图解4-1所示。

对于31j s +-=，由相角条件=∠)()(11s H s G=++-∠-++-∠-++-∠-)431()231()131(0j j jππππ-=---632满足相角条件，因此311j s +-=在根轨迹上。

将1s 代入幅值条件：1431231131)(*11=++-⋅++-⋅++-=j j j K s H s G ）（解出 ： 12*=K ， 238*==K K 2 已知开环零、极点如图4-22所示，试绘制相应的根轨迹。

（ａ） （ｂ） （ｃ） （ｄ）2解 根轨如图解4-2所示：3 已知单位反馈系统的开环传递函数，要求：（1）确定)20)(10()()(2+++=*s s s z s K s G 产生纯虚根为1j ±的z 值和*K 值；（2）概略绘出)23)(23)(5.3)(1()(j s j s s s s K s G -+++++=*的闭环根轨迹图（要求（ｅ） （ｆ） （ｇ） （ｈ） 题4-22图 开环零、极点分布图图解4-2 根轨迹图3确定根轨迹的渐近线、分离点、与虚轴交点和起始角）。

解（1）闭环特征方程020030)()20)(10()(2342=++++=++++=***z K s K s s s z s K s s s s D有 0)30()200()(324=-++-=**ωωωωωK j z K j D令实虚部分别等于零即： ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-**0300200324ωωωωK z K把1=ω代入得： 30=*K ， 30199=z 。

（2）系统有五个开环极点：23,23,5.3,1,054321j p j p p p p --=+-=-=-==① 实轴上的根轨迹：[],5.3,-∞- []0,1-② 渐近线： 1 3.5(32)(32) 2.15(21)3,,555a a j j k σπππϕπ--+-++--⎧==-⎪⎪⎨+⎪==±±⎪⎩③ 分离点：02312315.31111=+++-++++++j d j d d d d 解得： 45.01-=d , 4.22-d (舍去) , 90.125.343j d ±-=、 (舍去)④ 与虚轴交点：闭环特征方程为0)23)(23)(5.3)(1()(=+-+++++=*K j s j s s s s s D把ωj s =代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：⎪⎩⎪⎨⎧=+-==-+=*05.455.43 )Im(05.795.10)Re(3524ωωωωωωωj K j解得：⎩⎨⎧==*00K ω ，⎩⎨⎧=±=*90.7102.1K ω，⎩⎨⎧-=±=*3.1554652.6K ω（舍去）⑤ 起始角：根据法则七（相角条件），根轨迹的起始角为74..923..1461359096..751804=----=p θ由对称性得，另一起始角为74.92，根轨迹如图解4-6所示。

图解4-6 根轨迹图44 已知控制系统的开环传递函数为22)94(2)()(+++=*s s s K s H s G ）（ 试概略绘制系统根轨迹。

解 根轨迹绘制如下：① 实轴上的根轨迹： []2,-∞- ② 渐近线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=+=-=--+---=πππϕσ,33)12(323)2(5252k j j a a ③ 分离点：21522522+=-++++d j d j d解之得：29.3-=d 71.0=d (舍去)④ 与虚轴交点：闭环特征方程为02)94()(22=++++=*）（s K s s s D把ωj s =代入上方程，令⎪⎩⎪⎨⎧=-+==++-=**8)72())(Im(028134))(Re(324ωωωωωωK j D K j D 解得：⎩⎨⎧=±=*9621K ω ⑤ 起始角： πθ）（）（129022901+=⨯--k p解出135,4521-==p p θθ 根轨迹如图解4-7所示。

4-８ 已知系统的开环传递函数为图解4-7 根轨迹图5)93()(2++=*s s s K s G 试用根轨迹法确定使闭环系统稳定的开环增益K 值范围。

解 根轨迹绘制如下：① 实轴上的根轨迹： (]0,∞- ②起始角：30-③渐近线： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=+=-=--+-=πππϕσ,33)12(136.25.16.25.1k j j a a④ 与虚轴交点：闭环特征方程0)9()(2=+++=*K s s s s D把ωj s =代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=*09))(Im(03))(Re(32ωωωωωj D K j D 解得： ⎩⎨⎧==*00K ω⎩⎨⎧=±=*273K ω 根轨迹如图解4-8所示。

从根轨迹图可知，闭环系统稳定的*K 范围为270<<*K ，又9*K K =，故相应的的K 范围为30<<K 。

5单位反馈系统的开环传递函数为)5.0)(2()52()(2-++-=*s s s s K s G试绘制系统根轨迹，确定使系统稳定的K 值范围。

解 根轨迹绘制如下：① 实轴上的根轨迹： []5.0,2- ② 分离点：由图解4-8 根轨迹图6211211215.01j d j d d d --++-=++-解得： 41.01-=d 。

③与虚轴交点：0)52()5.0)(2()(2=+++-+=*s s K s s s D把s=j ω代入上方程，令⎪⎩⎪⎨⎧=-==-++-=***0)25.1())(Im(015)1())(Re(2ωωωωK j D K K j D 解得： ⎩⎨⎧==*2.00K ω ⎩⎨⎧=±=*75.025.1K ω根轨迹如图解4-10所示。

由图解4-10可知系统稳定的*K 值范围为75.02.0<<*K ；又*=K K 5， 所以系统稳定的K 值范围为75.31<<K 。

6 试绘出下列多项式方程的根轨迹。

⑴023223=++++K Ks s s s ；解 ⑴ 023223=++++K Ks s s s 作等效开环传递函数 ss s s K s G 32)2()(23*+++=。

根轨迹绘制如下：① 实轴上的根轨迹： []0,2- ② 渐近线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=+==----++-=22)12(02)2()21(21ππϕσk j j a a ③ 起始角：48.1926.1259074.541801=--+=p θ图解4-10 根轨迹图7根轨迹如图解4-11(a)所示。

7 控制系统的结构如图4-23所示，试概略绘制其根轨迹。

解 系统开环传递函数为3)2()1()(++=*s s K s G 此系统为正反馈系统，应绘零度根轨迹。

① 实轴上的根轨迹：[]2,-∞-,[]+∞-,1 ② 分离点： 1123+=+d d 解得 5.0-=d③ 起始角：根据相角条件，∑∑===-nj jm i i k 112πθϕ得 601=p θ， 602-=p θ， 1803=p θ。

根轨迹如图解4-12所示。

8 设单位反馈系统的开环传递函数为)2()1()(+-=*s s s K s G试绘制其根轨迹，并求出使系统产生重实根和纯虚根的*K 值。

解 由开环传递函数的表达式知需绘制0根轨迹。

① 实轴上的根轨迹： [],0,2- ),1[∞+； ② 分离点：11211-=++d d d 解得：732.01-=d , 732.22=d将732.01-==d s , 732.22==d s 代入幅值条件得54.01=*d K , 46.72=*d K③ 与虚轴交点：闭环特征方程为图解4-11(a) 根轨迹图图解4-12 根轨迹图80)1()2()(=-++=*s K s s s D把ωj s =代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：⎪⎩⎪⎨⎧=-==+-=**)2())(Im(0))(Re(2ωωωωK j D K j D 解得： ⎩⎨⎧==*00K ω⎩⎨⎧=±=*241.1K ω 根轨迹如图解4-13所示，复平面上的根轨迹为以开环零点为圆心，开环零点到分离点的距离为半径的圆 。

系统产生重实根的*K 为0.54，7.46，产生纯虚根的*K 为2。

9 已知单位反馈系统的开环传递函数，试绘制参数b 从零变化到无穷大时的根轨迹，并写出2=b 时系统的闭环传递函数。

（1）))(4(20)(b s s s G ++=（2）)10()(30)(++=s s b s s G解 （1）做等效开环传递函数G *(s)204)4(2+++=s s s b① 实轴上的根轨迹：]4,(--∞ ② 分离点：41421421+=-++++d j d j d解得：472.01-=d (舍去)，472.82=d如图解4-14(a)所示，根轨迹为以开环零点为圆心，开环零点到开环极点的距离为半径的圆。

当2=b 时，两个闭环特征根为24.432,1j ±-=λ。

此时闭环传递函数为)24.43)(24.43(20)(j s j s s -+++=Φ图解4-13 根轨迹图图解4-14(a) 根轨迹图9图解4-14(b) 根轨迹图（2）做等效开环传递函数G *(s)=)40(30+s s b① 实轴上的根轨迹：[]0,40--② 分离点： 04011=++d d 解得：20-=d根轨迹如图解4-14(b)所示，当2=b 时，两个闭环特征根为44.381-=λ，56.12-=λ 此时闭环传递函数为)44.38)(56.1()2(30)(+++=Φs s s s11 已知系统结构图如图4-24所示，试绘制时间常数T 变化时系统的根轨迹，并分析参数T 的变化对系统动态性能的影响。

解：ss Ts s G 20100)(23++=作等效开环传递函数32*)10020(1)(s s s T s G ++=根轨迹绘制如下：① 实轴上的根轨迹：]10,(--∞,[]0,10- ② 分离点：1023+=d d 解得 30-=d 。

根据幅值条件，对应的015.0=T 。

③ 虚轴交点：闭环特征方程为010020)(23=+++=s s Ts s D把ωj s =代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=020))(Im(0100))(Re(32ωωωωωT j D j D 图 4-24 系统结构图10解得： ⎩⎨⎧=±=2.010T ω④ 起始角：︒=601p θ参数T 从零到无穷大变化时的根轨迹如图解4-15所示。