Σ(由各极点指向轨迹点的方向角) = 指向正左方。
L(s)的相角
2. 绘制根轨迹的一般规则 ➢ 绘制系统的根轨迹，首先写出系统的特征方程
1G (s)H(s)0
➢ 然后将此方程中开环传递函数部分改写为零极点增
益形式，即特征方程可等价为
1 K (s z 1 ) (s z 2 ) (s z m ) 1 K M (s ) 0
如果实轴上相邻两极点（或两零点）之间的线段 属于根轨迹，则它们之间必存在分离点（或会合 点）。
分离点是特征方程的重根，因此有
KM(s)N(s) 0 KM(s)N(s) 0
G(s)H(s) KM(s) N(s)
dK 0 ds
或
dN (s) N (s)M (s)N (s)M (s)
( ) dsM (s)
稳定性——无论K取何值，由图4-1表示的控制系统 的闭环极点均位于复平面的左半平面，因此系统是 闭环稳定的；
动态性能——k=1（K=0.5）是此二阶系统由过阻 尼状态过渡到欠阻尼状态的分界点，不同的阻尼状 态对应的系统动态特性有明显差别；
稳态性能——系统属于I型系统，K即为静态速度 误差速度系数。如果给定稳态误差要求，则由根轨 迹图可以确定闭环极点位置的允许范围。
1G (s)H (s)1 K (s1) 0 s(s2)(s4)2
试大致绘制其根轨迹。
j [s]
j [s]
二重极点
-4
-2
-1
0
-4
-2 -1
0
(a)
(b)
根轨迹图
➢ 规则五 根轨迹的分离点和会合点
两条或两条以上的根轨迹分支在复平面上相遇又 分开的点称为分离点。
一般常见的分离点多位于实轴上，但有时也产生 于共轭复数对中。
3）闭环系统根轨迹增益=开环系统前向通道的根轨迹增益。
单位反馈系统 1）闭环系统的根轨迹增益就等于开环系统的根轨迹增益；
2）闭环系统的零点就是开环系统的零点。
K' KG'KH'
根轨迹法：由开环系统的零点和极点，不通过解闭环特 征方程找出闭环极点!
4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则
1. 绘制根轨迹的基本条件
a
i 1
j 1
nm
渐近线与实轴正方向的夹角
a180 n (2m k1) (k0,1,2, )
➢ 当k=0时，对应与实轴有最小夹角的渐近线。 ➢ 尽管这里假定k可以取无限大，但随着k值的
增加，渐近线与实轴正方向的夹角会重复出 现，并且独立的渐近线只有(n-m)条。 ➢ 例4-2 已知一四阶系统的特征方程为
i1
j1
h
f
l
(spi) (spj)K' (szi)
(szj)
i1
j1
i1
j1
G(s)K sG ((T11 ss11))((T2222ss2222T 22ss 11))
f
m个零点(m=f + l ) n个极点(n= q + h)
(szi)
KG'
i1 q
(spi)
i1
f
l
前向通道增益 前向通道根轨迹增益
k k 0 z1 1 k 0
p2 1 T k
0 p1 0
根轨迹图
➢ 规则四 根轨迹的渐近线
如果开环零点的数目m小于开环极点数n，即n >m，则有( n – m )条根轨迹沿着渐近线终止于无 穷远处。渐近线的方位可由下面的方程决定
渐近线与实轴的交点坐标
n
m
pi z j
(1) 将图4-1所示系统的开环传递函数转化为
G (s) K k ; k2K s(0.5s1) s(s2)
上式便是绘制根轨迹所用的开环传递函数的 标准形式——零极点增益形式。 (2) 将两个开环极点p1=0和p2=-2绘于复平面上， 并用“×”表示。 (3) 求出闭环系统的特征方程和闭环极点
D(s)s22sk0
由于闭环极点或为实数或为共轭复数，所以根轨 迹是对称于实轴的。
仅需先画出S平面上半部和实轴上的根轨迹，下 半部由镜象求得。
➢ 规则二 根轨迹的起点、终点和分支数
系统的根轨迹起点为开环极点，终点为开环零点 （或无穷远处）。
由于系统的特征方程有n个根，所以当可变参数K 由零变化到无穷时，这n个特征根必然会随K的变 化出现n条根轨迹。
s 1 1 1 k, s 2 1 1 k
(4).闭环系统极点与标准化参数之间的关系可由图4-2 表示
k
j [s]
. k 3 . k 2
k 0
k 1 k 0
-2
-1
. k 2
. k 3
0
k
图 4-2 二阶系统根轨迹
从图中可以看出 ① 当k=0时，p1、p2与s1、s2重合，即开环极点
➢ 由于根轨迹的对称性，对应于同一对极点
（或零点）的出射角（或入射角）互为相反
数。即有 p1 p2 ,z1 z2
➢ 根轨迹从复数极点pr出发的出射角为
n
m
p r 1 8 0 (2 k 1 ) a rg (p r p j)a rg (p r z i)
j 1 ,j r
i 1
➢ 根轨迹到达复数零点zr的入射角为
(s p 1 ) (s p 2 ) (s p n )
N (s )
上式为绘制根轨迹的标准形式。
➢ 规则一 根轨迹各条分支是连续、关于实轴对称
特征方程中的某些系数是连续变化参数K的函数， 这些系数也是连续变化的。
系统的特征方程为代数方程，代数方程中的系数 连续变化时，代数方程的根也连续变化，所以特 征方程的根轨迹是连续的。
实轴上的根轨迹由位于实轴上的开环极点和零点 确定。
根据相角条件可以证明，实轴上根轨迹区段右侧 的开环零极点数目之和为奇数。
➢ 例 4-1 已 知 一 单 位 负 反 馈 系 统 的 开 环 传 递 函 数 为 G(s) K(s 1) 。其中，τ>T。试大致绘出其根轨迹。
s(Ts 1)
j [s]
➢ 根轨迹是连续且对称于实轴的，这也是根 轨迹的一个特性；
➢ 绘制根轨迹时选择的可变参数可以是系统 的任何参量，但最常用的是系统的开环增 益——常规根轨迹。
2、闭环零、极点与开环零、极点间的关系
R(s)
+-
C(s) G(s)
H (s)
f
h
(s)1G G (s()sH )(s)q
KG' (szi) (spj)
③欲知闭环极点在复平面上的位置，就要求解系统 特征方程，当特征方程阶次较高时，计算相当麻 烦。
④研究系统参数变化对闭环极点位置的影响，对分 析、设计控制系统是很有意义的。
3. 根轨迹法
一种求取闭环系统的特征根的图解法（1948年， 由W. Evans在“控制系统的图解分析”一文 中提出）。
➢ 绘制根轨迹所依据的条件是 ① 幅值条件
② 相角条件
G(s)H(s) 1
G ( s ) H ( s ) a r g [ G ( s ) H ( s ) ] 1 8 0 i 3 6 0 ( i 0 , 1 , 2 ,)
m
(s zi )
G(s)H(s) K
i1 n
1
(s pi )
根轨迹在复平面上的分支数等于闭环特征方程的 阶数，也就是说，根轨迹的分支数等于闭环极点 的个数，也等于开环极点的数目（Why？）。
幅值条件
n
s pi
K ＝ i1 m
s zi
i1
K 0
s值必须趋近于
某个开环极点
根轨迹起始于开环极点
K
s值必须趋近于
某个开环零点
根轨迹终止于开环零点
➢ 规则三 实轴上的根轨迹
已知开环零极点分布，研究一个或几个参数变化 对闭环极点位置的影响，从而进一步分析系统的 性能（如稳定性、动态性能、稳态性能等）。
以前控制系统根轨迹绘制很麻烦，现在使用 MATLAB非常方便。
4.1 根轨迹的基本概念
1、根轨迹的基本概念
R(s)
+ -
K
C(s)
s(0.5s1)
图 4-1 控制系统框图
➢ 绘制根轨迹，需要从系统的闭环特征方程入手。 设负反馈系统的开环传递函数为G(s)H(s)，其中 G(s)和H(s)分别为控制系统的前向通道传递函数 和反馈通道传递函数，则闭环系统的特征方程为
1G(s)H(s)0 G(s)H(s)1
将上式改写成
G ( s ) H ( s )e j G ( s ) H ( s ) 1 e j( 1 8 0 i3 6 0 ) ( i 0 ,1 ,2 , )
n
m
zr 1 8 0 (2 k 1 )a rg (zr p j) a rg (zr z i)
j 1
i 1 ,i r
4.3 广义根轨迹
➢ 参数根轨迹 ➢ 附加开环极点和零点的作用 ➢ 零度根轨迹
(s p j) j 1
前向通道极点 反馈通道极点
f
h
(s)1G G (s()sH )(s)q
KG' (szi) (spj)
i1
j1
h
f
(spi) (spj)K' (szi)
l
(szj)
i1
j1
i1
j1
1）闭环系统的零点=前向通道的零点+反馈通道的极点；
2）闭环系统的极点与开环系统的极点、零点以及根轨迹 增益均有关；
i1
m个零点、n个极 点（nm）
幅值条件
m
s zi
K
i1 n
s pi
i1
1
1）幅值条件不但与开环零、
极点有关，还与开环根轨迹
增益有关；
2）必要条件