◦ 以上问题等价于在图中寻找从根节点到某个（或某些）
目标节点的一条（或一组）路径。

1 问题状态空间的构成
状态空间表示法是以“状态空间”的形式对问题 进行表示。 1）状态：是描述问题求解过程中不同时刻状况的 数据结构。一般用一组变量的有序集合表示：Q＝（q1， q2，…，qn） 其中每个元素qi为集合的分量，称为状态 变量，当给每个分量以确定的值时，就得到了一个具体的 状态。
2
3 1 3
2 1
3
2 1 3 1 1
2 3 2 3
2
1
初始棋局
17
目标棋局

产生式系统（production system）
◦ 一个总数据库：它含有与具体任务有关的信息。随着应 用情况的不同，这些数据库可能简单，或许复杂。 ◦ 一套规则：它对数据库进行操作运算。每条规则由左部
鉴别规则的适用性或先决条件以及右部描述规则应用时所 完成的动作。 ◦ 一个控制策略：它确定应该采用哪一条适用规则，而且 当数据库的终止条件满足时，就停止计算。
Q () Q Q
((1,1))
((1,1) (2,3))
((1,1) (2,4))
((1,1) (2,4) (3,2))
Q () Q
((1,1))
((1,1) (2,3))
((1,1) (2,4))
((1,1) (2,4) (3,2))
Q ()
((1,1))
((1,1) (2,3))
((1,1) (2,4))
◦ 系统状态的描述 四个皇后 ((i1,j1), (i2,j2), (i3,j3), (i4,j4))
()
Q ()
((1,1))
Q ()
Q
((1,1))
((1,1) (2,3))
Q ()
((1,1))
((1,1) (2,3))
Q ()
Q
((1,1))
((1,1) (2,3))
((1,1) (2,4))


盲目搜索 只是可以区分出哪个 是目标状态。 一般是按预定的搜索 策略进行搜索。 没有考虑到问题本身 的特性，这种搜索具 有很大的盲目性，效 率不高，不便于复杂 问题的求解。

启发式搜索 是在搜索过程中加入 了与问题有关的启发 式信息，用于指导搜 索朝着最有希望的方 向前进，加速问题的 求解并找到最优解。

可以看出，这种求解过程呈现出递归过程的性质。求解过程在每
个节点上的检查遵循着递归方式。

递归法是回溯策略的一种最直接的实现方法。

例：四皇后问题
◦ 在４×４方格的棋盘内， 放置四个皇后
◦ 使任意两个皇后不在同一 行、同一列、同一对角线 （斜线）上 ◦ 要求：找出所有的摆法

状态描述：
◦ 单个皇后位置的描述： 用(i,j)表示皇后在第i行j 列
内容： 状态空间的搜索问题。 搜索方式：
◦ 盲目搜索 ◦ 启发式搜索

关键问题： 如何利用知识，尽可能有效地找到问题的解（最 佳解）。

2.1.1 图的概念
◦ 图是节点及连接节点的弧的集合。 ◦ 由方向性的弧连接的图是有向图。 ◦ 节点深度的表示：根节点深度为0，其他节点深度dn+1=dn+1。 ◦ 路径：N个有序节点组成的序列中，若每对相邻节点都表示一条弧，则称该 序列为图中长度为N-1的一条路径。 ◦ 路径耗散值：令 C（ ni，nj）为节点 ni到节点nj这段路径（或弧线）的耗散 值，一条路径的耗散值等于这条路径上所有弧线耗散值的总和。路径耗散 值可按如下递归公式计算：C（ni，t）=C（ni，nj）+C（nj，t） ◦ 节点的扩展：操作符（规则）作用到节点（对应于某一状态描述）上，生 成其所有后继节点（新状态），并给出弧线的耗散值（相当于使用规则的 代价），这个过程叫做扩展一个节点。
直接返回一个结果。所有递归程序都必须至少拥有一个基线条件，而且必须确保它 们最终会达到某个基线条件；否则,程序永远运行，直到缺少内存或者栈空间。
int ListLenght(LIST *pList) { if (pList == NULL) return 0; else return ListLength(pList->next)+1; }
((1,2))
((1,1) (2,3))
((1,1) (2,4))
((1,2) (2,4))
((1,1) (2,4) (3,2))
Q () Q Q
((1,1))
((1,2))
((1,1) (2,3))
((1,1) (2,4))
((1,2) (2,4))
((1,2) (2,4) (3,1))
((1,1) (2,4) (3,2))



搜索法的主要任务：确定以何种方式选择规则？ 求任一解路的搜索策略： backtracking、 Hill Climbing、 Breadth-first、 Depth-first、Beam Search、 Best-first (A). 求最佳解路的搜索策略：Branch and Bound、 Dynamic Programming、Optimal search (A*). 求与或图解图的搜索策略： AO*、 Minimax、Alpha-beta Pruning、 Heuristic Pruning.
Q () Q Q
((1,1))
((1,2))
Q
((1,1) (2,3))
((1,1) (2,4))
((1,2) (2,4))
((1,2) (2,4) (3,1))
((1,1) (2,4) (3,2))
((1,2) (2,4) (3,1) (4,3))
从前有座山……
从前有座山……
从前有座山……
当前状态
18

例： 二阶Hanoi塔问题 已知三个柱子1，2，3和两个盘子A，B（A比B 小）。初始状态下，A和B依次放在1柱上。目标状 态是A和B依次放在3柱上。条件是每次可移动一个 盘子，盘子上方是空项方可移动，而且任何时候都 不允许大盘在小盘之上。
解： 1）定义问题状态的描述形式 设用SK＝(SKA,SKB)表示问题的状态，SKA表示盘子 A所在的柱号，SKB表示盘子B所在的柱号。 2）用所定义的状态描述形式把问题的所有可能的状态 都表示出来，并确定出问题的初始状态集合描述和目标 状态集合描述。本问题所有可能的状态共有9种，如下 所示： S0＝（1，1） S1＝（1，2） S2＝（1，3） S3＝（2，1） S4＝（2，2） S5＝（2，3） S6＝（3，1） S7＝（3，2） S8＝（3，3）
至此，该问题的状态空间（S,F,G）构造完成。
1 ，1
2 ，1
3 ，1
2 ，3
3 ，2
3 ，3
1 ，3
1 ，2
2 ，2
为提供对问题的形式描述，需要：
1.
定义状态空间，包含问题相关对象的各种可能排列。对空间 的定义不必枚举所有状态。 规定一个或多个属于该空间的初始状态。该状态用以描述问 题求解过程开始时的状态。 规定一个或多个属于该空间的目标状态。该状态用以判断是 否得到了问题的解。 规定一组规则。描述可使用的操作或算子。 将待求解问题转换成状态空间描述后，使用控制策略对 规则进行选择性的应用，在问题状态空间内进行搜索，直到

二阶Hanoi塔问题的状态
3）定义一组算符F 定义算符A（i，j）表示把盘子A从第i号柱 子移到第j号柱子上的操作；算符B（i，j）表示把 盘子B从第i号柱子移动到第j号柱子上的操作。这 样共定义了12个算符，分别是：
A（1,2） A（1,3） A（2,1） A（2,3） A（3,1） A（3,2） B（1,2） B（1,3） B（2,1） B（2,3） B（3,1） B（3,2）
((1,1) (2,4) (3,2))
()
((1,1))
((1,1) (2,3))
((1,1) (2,4))((1,1) (2,来自) (3,2))Q ()
((1,1))
((1,2))
((1,1) (2,3))
((1,1) (2,4))
((1,1) (2,4) (3,2))
Q () Q
((1,1))
图是最直观的描述问题状态空间的工具，属于显
式描述。 图中的节点表示问题的状态，图中的弧表示状 态之间的关系。 初始状态对应待求解问题的已知信息，是图的
根节点。

状态空间法将一个待定问题的求解过程定义为若干
算子与搜索的有机结合体。
◦ 算子定义了对状态的操作，求解的目的在于找出从初始 状态转换为某个（或某些）目标状态的一个（或一组） 操作算子序列。
目标状态g
int factorial (int n) { if (n == 1) { return 1; } else { return n * factorial (n - 1); }
}
只要初始值大于零，factorial函数就能够终止。停止的位置称为基线条件
（base case）。基线条件是递归程序的最底层位置，此位置没有必要再进行操作，


回溯策略是一种尝试状态空间中各种不同路径的技术。
回溯搜索从初始状态出发，不停地、试探地寻找路径直到找到目
标节点或“不可解节点”—“死胡同”。
◦ 找到目标节点，退出搜索，返回解路径。 ◦ 遇到不可解节点时，回溯到路径中最近的父节点上，查看该节点是否还有 其他子节点未被扩展，如有则沿这些子节点继续搜索。
2）算符：引起状态中某些分量发生变化， 从而使问题由一个状态变为另一个状态的操作称为 算符。 3）状态空间：由表示一个问题的全部状态 及一切可用算符构成的集合称为该问题的状态空间。 用三元组表示：（S，F，G），其中S表示问题所 有可能的初始状态的集合、F表示算符集合、G表 示目标状态的集合；状态空间的图示形式称为状态 空间图，其中节点表示状态，有向边表示算符。