第一章 一元函数的积分学及其应用
第一节 一元函数的积分 第二节 积分的应用
第一节 一元函数的积分
一、不定积分 二、定积分 三、广义积分
一、不定积分
1. 不定积分的概念和性质
1)原函数与不定积分的概念
定义1 设函数f 与F 在区间I上有定义，若
F '(x ) f(x )或 d F (x ) f(x )d x x I,
2)不定积分的几何意义
如果F（x）是f（x）的一个原函数，则F（x）所对应 的曲线称为函数f（x）的一条积分曲线，将这条积分曲线 沿轴方向上下任意平行移动，就得到F（x）+C，即为积分 曲线族．在每一条积分曲线上作横坐标相同的点处的切线， 这些切线都是相互平行的．
f（x）的不定积分的几何意义就表示相互平行的积分 曲线族．这些积分曲线在横坐标相同的点x处的切线相互 平行
导，则有公式
f [(x)](x)dx f (u)du F[(x)] C
上述公式称为不定积分的第一类换元积分公式．
说明 使用此公式的关键在于将
g(x)dx 化为 f[(x) ](x)d.x
观察重点不同，所得结论不同.
如果要求的不定积分是 g(x)dx ，先要把被积表达
式 g(x)dx “ 凑 成 ” 某 一 已 知 函 数 的 微 分 形 式 f [(x)]d(x) ，以便引进新变量 u (x) 使用基本积
被 积 函 数
被 积 表 达
式
积 分 变 量
任 意 常 数
定理1（原函数存在定理） 如果函数f（x） 在某个区间上连续，那么f（x）在该区间上一定 存在原函数.
简单理解：连续函数一定有原函数
定理2 如果函数F（x）是函数f（x）的一个 原函数，则F（x）+C（C为任意数）是f（x）的全 部原函数.
1 x
f
(ln
（1） tan xdx ；（2） cot xdx ；（3） csc xdx ；（4） sec xdx ．
解
(1)
tan
xdx
sin cos
x x
dx
1 cos
x
d
cos
x
1 u
du
ln
|
u
|
C
ln
|
cos
x
|
C
．
即
tan x d xln|c o xs|C ．
(2)类似地可得 cot xdx ln |sin x|C ．
2
2
．
常见的凑微分形式有：
f
(ax
b)dx
1 a
f
(ax b)d (ax
b)
x n f (x n1 )dx 1 n 1
f ( x n1 )dx n1 ；
f (sin x) cos xdx f (sin x)d sin x
e x f (e x )dx f (e x )dex ；
5) e x dx e x C ；
6） sin xdx cos x C ；
7） cos xdx sin x C ；
8）
sec2 xdx
1 c os2
x
dx
tan
x
C
；
9）
csc2
xdx
1 sin 2
dx x
cot
x
C
；
10）
1 dx arcsin x C arccos x C
例
求不定积分
1 x
x2 x
dx
．
解
1 x2
dx
(1
x2
)x
3 2
dx
3
x 2 dx
1
x 2 dx
xx
1
1 3
x 2
3
1 1
1 1
x2
C
．
1
1
2
2
1
2x 2
2
3
x2
C
3
3. 不定积分的换元积分法
1)第一类换元积分法（凑微分法） 定理 设函数 f (u) 存在原函数 F(u) ，u (x) 可
（1）
dx
a 2 x2 (a 0) ；
dx
(2) x2 a2 ．
解
dx
11
1
x
x
(1)
dx
d ( ) arcsin C
a2 x2
1 ( x)2 a
1 ( x)2 a
a
a
a
（2）
dx x2 a2
1 a
1
1 x a
2
d
(
x a
)
1 arctan a
x a
C
．
例 2 求下列积分
分公式求得不定积分，所以这种方法又称“凑微分法”． 凑微分法的解题过程，用式子可以表示为：
g(x)dx通过变形 f [(x)](x)dx f [(x)]d(x)（凑微分）
令u (x) f (u)du （换元）
F(u) C
（积分）
(x) u F[(x)] C ． （还原）
例 1 求下列积分
则称F为f 在区间I上的一个原函数
问题： （1）什么条件下，一个函数的原函数存在？ ( 2 )如果f (x)有原函数，一共有多少个？ ( 3 )任意两个原函数之间有什么关系？
① lnx1 (x0)
x ln x是 1在 区 间 (0,) 内 的 原 函 数 .
x
② f(x)d xF (x)C
积 分 号
3)不定积分的性质
性质1 设函数 f ( x)及 g( x)的原函数存在，则
[ f( x ) g ( x ) ] d x f( x ) d x g ( x ) d x
性质2 设函数 f ( x) 的原函数存在， k为非零常数，则
k(fx)dx kf(x)dx
性质3 [ f ( x ) d x ] f ( x ) 或 d f ( x ) d x f ( x ) d x .
性质4 F(x)dx F(x) C 或 dF(x) F(x) C .
2. 不定积分直接积分法
不定积分的基本公式
1） kdx kx C （ k 是常数）；
2）
x dx x 1 C
1
（ 1是常数）；
3）
1dx x
ln
|
x
|
C
；
4）
a x dx
ax ln a
C
(a
0,
a
1) ；
1 x2
；
1
11） 1 x 2 dx arctanx C arc cot x C ；
12） sec x tan xdx sec x C ；
13） csc x cot xdx csc x C ．
直接积分法 利用不定积分的运算性质和积分基本公式，
直接求出不定积分的方法。关键在于对被积函数 进行恒等变形
(3)
cscxdx
1 sin
x
dx
sin 2 x 2
2 s in
cos2 x 2 dx
xx cos
22
tan
x 2
cot
x d x 2 2
ln
cos
x 2Leabharlann ln sinx 2
C
ln
t
a
nx 2
C
．
(4)
sec xdx
1 cos
x
dx
d
2
x
sin
2
x
c
sc(
2
x)d(
2
x)
ln csc( x) cot( x) C ln sec x tan x C