函数的性质——奇偶性、单调性、周期性知识点及题型归纳

知识点精讲

函数奇偶性

定义

设DDxxfy(),(为关于原点对称的区间），如果对于任意的Dx，都有)()(xfxf，则称函数)(xfy为偶函数；如果对于任意的Dx，都有)()(xfxf，则称函数)(xfy为奇函数.

性质

(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.

(2)奇偶函数的图象特征.

函数)(xf是偶函数函数)(xf的图象关于y轴对称；

函数)(xf是奇函数函数)(xf的图象关于原点中心对称.

(3)若奇函数)(xfy在0x处有意义，则有0)0(f；

偶函数)(xfy必满足|)(|)(xfxf.

(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.

(5)若函数)(xf的定义域关于原点对称，则函数)(xf能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记)]()([21)(xfxfxg，)]()([21)(xfxfxh，则)()()(xhxgxf.

(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如)()(),()(),()(),()(xgxfxgxfxgxfxgxf.

对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；

奇)(奇=偶；奇)(偶=奇；偶)(偶=偶.

（7）复合函数)]([xgfy的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.

函数的单调性

定义

一般地，设函数)(xf的定义域为D，区间DM，若对于任意的Mxx21,，当21xx时，都有)()(21xfxf（或)()(21xfxf），则称函数)(xf在区间M上是单调递增（或单调递减）的，区间M为函数)(xf的一个增（减）区间.

注：定义域中的Mxx21,具有任意性，证明时应特别指出“对于任意的Mxx21,”.

单调性是针对定义域内的某个区间讨论的.

熟练掌握增、减函数的定义，注意定义的如下两种等价形式： 设],[,21baMxx且21xx，则)(0)()(2121xfxxxfxf在],[ba上是增函数过单调递增函数图象上任意不同两点的割线的斜率恒大于零0)]()()[(2121xfxfxx.

)(0)()(2121xfxxxfxf在],[ba上是减函数过单调递减函数图象上任意不同两点的割线的斜率恒小于零0)]()()[(2121xfxfxx.

性质

对于运算函数有如下结论：在公共区间上，增+增=增；减+减=减；增-减=增；减-增=减.

一般地，对于乘除运算没有必然的结论.如“增×增=增”不一定成立；“若)(xf为增函数，则)(1xf为减函数”也是错误的.如)0,()(xRxxxf，则xxfy1)(1为减函数是不正确的，但若具备如下特殊要求，则结论成立:

若)(xf为增函数，且(0)(xf或)(xf0），则)(1xf为减函数.

若)(xf为减函数，且(0)(xf或)(xf0），则)(1xf为增函数.

复合函数的单调性

复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.

函数的周期性

定义

设函数))((Dxxfy，如存在非零常数T，使得对任何DTxDx,，且)()(xfTxf，则函数)(xf为周期函数，T为函数的一个周期.若在所有的周期中存在一个最小的正数，则这个最小的正数叫做最小正周期.

注：函数的周期性是函数的“整体”性质，即对于定义域D中的任何一个x，都满足)()(xfTxf；若)(xf是周期函数，则其图像平移若干整数个周期后，能够完全重合.

性质

若)(xf的周期为T，则)0,(nZnnT也是函数)(xf的周期，并且有)()(xfnTxf.

有关函数周期性的重要结论（如表所示） ()()()()211();()2()()()()2()()4()()2()()()()()2()()()2()()()(xRfxTfxTfxTfxTfxTfxTTfxfxfxTfxTTfxTfxTTfaxfaxbafbxfbxfaxfaxafxfaxfaxbafbxfbxfa函数式满足关系（）周期为偶函数)()2()()()4()()()()()4()()()4()xfaxafxfaxfaxbafbxfbxfaxfaxafxfaxfaxafx为奇函数为奇函数为偶函数

函数的的对称性与周期性的关系

（1）若函数)(xfy有两条对称轴)(,babxax，则函数)(xf是周期函数，且)(2abT；

（2）若函数)(xfy的图象有两个对称中心))(,(),,(bacbca，则函数)(xfy是周期函数，且)(2abT；

（3）若函数)(xfy有一条对称轴ax和一个对称中心))(0,(bab，则函数)(xfy是周期函数，且)(4abT.

题型归纳及思路提示

题型1 函数的奇偶性

思路提示：判断函数的奇偶性，常用以下两种方法：

（1）定义法.①首先看定义域是否关于原点对称；②若)()(xfxf，则函数)(xf为奇函数；若)()(xfxf，则函数)(xf为偶函数.

（2）图像法.根据函数图像的对称性进行判断，若函数)(xf的图像关于原点中心对称，则)(xf为奇函数；若函数)(xf的图像关于y轴对称，则)(xf为偶函数.

【例2.25】判断下列函数的奇偶性.

（1）3|3|36)(2xxxf；

（2）11)(22xxxf；

（3）)1(log)(22xxxf；

（4）2|2|)1(log)(22xxxf；

（5）)0()0()(22xxxxxxxf.

解析 （1）由3|3|36)(2xxxf可知606603|3|0362xxxxx且，故函数)(xf的定义域为}6006|{xxx或，定义域不关于原点对称，故)(xf为非奇非偶函数.

(2)由110101222xxxx，故函数)(xf的定义域为}1,1{，关于原点对称，故0)(xf，所以)()()(xfxfxf，所以函数)(xf既是奇函数又是偶函数.

(3)因为对任意实数x，都有0||12xxxx，故定义域为R.且)()1(log11(log)1(log)(222222xfxxxxxxxf），故)(xf为奇函数.

(4)由100102|2|012xxxx或，定义域关于原点对称.

此时，xxxxxf)1(log2|2|)1(log)(2222，故有)()(xfxf，所以)(xf为奇函数.

(5)当0x时，)()(,02xfxxxfx；当0x时，)()(,02xfxxxfx.故)(xf为奇函数.

评注 利用定义判断函数的奇偶性要注意以下几点：

①首先必须判断)(xf的定义域是否关于原点对称.若不关于原点对称，则是非奇非偶函数.若关于原点对称，则对定义域任意x说明满足定义.若否定奇偶性只需有一个自变量不满足. ②有些函数必须根据定义域化简解析式后才可判断，否则可能无法判断或判断错误，如本例（2），若不化简可能误判为偶函数，而本例（4）可能误判为非奇非偶函数.

③本例（3）若用奇偶性的等价形式，则01log)1(log)1(log)()(22222xxxxxfxf，即)()(xfxf，故)(xf为奇函数，显然，等价形式的整理较定义法更为容易.这提醒我们，在函数解析式较复杂时，有时使用等价形式来判断奇偶性较为方便.

变式1：判断下列函数的奇偶性.

（1）xxxxf11)1()(；

（2）24|3|3)(xxxf；

（3）)1(2)11(0)1(2)(xxxxxxf；

（4）|2||2|)(xxxf.

变式2：已知函数2lg)2lg()(2xxxf，试判断其奇偶性.

【例2.26】已知函数),0()(2Rxxxaxxf，试判断其奇偶性.

分析 利用函数奇偶性的定义进行判断.

解析 当0a时，2)(xxf，满足)()(xfxf，故)(xf为偶函数；

当0a时，xaxxfxaxxf22)(,)(，假设)()(xfxf对任意Rx，0x恒成立，则此时0a，与前提矛盾；

假设)()(xfxf对任意Rx，0x恒成立，则此时022x，即0x，与条件定义域},0|{Rxxx矛盾.

综上所述，当0a时，)(xf为偶函数；当0a时，函数)(xf为非奇非偶函数.

评注 ①函数)(xf是奇函数0)()(xfxf；函数)(xf是偶函数0)()(xfxf.奇偶函数的前提是函数的定义域关于原点对称. ②若要说明一个函数为非奇非偶函数，可以举一个反例.

③本题的结论还可以借用运算函数的的奇偶性的规律获得，已知函数是一个由2x与xa通过加法法则运算得到的函数，而2xy为偶函数，)0(axay为奇函数，故当0a时，)(xf为“偶+奇”形式，故为非奇非偶函数；当0a时，则2)(xxf为偶函数.

变式1：函数)()1221()(xfxFx是偶函数，并且)(xf不等于零，则)(xf是（ ）

A.奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数

变式2：对于函数Rxxfy),(，“|)(|xfy的图象关于y轴对称”是“)(xf是奇函数”的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【例2.27】定义在实数集上的函数)(xf，对任意Ryx,都有)()(2)()(yfxfyxfyxf，且0)0(f，试判断)(xf的奇偶性.

分析 对于抽象函数的奇偶性判断通常利用赋值法得到)(xf与)(xf的关系.

解析 由函数定义域为R可知定义域关于原点对称.依题意可令0,0yx，得2)]0([2)0(2ff，因为0)0(f，所以1)0(f.令0x，可得)(2)()(yfyfyf，即)()(yfyf，所以)()(xfxf，故函数)(xf为偶函数.

评注 对于抽象函数奇偶性的判断，常通过赋值法（如令1,1,0x等）凑成含有)(xf与)(xf的关系的式子，然后进行判断.

变式1：已知函数)(xf在R上有定义，且对任意Ryx,都有)()()(yfxfyxf，试判断)(xf的奇偶性.

变式2：若定义在R上的函数)(xf满足对任意Rxx21,有1)()()(2121xfxfxxf，则下列说法正确的是（ ）

A.)(xf是奇函数 B.)(xf是偶函数 C.)(xf+1为奇函数 D.)(xf+1为偶函数