2.3 函数的单调性

学习目标：

1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.

2.会用定义判断函数的单调性，会求函数的单调区间及会用单调性求函数的最值．

重点难点：函数单调性的应用

一、知识点梳理

1．函数单调性定义：对于给定区间D上的函数f(x)，若对于任意x1,x2∈D,

当x1

…

当x1 f(x2)，则称f(x)是区间D上的减函数，D叫f(x)单调递减区间．

2．函数单调性的判断方法：

（1）定义法．步骤是：

①任取x1，x2∈D，且x1

②作差f(x1)－ f(x2)或作商0112xfxfxf，并变形，

③判定f(x1)－ f(x2)的符号，或比较12xfxf与1的大小，

④根据定义作出结论．

}

（2）图象法；借助图象直观判断．

（3）复合函数单调性判断方法：设,,,,,yfuugxxabumn

若内外两函数的单调性相同，则yfgx在x的区间D内单调递增，

若内外两函数的单调性相反时，则yfgx在x的区间D内单调递减．

3．常见结论

若f(x)为减函数，则-f(x)为增函数 ；

若f(x)>0（或<0）且为增函数，则函数)(1xf在其定义域内为减函数．

（

二、例题精讲

题型1：单调性的判断

1．写出下列函数的单调区间

（1）,bkxy （2）xky， （3）cbxaxy2．

*

2．求函数22||3yxx的单调区间．

#

３．判断函数f（x）＝1x2－4x 的增减情况．

》

题型2：用定义法证明单调性

1.证明函数y=2x+5的单调性

。

5．判断函数f（x）＝xx1在（1,2）上的增减情况．

】

题型3：单调性的应用：

1．已知2()(34)21fxkkxk在R上是增函数,则k的取值范围 ．

2．函数2()(1)2fxxmx在(,4]上是减函数,则求m的取值范围 ．

3．已知函数2()22,5,5fxxaxx上是单调函数，a的取值范围是 ．

4．函数f（x）是R上的减函数,求f（a2－a＋1）与f（34 ）的大小关系 ．

题型4：抽象函数的单调性及其应用：

;

1.已知y=f(x)是定义在（-2，2）上的增函数，若f(m-1)＜f(1-2m)，则m的取值范围是 ．

2．设f（x）定义在R+上，对于任意a、b∈R+，有f（ab）＝f（a）＋f（b）

求证：（1）f（1）＝0；

（2）f（ 1x ）＝－f（x）；

（3）若x∈（1，+∞）时，f（x）＜0，则f（x）在（1，+∞）上是减函数．

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三、巩固练习

；

1．函数2yx的单调递_____区间是______________________．

2．函数221yxx的单调递增区间为_______________________．

3．已知()(21)fxkxb在R上是增函数，则k的取值范围是______________．

4．下列说法中，正确命题的个数是______________．

①函数2yx在R上为增函数；

②函数1yx在定义域内为增函数；

③若()fx为R上的增函数且12()()fxfx，则12xx；

,

④函数1yx的单调减区间为(,0)(0,)．

5．函数()1fxx的增区间为 ．

6．函数1()1fxx的单调减区间为 ．

7．函数14)(2mxxxf在]2,(上递减，在),2[上递增，则实数m＝ ．

8．已知函数)yfx（在R上是增函数，且f(m2)＞f(-m)，则m的取值范围是: __________．

9．函数2()28fxxx的单调减区间 ．

10．若函数2()45fxxmxm在[2,)上是增函数，则实数m的取值范为 ；

11．函数1||22xxy的单调增区间为 ．

12．求证函数1()fxxx在0,是单调增函数．