数学文化
1.（2020·全国卷Ⅱ文 3）如图，将钢琴上的12 个键依次记为a1，a2，…，a1
2.设1≤i<j<k≤12．若k–j=3 且j–i=4，则称a i，a j，a k为原位大三和弦；若k–j=4 且j–i=3，则称a i，a j，a k为原位小三和弦．用这12 个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（）
A. 5
B. 8
C. 10
D. 15
2.（2020·山东 4、海南 4）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为（）
A. 20°
B. 40°
C. 50°
D. 90°
3.（2020·全国卷Ⅱ理 4）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9 块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9 块，向外每环依次也增加9 块，已知每层环数相同，且下层比中层多729 块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）
⎪
⎪ ⎪ ⎪ A. 3699 块 B. 3474 块 C. 3402 块 D. 3339 块
4.（2020·北京 10）2020 年 3 月 14 日是全球首个国际圆周率日（ π Day ）．历史上，求圆周率π 的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π 的近似值．按照阿尔·卡西的方法， π 的近似值的表达式是（ ）．
⎛ 30︒ 30︒ ⎫
⎛ 30︒ 30︒ ⎫ A. 3n sin n + tan n B. 6n sin n + tan n ⎝ ⎭ ⎝ ⎭
⎛ 60︒ 60︒ ⎫
⎛ 60︒ 60︒ ⎫ C. 3n sin n + tan n D. 6n sin n + tan n ⎝ ⎭
⎝ ⎭
数学文化参考答案
1.【答案】C
【解析】根据题意可知，原位大三和弦满足：k -j = 3, j -i = 4 ．
∴i =1, j = 5, k = 8 ；i = 2, j = 6, k = 9 ；i = 3, j = 7, k =10 ；i = 4, j = 8, k =11；i = 5, j = 9, k =
12 ．原位小三和弦满足：k -j = 4, j -i = 3 ．
∴i =1, j = 4, k = 8 ；i = 2, j = 5, k = 9 ；i = 3, j = 6, k =10 ；i = 4, j = 7, k =11；i = 5, j = 8, k =
12 ．故个数之和为10．
故选：C．
2.【答案】B
【解析】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA ⊥l ；AB 是晷针所在直线. m 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知m//CD 、根据线面垂直的定义可得AB ⊥m ..
由于∠AOC = 40︒, m//CD ，所以∠OAG =∠AOC = 40︒，
由于∠OAG +∠GAE =∠BAE +∠GAE = 90︒，
所以∠BAE =∠OAG = 40︒，也即晷针与点A 处的水平面所成角为∠BAE = 40︒.
故选：B
3.【答案】C
【解析】设第n 环天石心块数为a n，第一层共有n 环，
则{a n}是以9 为首项，9 为公差的等差数列，a n= 9 + (n -1) ⨯ 9 = 9n ，
设 S n 为{a n }的前 n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为 S n , S 2n - S n , S 3n - S 2n ，因为下层比中层多 729 块， 所以 S 3n - S 2n = S 2n - S n + 729 ，
3n (9 + 27n ) 2n (9 +18n ) 2n (9 +18n ) n (9 + 9n ) 即 - = - + 729 2 2 2 2 即9n 2 = 729 ，解得n = 9 ，
27(9 + 9 ⨯ 27)
所以 S 3n = S 27 =2
故选：C
= 3402 .
4. 【答案】A
【解析】单位圆内接正6n 边形的每条边所对应的圆周角为 30︒ 360︒ = n ⨯ 6 60︒ n ，每条边长为2 sin
30︒ ， n 所以，单位圆的内接正6n 边形的周长为12n sin n ， 30︒ 30︒ 单位圆的外切正6n 边形的每条边长为2 tan n 12n sin 30︒ +12n tan 30︒ ，其周长为12n tan ， n ∴2π = n n = 6n ⎛sin 30︒ + tan 30︒ ⎫ ， 2 n n ⎪
⎝
⎭ 则π = 3n ⎛
sin 30︒ + tan 30︒ ⎫ . n n ⎪ ⎝
⎭
故选：A.。