2016版导数分类提高
第八讲极值点偏移一(纯偏型)
课类：技巧与方法课型：体验式
主讲：江海桃
电话：微信：dh
一、学习目标
1了解极值偏移的两种类型
2•掌握两种极值偏移的处理方法
二、学习过程
【定义】什么是极值点偏移？
我们知道二次函数f(X)的顶点就是极值点x o，若f(X)=C的两根的中
点为凶X2，贝侧好有西X2=X o，即极值点在两根的正中间，也
2 2
就是极值点没有偏移；而函数g(X)二的极值点X o=1刚好在两根的中
e
点X1 X2的左边，我们称之为极值点左偏。

2
【分类】
【分类一】按极值点的偏移来分
分为两类：左偏乞4>X0 ；右偏d^Vx。

.
2 2
【分类二】按极值点偏移的处理方法分
分为两类：纯偏移，非纯偏移.
【类型一】纯偏移型
纯偏移的处理策略为：构造函数F(x) f(x) f(2X o x)或
是F(x) f(X。

x) f(x° x).
例题1.已知函数f(x) xe x(x R).
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)已知函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于直线x=1对称，证明：当x>1 时，f(x)>g(x);
(3)若X i X2，且f( X i)=f( X2),证明：X I+X2>2.
练习.已知函数f (X) ln X ax2(2 a)x .
(1)讨论f(X)的单调性；
(2)设 a 0，证明：当0 X -时，f (丄X) f (- X)；
a a a
(3)若函数y f(x)的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横
坐标为X o,
证明：f (X o)V 0.
例题2.已知函数f(x) - Xre x. 1 x
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)证明：若X i X2，且f( X i)=f( X2)时，则X i+X2<0.
练习.已知函数f(x) e x ax a,a R ,其中图像与x轴交于A( X i,0) , B (X2‘0),且
X-I x2.
(i)求a的取值范围;
(2)证明：f'C, X i X2)0 ；
(3)设点C在函数y f(x)的图像上，且ABC为等腰直角三角形，记
t，求
(a-1) (t-1)的值.
【课后总结】
纯极值点偏移的处理步骤：
1. 构造一元差函数F(x) f(x) f(2x。

x)或是
F(x) f(x。

x) f(x。

x)；
2.对差函数F(x)求导，判断单调性；
3.结合F(0)=0，判断F(x)的符号，从而确定f(x o x)与f(x o x)的大小关系；
4.由f(xj f(X2) f[x°(X o X2)] _____ f[X o (x o X2)]=f(2X o x)的大小关系，得到f (x i) _________ f (2x o x)，(横线上为不等号)；
5.结合f(x)单调性得到x i ______________________ 2x o X2 _，进而得到
X—XL X o .
2
三、课后作业
已知函数f (x) alnx x2.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当a=2时，函数h(x)=f(x)-mx 的图像与x轴交于两点A(x「o)，
B( X2,0)，且
o X i X2，又h'(x)是h(x)的导函数，若正常数，满足条件1，证明： 1
'( x1 x2) 0.
（学习的目的是增长知识，提高能力，相信一分耕耘一分收获，努力就一定可以获得应有的回报）。