解：
只需要证f ( 2 a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x1 )
f (x1 )
f
(x2
)
0,
又由（1）知f
(
x)在（
1 a
,）上增函数，
即可证明x2
2 a
x1,即证x0
x1
x2 2
1 ,由（1）知f '(x) 0. a
精练2： 解：
f (3ln a) a3 3a ln a a a3 3a 2 a 0,
Q x 1 f '(x) 0, x 1 f '(x) 0
f (在x) (单,1)调递增， 在 (1, )单调递减
又Q x 1 f '(x) 0,
f
(
x)极大值
=f
(1)
1 e
链接
例题：已知函数f (x) xex (1)求函数f (x)的单调区间和极值 (2)若x1 x2 , f (x1) f (x2 ), 求证：x1 x2 2
【课堂小结】
解：构造函数F(x) f (1 x) f (1 x) (x 0)
F(x) (1 x)e(1x) (1 x)ex1
则F(x) x ex1 e(1x) 当x 0时F (x) 0 F (x)在(0, )单调递增，又F(0)=0
F (x) 0 即f (1 x) f (1 x) 令1 x x2 f (x2 ) f (2 x2 ) f (x1) f (2 x2 ) Q x1 1 2 x2 1 又f (x)在( ,1)上单调递增，
规律方法提炼：
解极值点偏移问题的步骤
(1)构造差函数F(x) f (x0 x) f (x0 x)
(2)对F(x)求导，判断F（ x)的符号，确定F（x)的单调性
(3)结合F(0) 0判断F(x)的符号，确定f (x0 x)与f (x0 x)的 大小关系
（4）由f (x1) f (x2 ),结合（3）及f (x)的单调性确定x1与2x0 x2的 大小关系
x1 2 x2 x1 x2 2
小结：
上述问题的本质是比较
x1
2
x2
与极值点x0的大小
具体方法是通过构造差函数F(x) f (1 x) f (1 x)
利用函数单调性比较大小
【考题精析】
即等价于证明 f (2 x2 ) f (x2 ) 0.
，
拓展提升精练
变式练习1：
已知函数f (x) ln x ax2 (2 a)x
(1)讨论f (x)的单调性
（2）设a 0, 证明：0 x 1 时，f ( 1 x) f ( 1 x)
a
a
a
(3)若函数y f (x)的图象与x轴交于A, B两点，
线段AB中点的横坐标为x0, 证明：f (x0 ) 0
变式练习2： 已知函数f (x) ex 2x 2a (1)求函数f (x)的单调区间 （2）若存在两个不相等的正数x1, x2, 假设f (x1) f (x2 )成立求证：f ( x1x2 ) 0
拓展提升精练解析：
变式练习1：
已知函数f (x) ln x ax2 (2 a)x
(1)讨论f (x)的单调性
（2）设a 0, 证明：0 x 1 时，f ( 1 x) f ( 1 x)
a
a
a
(3)若函数y f (x)的图象与x轴交于A, B两点，
线段AB中点的横坐标为x0 , 证明：f (x0 ) 0
黉学高级中学高三数学组二轮专题讲座
极值点偏移
---函数极值点偏移问题的转化策略
黉学高级中学数学组：杨伍
极值点居中 极值点偏移
案例：已知函数f (x) xex
(1)求函数f (x)的单调区间和极值
（2）若x1 x2 , f (x1) f (x2 ), 求证：x1 x2 2
解: (1) f '(x) ex x (ex ) (1 x)ex