若 f (x) 下凸（ f (x) 递增），则 f ( x1 x2 ) 0 2
五、解决极值点偏移问题的通法:主元法
第一步：根据 f x1 f x2 x1 x2 建立等量关系，并结合 f x 的单调性，确定
x1, x2 的取值范围； 第二步：不妨设 x1 x2 ，将待证不等式进行变形，进而结合原函数或导函数的单调性等

2(t 1) t 1
，∴ g '(t)

(t 1)2 t(t 1)2

0 ，∴ g(t) 在 (1, ) 上单调递增，
∴
g(t)

g(1)

0
，∴ ln t

2(t 1) t 1
，∴ ln
x1

ln
x2

2．
1、设 k R ，函数 f (x) ln x kx ． （3）若 f (x) 有两个相异零点 x1 ， x2 ，求证： ln x1 ln x2 2 ．
价转化；
第三步：构造关于 x1（或 x2 ）的一元函数T x f xi f 2a xi i 1, 2 ，这里 a
是 f (x) 的极值点，应用导数研究其单调性，并借助于单调性，达到待证不等式的证明．
所谓主元法就是在一个多元数学问题中以其中一个为“主元”，将问题化归为 该主元的函数、方程或不等式等问题，其本质是函数与方程思想的应用．
x 1
x 1
解决极值点偏移问题策略三：比值换元法
1、设 k R ，函数 f (x) ln x kx ．
（3）若 f (x) 有两个相异零点 x1 ， x2 ，求证： ln x1 ln x2 2 ． （3）设 f (x) 的两个相异零点为 x1 ， x2 ，设 x1 x2 0 ，
十、2018 年 9+1 联盟考试第 22 题标准答案：
已知函数 f (x) x ln x a 有两个不同的零点 x1 ， x2 ． (Ⅰ)求实数 a 的取值范围； (Ⅱ)证明： x1 x2 a 1 ．
解：(Ⅰ)问题转化为方程 x ln x a 有两个不相等的正根. 令 (x) x ln x ， x 0 ，因为 (x) 1 1 x 1 ， xx 所以 (x) 在区间 (0,1) 上单调递减，在区间 (1, ) 上单调递增， 所以 (x)min = (1)=1，所以只要 a 1.
x0

x1
2
x2
的情况，我们称这种情形为“极值点偏移”.
极值点偏移的四种情况：
设方程 f ( x) a 的两个根为 x1 , x2 ( x1 x2 )
极值点左偏： x1

x2
2x0 , x

x1
x2 2
处切线与 x 轴不平行： 极值点右偏： x1
x2

2x0 , x

x1
x2 2
处切线与 x 轴不平行：
若 f (x) 上凸（ f (x) 递减），则 f ( x1 x2 ) 0 ， 2
若 f (x) 上凸（ f (x) 递减），则 f ( x1 x2 ) 0 ， 2
若 f (x) 下凸（ f (x) 递增），则 f ( x1 x2 ) 0 2
极值点偏移问题
定义:
已知 y f (x) 是连续函数，在区间 x1, x2 内只有一个极值点为 x0 ，且 f (x1 ) f (x2 ) ，
若极值点左右的“增减速度”相同，就有极值点 x0

x1
x2 2
，我们称这种情形为极值点
不偏移，若极值点左右的“增减速度”不同，函数的图像不具有对称性，就出现极值点

x2 )

2 ，即证
x1 x2 2

1 k
即 ln x1 ln x2 2 ，即 ln x1 2(x1 x2 ) ，
x1 x2
x1 x2
x2
x1 x2
设 t x1 1 上式转化为 ln t 2(t 1) （ t 1），
x2
t 1
设 g(t) ln t
∵ f (x1) 0 ， f (x2 ) 0 ，∴ ln x1 kx1 0 ， ln x2 kx2 0 ，
∴ ln x1 ln x2 k(x1 x2 ) ， ln x1 ln x2 k(x1 x2 ) ，
要证明 ln x1
ln
x2

2,故只需证 k (x1
解决极值点偏移问题策略二：对数平均不等式：
任意 a,b 0, a b, 都有：
ab a b a b ，其中 a b 称之为对数平均数
ln a ln b 2
ln a ln b
几何意义：对数函数 y ln x 图像上两个不同点 A(a,ln a),B(b,ln b) 形成
f
(2 k
x)(0
x2

1) k
g ( x)

2(kx 1)2 x(2 kx)
0 ，
g(x) 在 0, 1 上递增 k
g(x)
g
(
1 k
)

0
∴
ln
x1

ln
x2

2．
（2018 年高三 9+1 联盟考试第 22 题）
已知函数 f (x) x ln x a 有两个不同的零点 x1 ， x2 ． (Ⅰ)求实数 a 的取值范围； (Ⅱ)证明： x1 x2 a 1 ．
的割线 AB 的斜率的倒数大于 y ln x 在点 ( ab, ln ab) 的切线的斜率的
倒数，且小于 y ln x 在点 (a b ,ln a b) 处的切线的斜率的倒数.
2
2
变式： x 1, ln x 2(x 1) ； 0 x 1, ln x 2(x 1) .
要证 ln
x1
ln
x2

2 ，只需证 x1

x2

2 k
，( 0
k

1 e)不妨设来自0x2

1 k

x1
，即证
x1

2 k

x2

f (x) 在 1 k
, 上递减只需证
f
(x1)
f
(2 k
x2 )
即证
f
(x2 )
f
(2 k
x2 ) 下证 g(x)

f
(x)
（3）设 f (x) 的两个相异零点为 x1 ， x2 ，设 x1 x2 0 ，
∵ f (x1) 0 ， f (x2 ) 0 ，∴ ln x1 kx1 0 ， ln x2 kx2 0 ，
∴ ln x1 ln x2 k(x1 x2 ) ， ln x1 ln x2 k(x1 x2 ) ，