函数图象向右平移 n 个单位，得到的函数为 y kx （ b km）.
由此我们得到： 直线 y=kx+b 向左平移 n（n 为正）个单位长度得到直线 y=k( x+n) +b， 直线 y=kx+b 向右平移 n（n 为正）个单位长度得到直线 y=k( x- n) +b， 这是直线 y=kx+b 左右 ( 或沿 x 轴 ) 平移的规律．
这个规律可以简记为： 自变量：左加右减
求直线 l 1 的解析式．
简解：设直线 l 1 的解析式为 y=kx+p，直线 l 交 x 轴于点 ( b ,0) ，向左平移 k
n 个 单 位 长 度 后变 为 ( b n,0) ， 把 ( b n,0) 坐 标 代 入 l 1 的解 析 式 可 得
k
k
0
b k(
n)
p ，p=kn+b．从而直线 l 1 的解析式为 y=kx+km+b，即 y=k( x+m) +b．
，将直线 l 向左平移 5 个单位长度得到直线 l 1，求直线 l 1的解析式．
简解： 根据“两直线平行，对应函数的一次项系数 k 相等”，可设直线 l 1 的解析式为 y=3x+b，直线 l 交 x 轴于点 (4 ，0) ，向左平移 5 个单位长度后变为 (-1 ，0) ．把(-1 ，0) 坐标代入 y=3x+b，得 b=3，从而直线 l 1 的解析式为 y=3x+3．
以上平移比较简单，因为它是对最简单的一次函数即正比例函数进行平 移．对于一个一般形式的一次函数图象又该怎样进行平移呢？
【探究一】函数图像的上下平移
我们先从一些具体的函数关系开始 . 问题 1 已知直线 l ：y=2x-3 ，将直线 l 向上平移 2 个单位长度得到直线 l 1， 求直线 l 1 的解析式． 分析： 根据“两直线平行，对应函数的一次项系数相等”，可设直线 l 1 的解 析式为 y=2x+ b，由于直线 l 1 的解析式中只有一个未知数，因此再需一个条件即 可．怎样得到这个条件呢？注意到直线 l 1 与两条坐标轴分别交于两点，而直线 l 1与 y 轴的交点易求，这样就得到一个条件，于是直线 l 1 的解析式可求． 解： 设直线 l 1 的解析式为 y=2x+b，直线 l 1 交 y 轴于点 (0 ，-3) ，向上平移 2 个单位长度后变为 (0 ，-1) ．把 (0 ， -1) 坐标代入 y=2x+b，得 b=-1 ，从而直线 l 1 的解析式为 y=2x-1 ． 问题 2 已知直线 l ：y=2x-3 ，将直线 l 向下平移 3 个单位长度得到直线 l 2， 求直线 l 2 的解析式． 答案： 直线 l 2 的解析式为 y=2x-6 ． ( 解答过程请同学们自己完成 )
由此我们得到： 直线 y=kx+b 向上平移 m（m为正）个单位长度得到直线 y=kx+b+m， 直线 y=kx+b 向下平移 m（m为正）个单位长度得到直线 y=kx+b- m， 这是直线直线 y=kx+b 上下 ( 或沿 y 轴) 平移的规律． 这个规律可以简记为： 函数值：上加下减
以上我们探究了直线 y=kx+b 的上下 ( 或沿 y 轴) 的平移，如果直线 y=kx+b 不是上下 ( 或沿 y 轴) 平移，而是左右 ( 或沿 x 轴) 平移，又该怎样进行平移呢？
kk
kk
形可得 y （k x n） b 式
所以“右减” .
同理，如果一次函数的图象向左平移 n 个单位，那么平移后点的坐标就会变
成 ( y b n, y) ，即 x y b n ，化成一般可得 kx y b kn ，变形可得
kk
kk
y （k x n） b 式
所以“左加” .
如果我们从平移过程中函数图象与坐标轴的截距的变化情况也可以看出， 当 函数图象向左或向右平移 n 个单位时， 函数图象在 x 轴上的截距减小或增大 n 个 单位，而在 y 轴上的截距并不是简单的作相同的减小或增加 n 个单位。而是当 x 轴上的截距每减小 n 个单位，y 轴上的截距反而增加 kn 个单位；当 x 轴上的截距 每增大 n 个单位， y 轴上的截距反而减小 kn个单位 . 例如：函数 y=2x-2 ，
k
问题 8 已知直线 l ：y=kx+b，将直线 l 向右平移 n 个单位长度得到直线 l 2，
求直线 l 2 的解析式．
答案： 直线 l 2 的解析式为 y=k( x- m) +b．( 解答过程请同学们自己完成 )
通过对于一般情况的研究， 我可以发现一些变化的规律， 现在我们用刚才的 具体的函数关系来验证一下我们得到的规律 .
，则此
kk
时直线上任意一点的坐标就可以表示为 ( y b , y) ，由左右平移横坐标会发生变 kk
化，不改变纵坐标大小 ( 即令 y 恒定 ).
由此可知：如果一次函数图象向右移平移了 n 个单位，那么平移后点的坐标
就会变成 ( y b n, y) ，即 x y b n ，化成一般可得 kx y b kn ，变
问题 6 已知直线 l ：y=3x-12 ，将直线 l 向右平移 3 个单位长度得到直线 l 2，求直线 l 2的解析式．
答案： 直线 l 2 的解析式为 y=3x-21 ．( 解答过程请同学们自己完成 )
直接观察结果， 很难发现其中的一般规律， 那么我们尝试着探究一般情况 .
问题 7 已知直线 l ：y=kx+b，将直线 l 向左平移 n 个单位长度得到直线 l 1，
将直线 l ：y=3x-12 向左平移 5 个单位长度得到直线 l 1 的解析式为： y=3x+3， 这个函数关系可以改写为： y=3( x+5)-12 ；
将直线 l ：y=3x-12 向右平移 3 个单位长度得到直线 l 2 的解析式为：y=3x-21 ， 这个函数关系可以改写为： y=3( x-3)-12.
我们再来探究一般情况 . 问题 3 已知直线 l ：y=kx+b，将直线 l 向上平移 m个单位长度得到直线 l 1， 求直线 l 1 的解析式． 简解： 设直线 l 1 的解析式为 y=kx+p，直线 l 交 y 轴于点 (0 ，b) ，向上平移 m 个单位长度后变为 (0 ，b+m) ，把 (0 ，b+m) 坐标代入 l 1 的解析式可得， p=b+m．从 而直线 l 1 的解析式为 y=kx+b+m． 问题 4 已知直线 l ：y=kx+b，将直线 l 向下平移 m个单位长度得到直线 l 2， 求直线 l 2 的解析式． 答案： 直线 l 2 的解析式为 y=kx+b- m．( 解答过程请同学们自己完成 )
对比直线 l 和直线 l 1、直线 l 2 的解析式可以发现： 将直线 l ： y=2x-3 向上平移 2 个单位长度得到直线 l 1 的解析式为： y=2x-3+2 ； 将直线 l ： y=2x-3 向下平移 3 个单位长度得到直线 l 2 的解析式为： y=2x-3-3 ． ( 此时你有什么新发现？ )
总结：一次函数图像平移的规律 函数值：上加下减；自变量：左加右减 .
※特别注意：注意区别点坐标的平移规律与函数图像的平移规律 .
下面，我们对直线 y kx b(k 0) 在平移规律中”左加右减”作一点解释 .
我们知道，对于直线 y kx b(k 0) 上的任意一点的坐标可以表示为
yb
( x, kx b) ，反过来我们可以先将 y kx b 变一下形，得到： x
在 x 轴上的截距为 1，在 y 轴上的截距为 -2. 将函数向左平移 3 个单位以后， x 轴上的截距减小 3 个单位变为 -2 ， y 轴上的截距增加了 2ⅹ3 个单位，变为 4. 最终得到的函数为 y=2x-2+2ⅹ 3，即 y=2x+4
最终我们可以得到： 函数图象向左平移 n 个单位，得到的函数为 y kx （ b km），
一次函数图象平移的探究
我们知道，一次函数 y=kx+b 的图象是一条直线，我们称它为直线 y=kx+b， 它可以看作由直线 y=kx 平移∣ b∣个单位长度得到 ( 当 b＞0 时，向上平移； 当 b＜0 时，向上平移 ) ．例如，将直线 y=- x 向上平移 3 个单位长度就得到直线 y=- x+3，将直线 y=- x 向下平移 1 个单位长度就可以得到直线 y=- x-1 ．需要注意 的是，函数图象的平移，既可以上下平移，也可以左右平移．这里所说的平移， 是指函数图象的上下平移，而非左右平移．