浅析分块矩阵的性质和应用作者姓名：周甜河南理工大学数学与信息科学学院数学与应用数学专业2007级2班性质1：分块矩阵都是可逆的，且逆矩阵为分块初等矩阵。

性质2：分块单位矩阵经过一次分块矩阵的初等变换后所得到的矩阵仍为分块初等矩阵。

摘要：分块矩阵在高等代数中有着广泛的应用，矩阵的分块运算是矩阵运算的一种重要方法。

本文主要讨论了分块矩阵的运算性质，初等变换，并举例说明和分析了分块矩阵在解决矩阵特征值计算和有关矩阵证明等问题中的应用。

利用分块矩阵可以使阶数比较高，比较复杂的矩阵和抽象矩阵的特征值问题的解决变得简明而清晰。

关键词：分块矩阵行列式特征值初等变换矩阵的逆Tentative Analysis of Properties and Applications of BlockMatricesAuthor Name：Zhou TianClass 2 Grade 2007 of Mathematics and Applied Mathematics of College Mathematics and Information Scienceof Henan Polytechnic University SchoolSummary：Block matrices has a wide use in Advanced Algebra. Operations of block matrices play an important role in the operation of matrices. This paper mainly illustrates the operation properties and the elementary transformations of block matrices. Several examples are given in the paper to show the applications of block matrices in calculating the eigenvalues of a matrix and proving a subject in connection with matrices. It is convenient to apply block matrices to deal with questions containing matrices with high order and complex appearances and calculating the eigenvalues of abstract matrices.Keywords: block matrices determinant eigenvalues elementary transformation the inverse of a matrix§1引言在高等代数中，矩阵是一项非常重要的内容，也是高等数学的很多分支研究问题的工具。

当我们处理阶数较高或者具有特殊结构的矩阵时，用一般处理低阶矩阵的方法，往往会比较困难，为了研究问题的方便，也为了显示出矩阵中某些部分的特性，我们常常把一个大型矩阵分成若干子块。

把每个子块矩阵看成是一个元素，从而构成分块矩阵。

分块矩阵形象地揭示了一个复杂或是特殊矩阵的内部本质结构。

利用矩阵分块可以把高阶矩阵划分为阶数较低的“块”，然后对这些以“块”为单位的矩阵施行矩阵的运算。

本文就分块矩阵的加法与数量乘法、乘法、转置、初等变换等运算性质，以及分块矩阵在矩阵求逆、行列式展开等方面的应用作了较为深入的研究。

1.分块矩阵的概念有时候，我们把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样，特别是在运算中，把这些小矩阵当作数一样来处理，这就是所谓的矩阵的分块。

设A 是一个n m ⨯ 矩阵，若用若干横线条将它分成r 块，再用若干纵线条将它分成s 块，于是，我们就得到了一个有rs 块的分块矩阵，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=rs r s A A A A A 1111，在这里ij A 表示的是一个矩阵。

2.分块矩阵的运算性质分块矩阵的运算在形式上和数字矩阵的运算完全一样，只要进行运算的矩阵的分块适当，分块矩阵有类似于普通矩阵的运算法则： a .分块矩阵的加法设A ,B 都是n m ⨯矩阵，并且对A ,B 用同样的方法进行分块：111212122212k k l l lk A A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 111212122212k k l l lk B B B B B B B B B B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中,ij ij A B 都是i j m n ⨯矩阵，即,ij ij A B 使同型矩阵，那么111112121121212222221122k k k k l l l l lk lk A B A B A B A BA B A B A B A B A B A B +++⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦应注意的是，利用分块法对两个同型矩阵进行加法运算时，两个矩阵必须采用相同的分块法。

下面我们通过一个例题来详细了解加法的运算法则。

例2.1：100000,001001a a A b b ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭设000100000001aa Bb b ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭， .A B +求解：将,A B 分块100000001001a a A b b ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12A O ,O A ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中121,01;1a A a bA b ⎛⎫=⎪⎝⎭⎛⎫=⎪⎝⎭12000100000001a B O a B ,OB b b ⎛⎫⎪⎛⎫⎪==⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭其中120,10;1a B a bB b ⎛⎫=⎪⎝⎭⎛⎫=⎪⎝⎭111021,0112a a a A B a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭221021,1122b b b A B b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1122AO B O A B OA OB ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2100120000210022a a b b ⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭。

同理，设A 都是n m ⨯矩阵，把A 进行分块：111212122212k k l l lk A A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，a 为任意数，则111212122212k k l l lk aA aA aA aA aA aA aA aA aA aA ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦b .分块矩阵的乘法下面的定理表明，分块矩阵的乘法类似于矩阵的乘法：例2.2：用分块法计算AB ，其中0051241421,53100120020-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A B 。

解：,A B 如上分块，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22211211A AA A A ， ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=232221131211B B B B B B B ， 其中11122122421(0,0),(5),,,12⎛⎫⎛⎫====⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A A A A()()()0,20,0,01,1342,51232221131211===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B B B B B B ； 令==C AB ⎪⎪⎭⎫⎝⎛232221131211C C CC C C ，其中=+=2112111111B A B A C )0()0)(5(51)00(=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛，=+=2212121112B A B A C )00(()()()1002051342=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛，=+=2312131113B A B A C )0()0)(5(01)00(=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-，=+=2122112121B A B A C ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-514)0(21511024，=+=2222122122B A B A C ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-332014)20(2113421024，=+=2322132123B A B A C ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-04)0(21011024。

故==C AB ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0335420141401000232221131211C C CC C C 。

值得注意的是，利用分块法对两个矩阵进行乘法运算时，左矩阵列的分法和右矩阵行的分法必须完全相同。

c .分块矩阵的转置对于一有rs 块的分块矩阵1111s r rs A A A A A ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭，有 11111111T T s r TT T r rs s sr A A A A A A A A A A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⇒= ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭值得注意的是，转置时，每一个小块也要转置，并且它的位置也要行列对调。

d .对角分块矩阵的一些性质对于方阵A ，经过分块后，非0对角块都只在主对角线上，而且每个小块都是方阵；即120000000000s A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中(1,2,)i A i s =都是方阵，那么称A 为方块对角矩阵。

有如下性质：（1）行列式12s A A A A =。

（2）若0(1,2,,)i A i s ≠=则0A ≠，并且有 11112100000000000s A A A A ----⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （3）分块对角阵的乘法，111122220000000000000000s s s s A B A B A B A B A B A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（4）分块对角阵的转置，120000000000s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，那么1200000000000TT T T s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3.分块矩阵初等变换的应用定义3.1 将一个分块矩阵A 用若干条纵线和横线分成许多块的低阶矩阵，每一块低阶矩阵称为A 的子块。

以子块为元素的矩阵A 称为分块矩阵。

我们将单位矩阵E 分块：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=s r r E E E 000001，其中i r E 是i r 阶单位矩阵（s i <<1）称E 为分块单位矩阵。

3.1 应用分块矩阵初等变换求矩阵的逆下面我们先将初等变换求逆矩阵的方法()()1-→M EE M 推广到分块矩阵中去。

定理3.1.1 可逆分块矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ss s s s s A A A A A A A A A M 212222111211可以写成分块初等矩阵的乘积，其中11A ，22A ，…，ii A ，…，ss A 均为矩阵。