4．匀变速直线运动的速度与位移的关系一、知识点探究1.匀变速直线运动的位移与速度关系 (1)关系式v 2－v 02＝2ax其中v 0和v 是初、末时刻的速度，x 是这段时间内的位移． (2)推导：将公式v ＝v 0＋at 和x ＝v 0t ＋21at 2中的时间t 消去，整理可得v 2－v 02＝2ax. (3)公式是由匀变速运动的两个基本关系式推导出来的，因不含时间，故有时应用很方便． (4)公式中四个物理量v 、v 0、a 、x 都是矢量，计算时注意统一各物理量的正、负号． (5)若v 0＝0，则v 2＝2ax . 特别提醒：位移与速度的关系式v 2－v 02＝2ax 为矢量式，应用它解题时，一般先规定初速度v 0的方向为正方向： (1)物体做加速运动时，a 取正值，做减速运动时，a 取负值．(2)位移x >0，说明物体通过的位移方向与初速度方向相同，x <0，说明位移的方向与初速度的方向相反．(3)适用范围：匀变速直线运动．讨论点一：在某城市的一条道路上，规定车辆行驶速度不得超过30km/h.在一次交通事故中，肇事车是一辆客车，量得这辆车紧急刹车(车轮被抱死)时留下的刹车痕迹长为7.6m(如下图)，已知该客车刹车时的加速度大小为7m/s 2.请判断该车是否超速．2.匀变速直线运动问题中四个基本公式的选择 （1）四个基本公式 ①速度公式：at v v +=0 ②位移公式：2021at t v x += ③位移与速度的关系式：ax v v 2202=-④平均速度表示的位移公式：t v v x )(210+=四个基本公式中共涉及五个物理量，只要知道三个量，就可以求其他两个量，原则上只要应用四式中的两式，任何匀变速直线运动问题都能解． (2)解题时巧选公式的基本方法是：①如果题目中无位移x ，也不让求位移，一般选用速度公式v ＝v 0＋at ； ②如果题目中无末速度v ，也不让求末速度，一般选用位移公式x ＝v 0t ＋21at 2； ③如果题目中无运动时间t ，也不让求运动时间，一般选用导出公式v 2－20v ＝2ax .④如果题目中无运动加速度a ，也不让求运动加速度，一般选用导出公式t v v x )(210+= 特别提醒：(1)公式x ＝v 0t ＋21at 2是位移公式，而不是路程公式．利用该公式求的是位移，而不是路程，只有在单方向直线运动中，所求的位移大小才等于路程．(2)分析物体的运动问题，要养成画物体运动示意图的习惯，并在图中标注有关物理量．这样将加深对物体运动过程的理解，有助于发现已知量和未知量之间的相互关系，并迅速找到解题的突破口．(3)如果一个物体的运动包含几个阶段，就要分段分析，弄清物体在每段上的运动情况及遵循的规律，应该特别注意的是各段交接点处的速度往往是解题的关键，应首先考虑．(4)末速度为零的匀减速直线运动可看成初速度为零，加速度相等的反向匀加速直线运动． 二、题型设计1.对公式v 2－20v ＝2ax 的应用例1：如图所示，滑块由静止从A 点沿斜面匀加速下滑至斜面底端B ，之后在水平面上做匀减速直线运动，最后停于C 点．已知经过B 点时速度大小不变，AB ＝4m ，BC ＝6m ，整个运动用了10s ，求滑块沿AB 、BC 运动的加速度分别多大？2.追击及相遇问题例2：平直公路上有甲、乙两辆汽车，甲以0.5m/s 2的加速度由静止开始行驶，乙在甲的前方200m 处以5m/s 的速度做同方向的匀速运动，问：(1)甲何时追上乙？甲追上乙时的速度为多大？此时甲离出发点多远？ (2)在追赶过程中，甲、乙之间何时有最大距离？这个距离为多少？三、课后作业基础夯实1．一物体由静止沿光滑斜面匀加速下滑距离为L 时，速度为v ，当它的速度是v2时，它沿斜面下滑的距离是( )A.L2B.2L 2 C.L4D.3L42．以20m/s 的速度做匀速运动的汽车，制动后能在2m 内停下来，如果该汽车以40m/s 的速度行驶，则它的制动距离应该是( )A ．2mB ．4mC ．8mD ．16m3．甲、乙两物体先后从同一地点出发，沿一条直线运动，它们的v －t 图象如图所示，由图可知( ) A ．甲比乙运动快，且早出发，所以乙追不上甲B ．由于乙在t ＝10s 时才开始运动，所以t ＝10s 时，甲在乙前面，它们之间的距离为乙追上甲前最大C ．t ＝20s 时，它们之间的距离为乙追上甲前最大D ．t ＝30s 时，乙追上了甲4．物体沿一直线运动，在t 时间内通过位移为s ，它在中间位置12s 处的速度为v 1，在中间时刻12t 时的速度为v 2，则v 1和v 2的关系为( )A ．当物体做匀加速直线运动时，v 1＞v 2B ．当物体做匀减速直线运动时，v 1＞v 2C ．当物体做匀加速直线运动时，v 1＝v 2D ．当物体做匀减速直线运动时，v 1＜v 25．“神舟”七号载人飞船的返回舱距地面10km 时开始启动降落伞装置，速度减至10m/s ，并以这个速度在大气中降落，在距地面1.2m 时，返回舱的4台缓冲发动机开始向下喷火，舱体再次减速，设最后减速过程中返回舱做匀减速运动，并且到达地面时恰好速度为0，则其最后阶段的加速度为________m/s 2.6．一辆大客车正在以20m/s 的速度匀速行驶．突然，司机看见车的正前方x 0＝50m 处有一只小狗，如图所示．司机立即采取制动措施．司机从看见小狗到开始制动客车的反应时间为Δt ＝0.5s ，设客车制动后做匀减速直线运动．试求：(1)客车在反应时间Δt 内前进的距离．(2)为了保证小狗的安全，客车制动的加速度至少为多大？(假设这个过程中小狗一直未动)7．长100m 的列车通过长1 000m 的隧道，列车刚进隧道时的速度是10m/s ，完全出隧道时的速度是12m/s ，求： (1)列车过隧道时的加速度是多大？ (2)通过隧道所用的时间是多少？8．驾驶手册规定具有良好刹车性能的汽车在以80km/h的速率行驶时，可以在56m的距离内刹住，在以48km/h的速率行驶时，可以在24m的距离内刹住．假设对这两种速率，驾驶员的反应时间(在反应时间内驾驶员来不及使用刹车，车速不变)与刹车产生的加速度都相同，则驾驶员的反应时间为多少？能力提升9．列车长为l，铁路桥长为2l，列车匀加速行驶过桥，车头过桥头的速度为v1，车头过桥尾时的速度为v2，则车尾过桥尾时速度为( )A．3v2－v1B．3v2＋v1 C.(3v22－v21)2D.3v22－v21210．一物体做匀变速直线运动，某时刻速度大小为4m/s,1s后速度的大小变为10m/s，在这1s内该物体( )A．位移的大小可能大于10m B．加速度的大小可能大于10m/s2C．位移的大小可能小于2.5m D．加速度的大小可能小于4m/s211．一小车从A点由静止开始做匀加速直线运动(如图所示)，若到达B点时速度为v，到达C点时速度为2v，则AB：BC等于( )A．1∶1 B．1∶2C．1∶3 D．1∶412．一辆轿车违章超车，以108km/h的速度驶入左侧逆行道时，猛然发现正前方80m处一辆卡车正以72km/h的速度迎面驶来，两车司机同时刹车，刹车加速度大小都是10m/s2，两司机的反应时间(即司机发现险情到实施刹车所经历的时间)都是Δt.试问Δt是何数值，才能保证两车不相撞？《匀变速直线运动的位移与速度的关系》精品测试1．一辆汽车由静止开始做匀加速直线运动，从开始运动到驶过第一个100 m距离时，速度增加了10 m/s.汽车驶过第二个100 m时，速度的增加量是( )A．4.1 m/s B．8.2 m/s C．10 m/s D．20 m/s2．一物体做初速度为零、加速度为2 m/s2的匀变速直线运动，在最初4 s内的平均速度是( ) A．16 m/s B．8 m/s C．2 m/s D．4 m/s3．一物体做匀变速直线运动，下列说法正确的是( )A．物体的末速度一定与时间成正比B．物体的位移一定与时间的平方成正比C．物体的速度在一定时间内发生的变化与这段时间成正比D．若为匀加速直线运动，速度和位移都随时间增加；若为匀减速直线运动，速度和位移都随时间减小4．一物体由静止开始做匀加速直线运动，在t s内通过位移x m，则它从出发开始通过x/4 m所用的时间为( )A.t4B.t2C.t16D.22t5．汽车以5 m/s的速度在水平路面上匀速前进，紧急制动时以－2 m/s2的加速度在粗糙水平面上滑行，则在4 s内汽车通过的路程为( )A．4 m B．36 m C．6.25 m D．以上选项都不对6．物体从A点由静止出发做匀加速直线运动，紧接着又做匀减速直线运动，到达B点恰好停止，在先后两个过程中( )A．物体通过的位移一定相等B．加速度的大小一定相等C．平均速度的大小一定相等D．所用时间一定相等7．飞机的起飞过程是从静止出发，在直跑道上加速前进，等达到一定速度时离地．已知飞机加速前进的路程为1 600 m，所用的时间为40 s．假设这段运动为匀加速运动，用a表示加速度，v表示离地时的速度，则( )A．a＝2 m/s2，v＝80 m/sB．a＝1 m/s2，v＝40 m/sC．a＝80 m/s2，v＝40 m/sD．a＝1 m/s2，v＝80 m/s8.如右图所示，滑雪运动员不借助雪杖，由静止从山坡匀加速滑过x1后，又匀减速在平面上滑过x2后停下，测得x2=2x1，设运动员在山坡上滑行的加速度大小为a1，在平面上滑行的加速度大小为a2，则a1∶a2为( )A．1∶1 B．1∶2 C．2∶1 D.2∶19.某质点运动的v-t图象如右图所示，则( )A．该质点在t＝10 s时速度开始改变方向B．该质点在0～10 s内做匀减速运动，加速度大小为3 m/s2C．该质点在t＝20 s时，又返回出发点D．该质点在t＝20 s时，离出发点300 m10．一辆汽车在高速公路上以30 m/s的速度匀速行驶，由于在前方出现险情，司机采取紧急刹车，刹车时加速度的大小为5 m/s2，求：(1)汽车刹车后20 s内滑行的距离；(2)从开始刹车汽车滑行50 m所经历的时间；(3)在汽车停止前3 s内汽车滑行的距离．11．A、B两辆汽车在笔直的公路上同向行驶．当B车在A车前84 m处时，B车速度为4 m/s，且正以2 m/s2的加速度做匀加速运动；经过一段时间后，B车加速度突然变为零．A车一直以20 m/s的速度做匀速运动．经过12 s后两车相遇．问B车加速行驶的时间是多少？12．一辆轿车违章超车，以108 km/h的速度驶入左侧逆行道时，猛然发现正前方80 m处一辆卡车正以72 km/h的速度迎面驶来，两车司机同时刹车，刹车加速度大小都是10 m/s2，两司机的反应时间(即司机发现险情到实施刹车所经历的时间)都是Δt.试问Δt是何数值，才能保证两车不相撞？4．匀变速直线运动的速度与位移的关系一、知识点探究讨论点一答案：该车超速解析：已知刹车距离x＝7.6m刹车时加速度a＝7m/s2，客车的末速度v＝0由匀变速直线运动位移与速度的关系v2－v02＝2ax得0－v＝2×(－7)×7.6＝－106.4得v0＝10.3m/s≈37.1km/h＞30km/h所以该客车超速.二、题型设计例1：例2：解析：画出示意图，如图所示，甲追上乙时，x甲＝x0＋x乙，且t甲＝t乙(追及条件)，根据匀变速直线运动、匀速直线运动的位移公式列出方程，即能解得正确的结果．三、课后作业基础夯实1.答案：C2.答案：C解析：由v 2t －v 20＝2ax 知：202＝4a ① 402＝2ax 2② 由①②解得x 2＝8m 3.答案：C 4.答案：AB解析：解法一：设初速度为v 0，末速为v t ，由速度位移公式可以求得v 1＝v 20＋v 2t2，由速度公式求得v 2＝v 0＋v t2.如果是匀减速运动，用逆向分析法，亦可按匀加速直线运动处理，上式结果不变．只要v 0≠v t ，用数学方法可证必有v 1＞v 2.解法二：画出匀加速和匀减速运动的v －t 图象，可很直观看出总有v 1＞v 2. 5.答案：41.7 解析：由v 2t －v 20＝2ax 得a ＝1022×1.2m/s 2＝41.7m/s 26.答案：(1)10m (2)5m/s 2解析：(1)长途客车在Δt 时间内做匀速运动，运动位移x 1＝v Δt ＝10m (2)汽车减速位移x 2＝x 0－x 1＝40m长途客车加速度至少为a ＝v 22x 2＝5m/s 27.答案：(1)0.02m/s 2(2)100s解析：(1)x ＝1 000m ＋100m ＝1 100m ，由于v 1＝10m/s ，v 2＝12m/s ，由2ax ＝v 22－v 21得，加速度a ＝v 22－v 212x＝(12m/s)2－(10m/s)22×1 100m ＝0.02m/s 2，(2)由v 2＝v 1＋at 得t ＝v 2－v 1a ＝12m/s －10m/s 0.02m/s2＝100s. 8.答案：0.72s解析：设驾驶员的反应时间为t ，刹车距离为s ，刹车后的加速度大小为a ，由题意得s ＝vt ＋v 22a将两种情况下的速率和刹车距离代入上式得： 56＝803.6t ＋(803.6)22a ①24＝483.6t ＋(483.6)22a ②由①②两式得：t ＝0.72s能力提升9.答案：C解析：v 22－v 21＝2a ·2l ，而v 23－v 21＝2a ·3l ，v 3＝(3v 22－v 21)2，C 正确． 10.答案：B解析：10m/s 的速度可能与4m/s 的速度同向，也可能与其反向．当两速度同向时，由10＝4＋a 1t 得a 1＝6m/s 2，由102－42＝2a 1s 1得s 1＝102－422a 1＝7m当两速度反向时，取原速度方向为正方向，－10＝4＋a 2t ，得a 2＝－14m/s 2.由(－10)2－42＝2a 2s 2得s 2＝(－10)2－422a 2＝－3m由以上分析可知B 选项正确．11.答案：C解析：画出运动示意图， 由v 2－v 20＝2ax 得：x AB ＝v 22a ，x BC ＝3v22a，x AB ：x BC ＝1∶3.12.答案：Δt <0.3s解析：设轿车行驶的速度为v 1，卡车行驶的速度为v 2，则v 1＝108km/h ＝30m/s ，v 2＝72km/h ＝20m/s ，在反应时间Δt 内两车行驶的距离分别为x 1、x 2，则x 1＝v 1Δt ① x 2＝v 2Δt ②轿车、卡车刹车所通过的距离分别为x 3、x 4，则x 3＝v 212a ＝3022×10m ＝45m③x 4＝v 222a ＝1022×20m ＝20m④为保证两车不相撞，必须x 1＋x 2＋x 3＋x 4<80m⑤ 将①②③④代入⑤解得Δt <0.3s【解析1】 由v 2＝2ax 可得v 2＝2v 1，故速度的增加量Δv ＝v 2－v 1＝(2－1)v 1≈4.1 m/s. 【答案】 A【解析2】 根据匀变速直线运动在一段时间内的平均速度等于该段时间中间时刻的瞬时速度可知，最初4 s 内的平均速度就等于2 s 末的瞬时速度，即 v ＝v 2＝at ＝2×2 m/s＝4 m/s ，故应选D.【答案】 D【解析3】 物体做匀变速直线运动，其速度v ＝v 0＋at ，其位移x ＝v 0t ＋12at 2，可知v 与t 不一定成正比，x 与t 2也不一定成正比，故A 、B 均错．但Δv ＝at ，即Δv 与a 成正比，故C 对．若为匀加速直线运动，v 、x 都随t 增加，若为匀减速直线运动，v 会随时间t 减小，但位移x 随时间t 可能增加可能先增加后减小，故D 错．【答案】 C 【答案4】 B【解析】 根据公式v ＝v 0＋at 得：t ＝－v 0a ＝52 s ＝2.5 s ，即汽车经2.5 s 就停下来．则4 s 内通过的路程为：x ＝－v 22a ＝522×2m ＝6.25 m.【答案5】 C【解析】 物体做单方向直线运动，先做匀加速直线运动，再做匀减速直线运动，设加速度大小分别为a 1、a 2，用时分别为t 1、t 2，加速结束时速度为v ，则v ＝a 1t 1＝a 2t 2，x 1＝12a 1t 12，x 2＝vt 2－12a 2t 22＝12a 2t 22，可知t 1与t 2，a 1与a 2，x 1与x 2不一定相等，但x 1t 1＝x 2t 2即平均速度相等．【答案6】 C【解析7】 阅读题目可知有用信息为位移x ＝1 600 m ，t ＝40 s ，则灵活选用恰当的公式x ＝at 2/2，则a ＝2x/t 2＝(2×1 600)/402m/s 2＝2 m/s 2，v ＝at ＝2×40 m/s＝80 m/s ，则A 选项正确．【答案】 A【解析8】 设运动员滑至斜坡末端处的速度为v ，此速度又为减速运动的初速度，由位移与速度的关系式有v 2＝2a 1x 1,0－v 2＝－2a 2x 2，故a 1∶a 2＝x 2∶x 1＝2∶1.【答案】 B【解析9】 由图象知质点前10 s 内做匀减速运动，加速度a ＝v －v 0t ＝0－3010m/s 2＝－3 m/s 2.后10 s 内做匀加速运动，全过程中速度始终为正，故A 错，B 对．又由图象的面积可得位移x ＝12×30×10 m＋12×30×10 m＝300 m ．故C 错，D 对．【答案】 BD【解析10】 (1)由于v 0＝30 m/s ，a ＝－5 m/s 2，由v ＝v 0＋at ，汽车的刹车时间t 0为：t 0＝v －v 0a ＝0－30－5s ＝6 s 由于t 0<t ，所以刹车后20 s 内滑行的距离即为汽车停止运动时滑行的距离．x ＝12v 0t ＝12×30×6 m＝90 m. (2)设从刹车到滑行50 m 所经历的时间为t′，由位移公式x ＝v 0t′＋12at′2，代入数据： 50＝30t′－12×5t′2 整理得t′2－12t′＋20＝0解得t′1＝2 s ，t′2＝10 s(刹车停止后不能反向运动故舍去)故所用时间为t′＝2 s.(3)此时可将运动过程看做反向的初速度为零的匀加速运动，则x 1＝12at 2＝12×5×32 m ＝22.5 m. 【答案】 (1)90 m (2)2 s (3)22.5 m【解析11】 设A 车的速度为v A ，B 车加速行驶的时间为t ，两车在t 0时相遇．则有s A ＝v A t 0①s B ＝v B t ＋12at 2＋(v B ＋at)(t 0－t)② s A 、s B 分别为A 、B 两车相遇前行驶的路程．依题意有s A ＝s B ＋s③由①②③式得t 2－2t 0t ＋2[(v A －v B )t 0－s]a＝0 代入题给数据有t 2－24t ＋108＝0解得t 1＝6 s ，t 2＝18 st 2＝18 s 不合题意，舍去．因此，B 车加速行驶的时间为6 s.【答案】 6 s【解析12】 设轿车行驶的速度为v 1，卡车行驶速度为v 2，则v 1＝108 km/h ＝30 m/s ，v 2＝72 km/h ＝20 m/s.在反应时间Δt 内两车行驶的距离分别为x 1，x 2，x 1＝v 1Δt①x 2＝v 2Δt②轿车、卡车刹车所通过的距离分别为x 3、x 4则x 3＝v 122a ＝3022×10m ＝45 m③ x 4＝v 222a ＝2022×10m ＝20 m④ 为保证两车不相撞，必须x 1＋x 2＋x 3＋x 4<80 m⑤ 将①②③④式代入⑤式，解得Δt<0.3 s.【答案】 Δt 小于0.3 s。