匀变速直线运动的位移和速度的关系
及常用的推导公式
一、 匀变速直线运动的位移和速度的关系
与匀变速直线运动相关的物理量一共有四个，其中加速度是不变的，在一个确定的匀变速直线运动中是恒量，因此变化的就是位移、速度、时间三个量，我们已经学习了速度与时间的关系、位移与时间的关系，那么能否直接找到位移和速度的关系呢？
这个问题其实很简单，位移和速度都与时间有关系，我们只需要通过其中一个公式解出时间，然后再带入另外一个公式就可以了。

那么用谁来求解时间呢，当然是怎么简单怎么算。

由0+v v at =求解比较简单，解得：0v v t a
-=。

带入2012x v t at =+，得：2000()1()2v v v v v x a a a
--=+。

化简可得： 2202v v x a
-= 或220=2v v ax - 。

这个公式最大的特点就是里面不含时间，因此在没有给出明确的时间时，要首先考虑这个公式。

（那么为什么教材中要把这个推导公式单独拿出来作为一节的内容呢，我觉得一方面是强调一下公式推导和运算的重要性，另一方面是后面在推导动能定理的时候需要用到，提前做个铺垫。

）
二、 常用的推导公式
1.平均速度即等于初、末速度的平均值，又等于中间时刻的瞬时速度。

001()12()2v v t x v v v t t +===+
2000111222v t at x v v at v a t t t +===+=+⋅
度。

）
2.连续相等时间（T ）内的位移差为恒量（2aT ）。

（此公式多用于处理纸带的问题。

）
0- T 时间内的位移：21012x v T aT =+ ， T-2T 时间内的位移：
222002
011[2(2)][]22132
x v T a T v T aT v T a T =⋅+-+=+⋅， 2T-3T 时间内的位移：
223002
011[3(3)][2(2)]22152
x v T a T v T a T v T a T =⋅+-⋅+=+⋅， 联立上式可得22132x x x x aT -=-=。

喜欢挑战的同学可以把1、2、3换成n －1、n 、n+1，证明一下。

这两个规律是通用的只要是匀变速直线运动就适用。

三、 初速度为零的推导公式
1.当初速度为零的时候，基本公式可以变形为：
v at =，12
x vt =，212x at =，22ax v =。

由此可知：当初速度为零的时候，速度与时间成正比，平均速度等于最大速度的一半，位移与时间的平方成正比，位移与速度的平方成正比。

2.当初速度为零的时候，连续相等时间内的位移之比为1∶3∶5……∶2n －1。

0- T 时间内的位移：2112
x aT = ， T-2T 时间内的位移：
2222
11(2)22132
x a T aT a T =-=⋅， 2T-3T 时间内的位移：
22
32
11(3)(2)22152
x a T a T a T =-=⋅ 联立上式可得2313:5x x x ::=1:。

同学们可以自己扩展到第n 项证明一下。

3.当初速度为零的时候，通过连续相等位移所用的
通过0-L
所用的时间：
1
t=，
通过L-2L所用的时间：
2
t=-
=-
，
通过2L-3L所用的时间：
2
t=-
=-
，
联立上式可得
123
::11
t t t-
=-。

同学们可以自己扩展到第n项证明一下。

4.匀减速到零的运动都可以反向看成从零开始的匀加速运动，可以反向套用上面的公式。

因为匀变速直线运动的公式中，时间和位移都是以初始时刻和初始位置为零，所以解出的时间和位移
都是从开始到结束的总量，要想求解某一段（非零起点）的时间和位移我们需要用做差的方法。

匀变速直线运动部分公式的推导和运算是一个难点，大家一定要认真的分析每一个公式，每一个物理量，以避免用混或带错数据。

在实际的应用过程中不仅要找到对应的物理量和公式，还要记清楚哪些量是已知量，哪些量是未知量，避免在最后的结果中还存在未知量。

计算的过程中，必须注意哪些量是相同的，哪些量是不同的，不同的量要添加不同的角标说明，以避免在运算的过程中盲目的合并或消除。