1 序列傅里叶变换的定义
X (e j )
x(n)e jn
n
称为序列x(n)的傅里叶变换，用FT(Fourier Transform)缩写字
母表示。
FT成立的充要条件是序列x(n)满足绝对可和的条件， 即满足下
式：
x(n)
n
序列的傅里叶变换的定义和性质
[例]:设x(n)=RN(n) ， 求x(n)的FT
(1) 共轭对称序列
共轭对称序列xe(n)满足： xe(n)=x*e(-n)
将xe(n)用其实部与虚部表示： xe(n)=xer(n)+jxei(n)
上式两边n用-n代替，取共轭： x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n)
得到：
xer(n)=xer(-n)
实部
是偶
xei(n)=-xei(-n)
xor(n)=－xor(-n)
实部 是奇
函数
xoi(n)= xoi(-n)
虚部
是偶
函数
序列的傅里叶变换的定义和性质
[例1] 试分析x(n)=e jωn的对称性 解： 将x(n)的n用-n代替， 再取共轭得到：
x*(-n)= e jωn 因此 x(n)=x*(-n)，x(n)是共轭对称序列。 将序列展成实部与虚部的形式， 得到
根据上面两式， 得到
xxee ((nn))
1 22
[[ xx((nn))
xx((nn))]]
xxoo ((nn))
11 22
[[ xx((nn))
xx((nn))]]
序列的傅里叶变换的定义和性质
(4) 频域函数X(ejω)的对称性
任意频域函数X(ejω)可表示成共轭对称部分和共轭反对称部 分之和：
X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω) Xe(ejω) = X*e(e－jω) Xo(ejω) =－X*o(e－jω)
Xe(ejω), Xo(ejω)和原频域函数X(ejω)的关系
XX ee ((ee
jj
))
11 22
[[ XX
((ee
jj
))
XX
((ee
jj
))]]
XX oo ((ee
jj
))
序列的傅里叶变换的定义和性质
2. 线性
设： 则：
FXFXTF1XT1([T(1e[ae(a[jexjax1j)1x()(1n)n()n)FF)TFTbb[Tx[bxx2x[1x2(1x((2n(1nn(n()n))n])]])]),],]XX,aaX2X2aX((2eX1e1((j(e1eje(j)je)j)j))F)FbTFbTX[bTX[xX2x[22(x2(2(e(2en(n(jej)n)]j)])),,]),
式中a, b为常数
3. 时移与频移
设X(e jω)=FT[x(n)]， 那么
改变相位
FFTT[[xx((nn nn00))]]eejjn0n0XX((eejj) ) FFTT[[eejj00nnxx((nn))]] XX((eej )) (j(0 0)
序列的傅里叶变换的定义和性质
4. FT的对称性
X (e j )
sin(N )
2
sin( )
arg[ X (e j )]
(N 1)
2
sin(N )
arg[
2
sin( )
]
2
2
设N=4， 幅度与相位随 ω变化曲线如下图所示
▪ P36 例题2.1.2
序列的傅里叶变换的定义和性质
2.2.2 序列傅里叶变换的性质
1. FT的周期性 在FT定义式中， n取整数， 因此下式成立
引言
信号和系统的两种分析方法： 时域分析方法和频率分析方法 (1)模拟信号和系统
信号用连续变量时间t的函数表示； 系统则用微分方程描述； 信号和系统的频域分析方法：拉普拉斯变换和傅里叶变换； (2)时域离散信号和系统 信号用序列表示； 系统用差分方程描述； 频域分析的方法是：Z变换或傅里叶变换；
序列的傅里叶变换的定义和性质
11 22
[[ XX
((ee
jj
))
XX
((ee
jj
))]]
序列的傅里叶变换的定义和性质
(5) xr(n)与虚部xi(n)的形式
x(n)=xr(n)+jxi(n)
将上式进行FT， 得到: X(e jω)=Xe(e jω)+Xo(e jω)
(eXXj((e)ejj)F)TF[FTxTr[(x[nrx()rn]()n])]
xxr (rxn(nr)XX(e)ne(()eejejjjnnj))n
n nn
FFXXTT(e[(e[xexjrjr()()nn))]]F12T[nX[nx(er(jxnxr))(r]n(n)Xe)
o (XeXojo((e)ejj)F)TF[FTjTx[i[j(xjnix()in]()n])]jnjnjnxxrXXir(x(noonr(()()eeenjj)ejj))njXnFXFTooT(([ee[jjjjxxi))i((nn)12)]F][TX[(jejnjxnji()nx)xr]X(r
X ( e j
)
R
N
(
n
)e
jn
n
N 1
e
jn
n0
1 e jN 1 e j
j( N 1 )
e
2
sin(N 2 ) sin 2
sin(N )
X (e j )
2
sin( )
2
arg[
X
(e
j
)]
(N
1)
2
sin(N )
arg[
2
sin( )
]
2
序列的傅里叶变换的定义和性质
[例]:设x(n)=RN(n) ， 求x(n)的FT
结论：
X (e j )
x(n)e j(2 M )n , M为整数
n
(1) 序列的傅里叶变换是频率ω的连续周期函数，周期是2π。
(2) X(ejω)可展成傅里叶级数， x(n)是其系数。 X(ejω)表示了信 号在频域中的分布规律。
(3) 在ω＝0,±2π,±4π…表示信号的直流分量，在ω＝(2M＋1)π 时是最高的频率分量。一般只分析信号在一个周期的FT
函数
虚部 是奇 函数
序列的傅里叶变换的定义和性质
(2) 共轭反对称序列
共轭反对称序列满足：
xo(n)=－x*o(-n)
将x0(n)用其实部与虚部表示： xo(n)=xor(n)+jxoi(n)
上式两边n用-n代替，取共轭： x*o(-n)=xor(-n)－jxoi(-n) 对比上面两公式， 左边相等， 因此得到
x(n)=cosωn+j sinωn 上式表明:共轭对称序列的实部是偶函数， 虚部是奇函数。
序列的傅里叶变换的定义和性质
(3) 任意序列可表示成共轭对称序列与共轭反对称序列之和
x(n)=xe(n)+xo(n)
xe(n), xo(n)和原序列x(n)有何关系？ 将上式中的n用-n代替， 取共轭：
x*(-n)=xe(n)-xo(n)