试求其频谱。
解： 令
ωc f0 t Saωc t π
则 f (t ) = f0 (t )- f0 (t - 2τ )
F[ f (t )] = F 轾 (t ) - F 轾 (t - 2τ ) f0 f0 臌 臌
轾 (t ) = F [ ωc Sa (ωct )] F臌 f0 π
F0 ω 1 ωC ωC ω
解：
2.线性性
若 f1 (t ) F1 ( ), f 2 (t ) F2 ( )
则 a1f1 (t ) a 2f 2 (t ) a1 F1 ( ) a 2 F2 ( )
其中，a1,a2为常数
3.奇偶虚实性
若 f (t ) F () F ( ) e j ( ) R( ) jX( ) 则：
E


2
0

2
t
t
2 )

2

0
2

w
F (t ) ESa(
2p f (- w) = 2p f (w)
2E

2

0
2

t


2
0

2
w
例3
1 1 , 求F[f(t)] 已知 ( ) ) 已知f f t(t= = , 求F[f(t)] t t 1 思路 ® 什么样的信号频谱含 w 2 F[sgn(t )] = 2 根据对称性质 F[sgn(t )] = jw 根据对称性质 jw 2 \ \ F[ 2]]= 2p sgn(- w) = - 2p sgn(w) ) F[jt = 2p sgn (- w) = - 2p sgn(w jt 1 \ F[ ] = - jp sgn(w) 1 \ F[ ] = - jp sgn(w) t t
证明：
1 1 j 0t F[ f (t ) cos0t ] F[ f (t )e ] F[ f (t )e- j0t ] 2 2 1 1 F[ j ( 0 )] F[ j ( 0 )] 2 2 1 1 j 0 t - j 0 t F [ f (t )e ] F [ f (t )e ] F[ f (t ) sin0t ] 2j 2j j j F[ j ( 0 )] F[ j ( 0 )] 2 2
其中f (+ ? )、f (
)为有限值
0时， Fn (w) f (t ) 玾 F ( ) = n （jw）
特别：
当f (+ ? )
f (- ? )
所有的时限信号都满足上述条件。
例3（补充）用时域微分性质求符号函数sgn(t )的频谱
sgn(t )
解： 逆向应用
非时限信号，但满足f (+ ? ) f (- ? ) 0
书例3-4
（书P133）
已知矩形调幅信号如图所示
f (t ) G(t ) cos(w0t )
其中G(t)为矩形脉冲，脉幅为E，脉宽为，试求其频谱。
w 解：G(t)矩形脉冲的频谱为： G(w) E Sa( ) 2
根据频移特性：f(t)的频谱F(w)为
1 1 F ( w) G(w w0 ) G( w w0 ) 2 2 E E Sa( w w0 ) Sa(w w0 ) 2 2 2 2
t
t
)
\ f (t ) =
蝌
- ?
t
df (τ) dτ + f (- ? ) dτ
df (τ) dτ-1 dτ
F1 (w) \ F (w) = + p F1 (0)d(w) - 2pd(w) jw
d 而F1 (w)=F[ f (t )]=F[2d(t )] = 2 dt
代入上式得：
F1 ( ) 2 F ( ) j j
0 0
2
解二： F[1] = 2pd(w)
\
注意“1”的作 用
F[cos(w0t)] = p[d(w+ w0) + d(w- w0)]
1 j0t j0t cos0t (e e ) [ ( 0 ) ( 0 )] 2
cos 0t 1
( ) F ( ) ( )
t
0
0
0

余弦信号及其频谱函数
注意：周期信号也存在傅里叶变换
7.时域积分特性
若 f (t ) F ()
F ( ) 则 f ( )d F (0)， j f (t ) t f (0) F ()d jt f (t )dt
易出错处：微分后再积分不一定等于原函数！
取决于f (-
)是否为0
例2： （补充） 用时域积分性质求符号函数sgn(t )的频谱 解：
f (t ) sgn(t ) F ( )
1
df (t ) = f1 (t ) 玾 F1 ( ) dt
求导 (2)
0
1
t
0
ò
t
-
df (τ) dτ = f (t ) - f (dτ
f (t )e
j 0t - jt
e
dt



f (t )e - j( - 0 ) t dt F[ j( 0 )]
1 f (t ) cos 0t F ( 0 ) F ( 0 ) , 调制性： 2 j f (t ) sin 0t F ( 0 ) F ( 0 ) 2
t
F (0) =
ò
¥
-
证明方法一：书P.135 证明方法二：利用卷积定理
ì 正向应用 ï ï 应用： í ï 逆向应用 ï î
更常用
时域积分性质应用举例：
正向应用 直接套用性质 即：
用被积函数的傅氏变换来表示积分后的傅氏变换 例1：(补充) 已知F[d(t )] = 1, 求F[ò d(τ)dτ]
（1）当f (t )为实函数时: F ()共轭对称
即： ( ) 偶对称， ( )奇对称； F R()偶对称，X()奇对称；
（2）当f (t )为实偶函数时， F ()为实偶函数；
（3）当f (t )为实奇函时， F ()为虚奇函数;
（4）当f (t )为纯虚函数时， F () 为偶函数， ()为奇函数；
第七节 傅里叶变换的基本性质
主要内容：
1.对称性质 2.线性性质 3.奇偶虚实性 6.频移特性 7.时域积分性质 8.时域微分性质
4.尺度变换性质
5.时移特性
9.频域微分性质
10.帕塞瓦尔定理
时域卷积定理 频域卷积定理
1.对称性 (互易对偶性) (时频对称性)
若 f (t ) F ()
t
解： 设F ()=F[ (t )] 1,
则F[
t
F ( ) f ( )d ] F (0) j
= 1 j
逆向应用
y (t ) Y ( j )
1
对所求函数先微分再表示成积分形式
例1： （书例3-7）用时域积分性质求y(t)的频谱
dy(t ) y1 (t ) Y1 ( j ) dt
求导
0
1 t0
t0
t
t
解： y(t ) dy( )d
d
t
t0
t
0 t0 j 2 dy ( ) 而 Y1 ( j ) Sa e , Y1 (0) 1 d 2
0 t0 j t2 Y1 ( j) 1 Y ( j) Y1 (0) () Sa e () j j 2
正向应用： 例1：（补充） 直接套用性质 即： 用原函数的傅氏变换来表示微分后的傅氏变换
1 du(t) 已知F[u(t)] = + pd(w),求 的傅里叶变换 jw dt 解： 直接套用性质
du(t) F[ ] = jwF[u(t)] dt
1 = jw[ + pd(w)] = 1 jw
逆向应用：
ωC π
f t
2
F ω
o
τ
2τ
t
ωC
o (e)
ωC
ω
(d)
6.频移特性 （调制定理）
若 f (t ) F ()
则 f (t )e
j0t
F ( 0 ) 0为是实常数
证明： 由傅立叶变换定义有
F [ f (t ) e
j 0 t
]



ì 2 sin (wτ) ï F (ω) = ï í ï0 ï î ( ω < ωc ) ( ω < ωc )
π 在实际中往往取τ = , 此时上式变成 ωc
πω 2 sin ω F ω c 0 ( ω ωc ) ( ω ωc )
双Sa信号的波形和频谱如图（d） （e）所示。移特性得到
F 轾 (t - 2τ ) = ef0 臌
j2 wτ
G2wc (w)
因此f (t )的频谱F(w)等于
.
F (ω) = F 轾 (t ) - F 轾 (t - 2τ ) f0 f0 臌 臌 - j2 wτ = (1- e )G2wc (w)
从中可以得到幅度谱为
由时移特性可得：
2
T
t
F (w) F0 (w)(1 e
jwT
e
jwT
w ) E Sa( )1 2 cos(wT ) 2
其频谱如下：
F (w)
3E
2

0
2 4 T T
w
实偶信号的频谱为实偶
（书P133） 已知双Sa信号
ωc f t Sa ωc t Saωc t 2τ π