利用绝对值求数轴上两点间的距离1.探究活动：【阅读】我们知道，|﹣5|表示数轴上表示﹣5的点到原点的距离，|a|表示数轴上表示a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义【探索】（1）数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是；数轴上两个点A、B，分别用数a，b表示，那么A、B两点之间的距离为AB＝（2）数轴上表示x和﹣1的两点A、B之间的距离是，如果|AB|＝2，那么x的值为（3）利用数轴，找出所有符合条件的整数x，使x所表示的点到5和﹣2的距离之和为7．所有符合条件的整数x有．2.在数轴上，表示数x的点到原点的距离用|x|表示，如果表示数m的点和﹣5的点之间的距离是3，那么m ＝；|c﹣|+|c﹣4|+|c+1|的最小值是3.绝对值的几何意义可以借助数轴来认识，一个数的绝对值就是数轴上表示的点到原点的距离，如|a|表示数轴上a点到原点的距离，推广而之：|x﹣a|的几何意义是数轴上表示数a的点之间的距离，|x﹣a|+|x﹣b|的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数a、b两点的距离之和．（1）已知|x﹣1|+|x﹣2|＝4，求x的值；（2）|x﹣3|+|x﹣2|+|x+3|的和的最小值为．4.在学习绝对值后，我们知道，|a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离．如：|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离．而|5|＝|5﹣0|，即|5﹣0|表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离．类似的，有：|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a﹣b|．请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题：（1）数轴上表示2和3的两点之间的距离是；数轴上P、Q两点的距离为3，点P表示的数是2，则点Q表示的数是．（2）点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、﹣3、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为（用含绝对值的式子表示）；满足|x﹣3|+|x+2|＝7的x 的值为．（3）试求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣100|的最小值．5.同学们都知道：|5|在数轴上表示数5的点与原点的距离，而|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：（1）则|5﹣1|表示的距离．（2）数轴上表示x与7的两点之间的距离可以表示为．（3）如果|x﹣2|＝5，则x＝．（4）同理|x+1|+|x﹣2|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣1和2所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+1|+|x﹣2|＝3，这样的整数是．（5）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x+3|+|x﹣6|的最小值是．6.我们知道，在数轴上，|a|表示数a表示的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点间的距离为：AB＝|a﹣b|．利用此结论，回答以下问题：（1）数轴上表示2和5的两点的距离是，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是；（2）若|a+1|＝2，则a＝；若|a+2|+|a ﹣1|＝6，则a＝；（3）当|a+2|+|a﹣1|取最小值时，此时a符合条件是；（4）当a＝时，|a+5|+|a﹣1|+|a﹣3|的值最小，最小值是．7. (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是___；表示−3和2两点之间的距离是___；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m−n|.如果表示数a和−2的两点之间的距离是3，那么a=___；(2)若数轴上表示数a的点位于−4与2之间，求|a+4|+|a−2|的值；(3)当a取何值时，|a+5|+|a−1|+|a−4|的值最小，最小值是多少?请说明理由8.根据阅读材料，回答下列问题：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示﹣2和﹣5是两点之间的距离是，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是．（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是，如果|AB|＝2，那么x＝．（3）|x+2|可以理解为数轴上表示x和的两点之间的距离．（4）|x﹣2|+|x﹣3|可以理解为数轴上表示x的点到表示和这两点的距离之和．|x+2|+|x﹣1|可以理解为数轴上表示x的点到表示和这两点的距离之和．（5）|x﹣2|+|x﹣3|最小值是，|x+2|+|x ﹣1|的最小值是．利用绝对值求数轴上两点间的距离答案1.分析：（1）（2）直接根据数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a﹣b|．代入数值运用绝对值即可求任意两点间的距离．（3）利用数轴可知在点﹣2和5之间的所有整数的名字条件（包括﹣2和5）．解：（1）数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是3，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是4；数轴上两个点A、B，分别用数a，b表示，那么A、B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|，故答案为3，4，|a﹣b|．（2）数轴上表示x和﹣1的两点A、B之间的距离是|x+1|，如果|AB|＝2，那么x的值为﹣3或1，故答案为|x+1|，﹣3或1．（3）利用数轴，找出所有符合条件的整数x，使x所表示的点到5和﹣2的距离之和为7，所有符合条件的整数x有﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5．故答案为﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5．2.分析：根据数轴上两点间的距离，可得答案，根据线段上的点到线段两端点的距离相等，可得答案．解：由题意，得|m+5|＝3，m+5＝3或m+5＝﹣3，解得m＝﹣2，或m＝﹣8；由线段上的点到线段两端点的距离相等，得c在﹣1与4的线段上时，|c﹣4|+|c+1|最小＝5，当c≠时，|c﹣|＞0，|c﹣|+|c﹣4|+|c+1|的最小值＞5；当c＝时，|c﹣|＝0，|c﹣|+|c﹣4|+|c+1|的最小值＝0+|c﹣4|+|c+1|＝53.分析：（1）根据x的取值范围结合绝对值的意义分情况进行计算；（2）根据x的取值范围结合绝对值的意义分情况进行计算．解：（1）当x＜1时，|x﹣1|+|x﹣2|＝4，则1﹣x+2﹣x＝4，解得：x＝﹣，当1≤x＜2时，原式＝x﹣1+2﹣x＝4，此时无解；当x≥2时，原式＝x﹣1+x﹣2＝4，解得：x＝3.5；（2）当x≤﹣3时，|x+3|+|x﹣2|+|x﹣3|＝﹣x﹣3﹣x+2﹣x+3＝﹣3x+2，则﹣3x+2≥11；当﹣3＜x≤2时，|x+3|+|x﹣2|+|x﹣3|＝x+3﹣x+2﹣x+3＝﹣x+8，则6≤﹣x+11＜11；当2＜x≤3时，|x+3|+|x﹣2|+|x﹣3|＝x+3+x﹣2﹣x+3＝x+4，则6＜x+2≤7；当x＞3时，|x+3|+|x﹣2|+|x﹣3|＝x+3+x﹣2+x﹣3＝3x﹣2，则3x﹣2＞7．综上所述|x+3|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值为6．4.分析：（1）根据数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a﹣b|．代入数值运用绝对值即可求任意两点间的距离．（2）根据数轴上两点之间的距离公式可求A到B的距离与A到C的距离之和；满足|x﹣3|+|x+2|＝7的x的值分三种情形讨论，转化为方程解决问题；（3）当绝对值的个数为奇数时，取得最小值x是其中间项，而当绝对值的个数为偶数时，则x取中间两项结果一样．从而得出对于|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣100|，当50≤x≤51时取得最小值．解：（1）数轴上表示2和3的两点之间的距离是3﹣2＝1；数轴上P、Q两点的距离为3，点P表示的数是2，则点Q表示的数是2﹣3＝﹣1或2+3＝5；（2）A到B的距离与A到C的距离之和可表示为|x+3|+|x﹣1|，∵|x﹣3|+|x+2|＝7，当x＜﹣2时，3﹣x﹣x﹣2＝7，x＝﹣3，当﹣2≤x≤3时，x不存在．当x＞3时，x﹣3+x+2＝7，x＝4．故满足|x﹣3|+|x+2|＝7的x的值为﹣3或4．（3）|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣100|＝（|x﹣1|+|x﹣100|）+（|x﹣2|+|x﹣99|）+…+（|x﹣50|+|x﹣51|）|x﹣1|+|x﹣100|表示数轴上数x的对应点到表示1、100两点的距离之和，当1≤x≤100时，|x﹣1|+|x﹣100|有最小值为|100﹣1|＝99；|x﹣2|+|x﹣99|表示数轴上数x的对应点到表示2、99两点的距离之和，当2≤x≤99时，|x﹣2|+|x﹣99|有最小值为|99﹣2|＝97；…|x﹣50|+|x ﹣51|表示数轴上数x的对应点到表示50、51两点的距离之和，当50≤x≤51时，|x﹣50|+|x﹣51|有最小值为|51﹣50|＝1．所以，当50≤x≤51时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣100|有最小值为：99+97+95+…+3+1＝（99+1）+（97+3）+…+（51+49）＝100×25＝2500．故答案为：1，﹣1或5；|x+3|+|x﹣1|，﹣3或4．5.分析：（1）根据数轴上两点之间的距离的表示方法即可得到结论；（2）根据数轴上两点之间的距离的表示方法即可得到结论；（3）利用绝对值求解即可；（4）利用绝对值及数轴求解即可；（5）根据数轴及绝对值，即可解答．解：（1）|5﹣1|表示数轴上表示5的点到表示1的点的距离；（2）数轴上表示x与7的两点之间的距离可以表示为|x﹣7|；（3）∵|x﹣2|＝5，∴x﹣2＝±5，解得：x＝7或x＝﹣3，∴x＝7或﹣3；（4）∵|x+2|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣2和1所对应的点的距离之和，|x+2|+|x﹣1|＝3，∴这样的整数有﹣2、﹣1、0、1，（5）有最小值，理由是：∵|x+3|+|x﹣6|理解为：在数轴上表示x到﹣3和6的距离之和，∴当x在﹣3与6之间的线段上（即﹣3≤x≤6）时：即|x+3|+|x﹣6|的值有最小值，最小值为6+3＝9；故答案为：数轴上表示5的点到表示1的点，|x﹣7|，7或﹣3，﹣2、﹣1、0、1；9．6.分析：利用AB＝|a﹣b|，即可求出答案．解：（1）5﹣2＝3，﹣2﹣（﹣5）＝3，1﹣（﹣3）＝4；（2）∵|a+1|＝2，∴a+1＝±2，∴a＝﹣3或a＝1，∵|a+2|+|a ﹣1|＝6，当a＜﹣2时，∴﹣（a+2）﹣（a﹣1）＝6，∴a＝﹣，当﹣2≤a≤1时，∴a+2﹣（a﹣1）＝6，∴3＝6，此时矛盾，当a＞1时，∴a+2+a﹣1＝6，∴a＝，综上所述，a＝﹣或a＝；（3）当a在数轴上表示﹣2和1之间时，此时|a+2|+|a﹣1|的最小值为3，此时﹣2≤a≤1，（4）由于当﹣5≤a≤3时，此时|a+5|+|a﹣3|最小值为8，∴若要|a+5|+|a﹣1|+|a﹣3|的值最小，只需要|a﹣1|的值最小即可，此时a＝1，|a﹣1|＝0，∴|a+5|+|a﹣1|+|a﹣3|最小是为8，故答案为：（1）3，3，4；（2）﹣3或1，﹣或；（3）3，﹣2≤a≤1；（4）1，8．7.（1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解决；（2）根据|a+4|+|a-2|表示数a的点到-4与2两点的距离的和．即可求解；（3）根据|a+5|+|a-1|+|a-4|表示一点到-5，1，4三点的距离的和．即可求解．解答：(1)3，5，1或−5；(2)因为|a+4|+|a−2|表示数轴上数a和−4，2之间距离的和。